Theorem peano2zd 9528

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9438	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5962  1c1 7956   + caddc 7958  ℤcz 9402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403

This theorem is referenced by:  elfzp1  10224  fznatpl1  10228  fzdifsuc  10233  fseq1p1m1  10246  zsupcllemstep  10404  suprzubdc  10411  flqge  10457  2tnp1ge0ge0  10476  ceiqm1l  10488  addmodlteq  10575  frec2uzzd  10577  frec2uzrdg  10586  uzsinds  10621  seq3f1olemqsumkj  10688  seq3f1olemqsumk  10689  seqf1oglem1  10696  seqf1oglem2  10697  bcp1nk  10939  bcval5  10940  hashfz  10998  swrds1  11154  resqrexlemdecn  11408  telfsumo  11862  fsumparts  11866  binomlem  11879  geo2sum  11910  cvgratnnlemseq  11922  cvgratnnlemabsle  11923  cvgratnnlemsumlt  11924  cvgratnnlemrate  11926  cvgratz  11928  mertenslemub  11930  mertenslemi1  11931  clim2prod  11935  clim2divap  11936  fprodntrivap  11980  fprodeq0  12013  dvdsfac  12256  2tp1odd  12280  opoe  12291  bits0o  12346  bitsp1o  12349  bitsinv1lem  12357  bitsinv1  12358  prmind2  12527  hashdvds  12628  eulerthlemrprm  12636  pcprendvds  12698  nninfdclemcl  12904  nninfdclemp1  12906  gsumsplit1r  13315  gsumprval  13316  gsumfzfsumlemm  14434  elply2  15292  wilthlem1  15537  perfectlem2  15557  perfect  15558  lgslem1  15562  lgsval  15566  lgsfvalg  15567  lgsval2lem  15572  lgsvalmod  15581  gausslemma2dlem5a  15627  gausslemma2dlem5  15628  gausslemma2dlem6  15629  lgseisenlem1  15632  lgsquadlem1  15639  lgsquadlem2  15640  m1lgs  15647  2lgslem1a  15650  2lgslem1  15653  2lgslem3c  15657  2lgslem3d  15658  2lgslem3b1  15660  2lgslem3c1  15661  cvgcmp2nlemabs  16143