ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmdvds GIF version

Theorem lcmdvds 12093
Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmdvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))

Proof of Theorem lcmdvds
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . . 7 (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)
2 breq1 4018 . . . . . . . . 9 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
32adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
4 oveq1 5895 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (0 lcm ๐‘))
5 0z 9278 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„ค
6 lcmcom 12078 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 lcm ๐‘) = (๐‘ lcm 0))
75, 6mpan 424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = (๐‘ lcm 0))
8 lcm0val 12079 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = 0)
97, 8eqtrd 2220 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
104, 9sylan9eqr 2242 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = 0)
1110breq1d 4025 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
123, 11imbi12d 234 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)))
131, 12mpbiri 168 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
14133ad2antl3 1162 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
1514adantrd 279 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
1615ex 115 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
17 breq1 4018 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
1817adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
19 oveq2 5896 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ lcm 0))
20 lcm0val 12079 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2119, 20sylan9eqr 2242 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = 0)
2221breq1d 4025 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
2318, 22imbi12d 234 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)))
241, 23mpbiri 168 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
25243ad2antl2 1161 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
2625adantld 278 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
2726ex 115 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
2816, 27jaod 718 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
29 neanior 2444 . . . . . 6 ((๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†” ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
30 lcmcl 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3130nn0zd 9387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค)
32 dvds0 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)
3433a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
3534adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
36 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘€ โˆฅ 0))
37 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ โˆฅ 0))
3836, 37anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” (๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0)))
39 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
4038, 39imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ = 0 โ†’ (((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)))
4140adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ (((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)))
4235, 41mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4342adantrl 478 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4443adantllr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4544adantlrr 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4645anassrs 400 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
47 nnabscl 11123 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
48 nnabscl 11123 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
49 nnabscl 11123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
50 lcmgcdlem 12091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) โˆง (((absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ))))
5150simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5249, 51sylani 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5347, 48, 52syl2an 289 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5453expdimp 259 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
55 dvdsabsb 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
56 zabscl 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
57 absdvdsb 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5856, 57sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5955, 58bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6059adantlr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
61 dvdsabsb 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
62 absdvdsb 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6356, 62sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6461, 63bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6564adantll 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6660, 65anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))))
6766bicomd 141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)))
68 lcmabs 12090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
6968breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7069adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
71 dvdsabsb 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7231, 71sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7370, 72bitr4d 191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7467, 73imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7574adantrr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7675adantllr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7776adantlrr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7854, 77mpbid 147 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7978anassrs 400 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
80 zdceq 9342 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐พ = 0)
815, 80mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ DECID ๐พ = 0)
82 exmiddc 837 . . . . . . . . . . . 12 (DECID ๐พ = 0 โ†’ (๐พ = 0 โˆจ ยฌ ๐พ = 0))
8381, 82syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ = 0 โˆจ ยฌ ๐พ = 0))
84 df-ne 2358 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โ‰  0 โ†” ยฌ ๐พ = 0)
8584orbi2i 763 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ = 0 โˆจ ๐พ โ‰  0) โ†” (๐พ = 0 โˆจ ยฌ ๐พ = 0))
8683, 85sylibr 134 . . . . . . . . . 10 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐พ = 0 โˆจ ๐พ โ‰  0))
8786adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ = 0 โˆจ ๐พ โ‰  0))
8846, 79, 87mpjaodan 799 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
8988ex 115 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
9089an4s 588 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
9129, 90sylan2br 288 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
9291impancom 260 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
93923impa 1195 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
94933comr 1212 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
95 lcmmndc 12076 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
96 exmiddc 837 . . . 4 (DECID (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โˆจ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)))
9795, 96syl 14 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โˆจ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)))
98973adant1 1016 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โˆจ ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)))
9928, 94, 98mpjaod 719 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 709  DECID wdc 835   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   โ‰  wne 2357   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7825   ยท cmul 7830  โ„•cn 8933  โ„คcz 9267  abscabs 11020   โˆฅ cdvds 11808   gcd cgcd 11957   lcm clcm 12074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-lcm 12075
This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  12098
  Copyright terms: Public domain W3C validator