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Theorem lcmdvds 11816
 Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmdvds ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem lcmdvds
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . . 7 (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)
2 breq1 3941 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝑀𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
32adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
4 oveq1 5790 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
5 0z 9109 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
6 lcmcom 11801 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
75, 6mpan 421 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
8 lcm0val 11802 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
97, 8eqtrd 2173 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
104, 9sylan9eqr 2195 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
1110breq1d 3948 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
123, 11imbi12d 233 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
131, 12mpbiri 167 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
14133ad2antl3 1146 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
1514adantrd 277 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
1615ex 114 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
17 breq1 3941 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
1817adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
19 oveq2 5791 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
20 lcm0val 11802 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
2119, 20sylan9eqr 2195 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
2221breq1d 3948 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
2318, 22imbi12d 233 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
241, 23mpbiri 167 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
25243ad2antl2 1145 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
2625adantld 276 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
2726ex 114 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
2816, 27jaod 707 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
29 neanior 2396 . . . . . 6 ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
30 lcmcl 11809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
3130nn0zd 9215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
32 dvds0 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
3433a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
3534adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
36 breq2 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 0 → (𝑀𝐾𝑀 ∥ 0))
37 breq2 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 0 → (𝑁𝐾𝑁 ∥ 0))
3836, 37anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) ↔ (𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0)))
39 breq2 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
4038, 39imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = 0 → (((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
4140adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → (((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
4235, 41mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4342adantrl 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4443adantllr 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4544adantlrr 475 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4645anassrs 398 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
47 nnabscl 10924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
48 nnabscl 10924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
49 nnabscl 10924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (abs‘𝐾) ∈ ℕ)
50 lcmgcdlem 11814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = (abs‘((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁))) ∧ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾))))
5150simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5249, 51sylani 404 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5347, 48, 52syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5453expdimp 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
55 dvdsabsb 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾𝑀 ∥ (abs‘𝐾)))
56 zabscl 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℤ)
57 absdvdsb 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5856, 57sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5955, 58bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
6059adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
61 dvdsabsb 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾𝑁 ∥ (abs‘𝐾)))
62 absdvdsb 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6356, 62sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6461, 63bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6564adantll 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6660, 65anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))))
6766bicomd 140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
68 lcmabs 11813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
6968breq1d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7069adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
71 dvdsabsb 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7231, 71sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7370, 72bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7467, 73imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7574adantrr 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7675adantllr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7776adantlrr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7854, 77mpbid 146 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7978anassrs 398 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≠ 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
80 zdceq 9170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 = 0)
815, 80mpan2 422 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℤ → DECID 𝐾 = 0)
82 exmiddc 822 . . . . . . . . . . . 12 (DECID 𝐾 = 0 → (𝐾 = 0 ∨ ¬ 𝐾 = 0))
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 = 0 ∨ ¬ 𝐾 = 0))
84 df-ne 2310 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0)
8584orbi2i 752 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ≠ 0) ↔ (𝐾 = 0 ∨ ¬ 𝐾 = 0))
8683, 85sylibr 133 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ≠ 0))
8786adantl 275 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 ≠ 0))
8846, 79, 87mpjaodan 788 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
8988ex 114 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
9089an4s 578 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
9129, 90sylan2br 286 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
9291impancom 258 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
93923impa 1177 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
94933comr 1190 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
95 lcmmndc 11799 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
96 exmiddc 822 . . . 4 (DECID (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
9795, 96syl 14 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
98973adant1 1000 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)))
9928, 94, 98mpjaod 708 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 820   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   class class class wbr 3938  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  0cc0 7664   · cmul 7669  ℕcn 8764  ℤcz 9098  abscabs 10821   ∥ cdvds 11549   gcd cgcd 11691   lcm clcm 11797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-isom 5141  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-sup 6881  df-inf 6882  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-fz 9842  df-fzo 9971  df-fl 10094  df-mod 10147  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-dvds 11550  df-gcd 11692  df-lcm 11798 This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  11821
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