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Theorem lcmdvds 12062
Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmdvds ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem lcmdvds
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . . 7 (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)
2 breq1 4003 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝑀𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
32adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
4 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
5 0z 9253 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
6 lcmcom 12047 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
75, 6mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
8 lcm0val 12048 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
97, 8eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
104, 9sylan9eqr 2232 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
1110breq1d 4010 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
123, 11imbi12d 234 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
131, 12mpbiri 168 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
14133ad2antl3 1161 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
1514adantrd 279 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
1615ex 115 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
17 breq1 4003 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
1817adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
19 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
20 lcm0val 12048 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
2119, 20sylan9eqr 2232 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
2221breq1d 4010 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
2318, 22imbi12d 234 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
241, 23mpbiri 168 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
25243ad2antl2 1160 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
2625adantld 278 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
2726ex 115 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
2816, 27jaod 717 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
29 neanior 2434 . . . . . 6 ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
30 lcmcl 12055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
3130nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
32 dvds0 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
3433a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
3534adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
36 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 0 → (𝑀𝐾𝑀 ∥ 0))
37 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 0 → (𝑁𝐾𝑁 ∥ 0))
3836, 37anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) ↔ (𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0)))
39 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
4038, 39imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = 0 → (((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
4140adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → (((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
4235, 41mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4342adantrl 478 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4443adantllr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4544adantlrr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4645anassrs 400 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
47 nnabscl 11093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
48 nnabscl 11093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
49 nnabscl 11093 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (abs‘𝐾) ∈ ℕ)
50 lcmgcdlem 12060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = (abs‘((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁))) ∧ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾))))
5150simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5249, 51sylani 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5347, 48, 52syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5453expdimp 259 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
55 dvdsabsb 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾𝑀 ∥ (abs‘𝐾)))
56 zabscl 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℤ)
57 absdvdsb 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5856, 57sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5955, 58bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
6059adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
61 dvdsabsb 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾𝑁 ∥ (abs‘𝐾)))
62 absdvdsb 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6356, 62sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6461, 63bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6564adantll 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6660, 65anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))))
6766bicomd 141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
68 lcmabs 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
6968breq1d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7069adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
71 dvdsabsb 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7231, 71sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7370, 72bitr4d 191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7467, 73imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7574adantrr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7675adantllr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7776adantlrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7854, 77mpbid 147 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7978anassrs 400 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≠ 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
80 zdceq 9317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 = 0)
815, 80mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → DECID 𝐾 = 0)
82 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . 12 (DECID 𝐾 = 0 → (𝐾 = 0 ∨ ¬ 𝐾 = 0))
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 = 0 ∨ ¬ 𝐾 = 0))
84 df-ne 2348 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
8584orbi2i 762 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 = 0 ∨ ¬ 𝐾 = 0))
8683, 85sylibr 134 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ≠ 0))
8786adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ≠ 0))
8846, 79, 87mpjaodan 798 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
8988ex 115 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
9089an4s 588 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
9129, 90sylan2br 288 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
9291impancom 260 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
93923impa 1194 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
94933comr 1211 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
95 lcmmndc 12045 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
96 exmiddc 836 . . . 4 (DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
9795, 96syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
98973adant1 1015 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
9928, 94, 98mpjaod 718 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  0cc0 7802   · cmul 7807  cn 8908  cz 9242  abscabs 10990  cdvds 11778   gcd cgcd 11926   lcm clcm 12043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-lcm 12044
This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  12067
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