ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmdvds GIF version

Theorem lcmdvds 12079
Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmdvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))

Proof of Theorem lcmdvds
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . . 7 (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)
2 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
32adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
4 oveq1 5882 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (0 lcm ๐‘))
5 0z 9264 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„ค
6 lcmcom 12064 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 lcm ๐‘) = (๐‘ lcm 0))
75, 6mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = (๐‘ lcm 0))
8 lcm0val 12065 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = 0)
97, 8eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
104, 9sylan9eqr 2232 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = 0)
1110breq1d 4014 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
123, 11imbi12d 234 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)))
131, 12mpbiri 168 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
14133ad2antl3 1161 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
1514adantrd 279 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
1615ex 115 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
17 breq1 4007 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
1817adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
19 oveq2 5883 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ lcm 0))
20 lcm0val 12065 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2119, 20sylan9eqr 2232 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = 0)
2221breq1d 4014 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
2318, 22imbi12d 234 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)))
241, 23mpbiri 168 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
25243ad2antl2 1160 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
2625adantld 278 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
2726ex 115 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
2816, 27jaod 717 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
29 neanior 2434 . . . . . 6 ((๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†” ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
30 lcmcl 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3130nn0zd 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค)
32 dvds0 11813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)
3433a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
3534adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
36 breq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘€ โˆฅ 0))
37 breq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ โˆฅ 0))
3836, 37anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” (๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0)))
39 breq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
4038, 39imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ = 0 โ†’ (((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)))
4140adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ (((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)))
4235, 41mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4342adantrl 478 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4443adantllr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4544adantlrr 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4645anassrs 400 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
47 nnabscl 11109 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
48 nnabscl 11109 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
49 nnabscl 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
50 lcmgcdlem 12077 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) โˆง (((absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ))))
5150simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5249, 51sylani 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5347, 48, 52syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5453expdimp 259 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
55 dvdsabsb 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
56 zabscl 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
57 absdvdsb 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5856, 57sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5955, 58bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6059adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
61 dvdsabsb 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
62 absdvdsb 11816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6356, 62sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6461, 63bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6564adantll 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6660, 65anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))))
6766bicomd 141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)))
68 lcmabs 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
6968breq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7069adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
71 dvdsabsb 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7231, 71sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7370, 72bitr4d 191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7467, 73imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7574adantrr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7675adantllr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7776adantlrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7854, 77mpbid 147 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7978anassrs 400 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
80 zdceq 9328 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐พ = 0)
815, 80mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ DECID ๐พ = 0)
82 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . 12 (DECID ๐พ = 0 โ†’ (๐พ = 0 โˆจ ยฌ ๐พ = 0))
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ = 0 โˆจ ยฌ ๐พ = 0))
84 df-ne 2348 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐พ = 0)
8584orbi2i 762 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ = 0 โˆจ ๐พ โ‰  0) โ†” (๐พ = 0 โˆจ ยฌ ๐พ = 0))
8683, 85sylibr 134 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ = 0 โˆจ ๐พ โ‰  0))
8786adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ = 0 โˆจ ๐พ โ‰  0))
8846, 79, 87mpjaodan 798 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
8988ex 115 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
9089an4s 588 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
9129, 90sylan2br 288 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
9291impancom 260 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
93923impa 1194 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
94933comr 1211 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
95 lcmmndc 12062 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
96 exmiddc 836 . . . 4 (DECID (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โˆจ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)))
9795, 96syl 14 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โˆจ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)))
98973adant1 1015 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โˆจ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)))
9928, 94, 98mpjaod 718 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  0cc0 7811   ยท cmul 7816  โ„•cn 8919  โ„คcz 9253  abscabs 11006   โˆฅ cdvds 11794   gcd cgcd 11943   lcm clcm 12060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-fl 10270  df-mod 10323  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-dvds 11795  df-gcd 11944  df-lcm 12061
This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  12084
  Copyright terms: Public domain W3C validator