Theorem peano2zd 9781

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188  ℤcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  elfzp1  10495  fznatpl1  10499  fzdifsuc  10504  fseq1p1m1  10517  zsupcllemstep  10678  suprzubdc  10687  flqge  10735  flapge  10736  2tnp1ge0ge0  10756  ceiqm1l  10768  addmodlteq  10855  frec2uzzd  10857  frec2uzrdg  10866  uzsinds  10901  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsumk  10969  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  bcp1nk  11221  bcval5  11222  hashfz  11283  swrds1  11461  resqrexlemdecn  11799  telfsumo  12257  fsumparts  12261  binomlem  12274  geo2sum  12305  cvgratnnlemseq  12317  cvgratnnlemabsle  12318  cvgratnnlemsumlt  12319  cvgratnnlemrate  12321  cvgratz  12323  mertenslemub  12325  mertenslemi1  12326  clim2prod  12330  clim2divap  12331  fprodntrivap  12375  fprodeq0  12408  dvdsfac  12651  2tp1odd  12675  opoe  12686  bits0o  12741  bitsp1o  12744  bitsinv1lem  12752  bitsinv1  12753  prmind2  12922  hashdvds  13027  eulerthlemrprm  13035  pcprendvds  13097  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfilemsv  13310  ballotfilemsf1o  13314  ballotfilemsima  13316  nninfdclemcl  13396  nninfdclemp1  13398  gzsumsplit1r  13773  elply2  15978  birthdaylem2  16243  wilthlem1  16249  chtdif  16281  efchtqdvds  16282  ppidif  16286  chtqub  16313  perfectlem2  16317  perfect  16318  bcmono  16321  bpos  16337  lgslem1  16341  lgsval  16345  lgsfvalg  16346  lgsval2lem  16351  lgsvalmod  16360  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem5  16407  gausslemma2dlem6  16408  lgseisenlem1  16411  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  m1lgs  16426  2lgslem1a  16429  2lgslem1  16432  2lgslem3c  16436  2lgslem3d  16437  2lgslem3b1  16439  2lgslem3c1  16440  wlk1walkdom  16822  cvgcmp2nlemabs  17304