ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsrmul1 GIF version

Theorem dvdsrmul1 13271
Description: The divisibility relation is preserved under right-multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsr.1 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
dvdsr.2 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
dvdsrmul1.3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
dvdsrmul1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘))

Proof of Theorem dvdsrmul1
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvdsr.1 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
21a1i 9 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
3 dvdsr.2 . . . . 5 โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…)
43a1i 9 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…))
5 ringsrg 13224 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
65adantr 276 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
7 dvdsrmul1.3 . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
87a1i 9 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
92, 4, 6, 8dvdsrd 13263 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ)))
101a1i 9 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
113a1i 9 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…))
12 simplll 533 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1312, 5syl 14 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
147a1i 9 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
15 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
16 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
171, 7ringcl 13196 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
1812, 15, 16, 17syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆˆ ๐ต)
19 simpr 110 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
2010, 11, 13, 14, 18, 19dvdsrmuld 13265 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ยท ๐‘)))
211, 7ringass 13199 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ยท ๐‘)))
2212, 19, 15, 16, 21syl13anc 1240 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘) = (๐‘ฅ ยท (๐‘‹ ยท ๐‘)))
2320, 22breqtrrd 4032 . . . . . 6 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘))
24 oveq1 5882 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘) = (๐‘Œ ยท ๐‘))
2524breq2d 4016 . . . . . 6 ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) ยท ๐‘) โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
2623, 25syl5ibcom 155 . . . . 5 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
2726rexlimdva 2594 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
2827expimpd 363 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐‘ฅ ยท ๐‘‹) = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
299, 28sylbid 150 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘)))
30293impia 1200 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆฅ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘) โˆฅ (๐‘Œ ยท ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  .rcmulr 12537  SRingcsrg 13146  Ringcrg 13179  โˆฅrcdsr 13255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-cmn 13090  df-abl 13091  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-srg 13147  df-ring 13181  df-dvdsr 13258
This theorem is referenced by:  unitmulcl  13282
  Copyright terms: Public domain W3C validator