Theorem dvdsrmul1 13224

Description: The divisibility relation is preserved under right-multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsr.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvdsr.2	⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
dvdsrmul1.3	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvdsrmul1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem dvdsrmul1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsr.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
3		dvdsr.2	. . . . 5 ⊢ ∥ = (∥r‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
5		ringsrg 13177	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
7		dvdsrmul1.3	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → · = (.r‘𝑅))
9	2, 4, 6, 8	dvdsrd 13216	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∥ 𝑌 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌)))
10	1	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
11	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∥ = (∥r‘𝑅))
12		simplll 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
13	12, 5	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ SRing)
14	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → · = (.r‘𝑅))
15		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ 𝐵)
17	1, 7	ringcl 13149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
18	12, 15, 16, 17	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
19		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
20	10, 11, 13, 14, 18, 19	dvdsrmuld 13218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
21	1, 7	ringass 13152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
22	12, 19, 15, 16, 21	syl13anc 1240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑥 · (𝑋 · 𝑍)))
23	20, 22	breqtrrd 4031	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∥ ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍))
24		oveq1 5881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	24	breq2d 4015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑍) ∥ ((𝑥 · 𝑋) · 𝑍) ↔ (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
26	23, 25	syl5ibcom 155	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
27	26	rexlimdva 2594	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
28	27	expimpd 363	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 · 𝑋) = 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
29	9, 28	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∥ 𝑌 → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍)))
30	29	3impia 1200	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∥ 𝑌) → (𝑋 · 𝑍) ∥ (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  ._rcmulr 12531  SRingcsrg 13099  Ringcrg 13132  ∥_rcdsr 13208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-cmn 13043  df-abl 13044  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-srg 13100  df-ring 13134  df-dvdsr 13211

This theorem is referenced by:  unitmulcl  13235