Theorem peano2zd 9649

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9559	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  1c1 8076   + caddc 8078  ℤcz 9523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524

This theorem is referenced by:  elfzp1  10352  fznatpl1  10356  fzdifsuc  10361  fseq1p1m1  10374  zsupcllemstep  10535  suprzubdc  10542  flqge  10588  2tnp1ge0ge0  10607  ceiqm1l  10619  addmodlteq  10706  frec2uzzd  10708  frec2uzrdg  10717  uzsinds  10752  seq3f1olemqsumkj  10819  seq3f1olemqsumk  10820  seqf1oglem1  10827  seqf1oglem2  10828  bcp1nk  11070  bcval5  11071  hashfz  11131  swrds1  11298  resqrexlemdecn  11635  telfsumo  12090  fsumparts  12094  binomlem  12107  geo2sum  12138  cvgratnnlemseq  12150  cvgratnnlemabsle  12151  cvgratnnlemsumlt  12152  cvgratnnlemrate  12154  cvgratz  12156  mertenslemub  12158  mertenslemi1  12159  clim2prod  12163  clim2divap  12164  fprodntrivap  12208  fprodeq0  12241  dvdsfac  12484  2tp1odd  12508  opoe  12519  bits0o  12574  bitsp1o  12577  bitsinv1lem  12585  bitsinv1  12586  prmind2  12755  hashdvds  12856  eulerthlemrprm  12864  pcprendvds  12926  nninfdclemcl  13132  nninfdclemp1  13134  gsumsplit1r  13544  gsumprval  13545  gsumfzfsumlemm  14666  elply2  15529  wilthlem1  15777  perfectlem2  15797  perfect  15798  lgslem1  15802  lgsval  15806  lgsfvalg  15807  lgsval2lem  15812  lgsvalmod  15821  gausslemma2dlem5a  15867  gausslemma2dlem5  15868  gausslemma2dlem6  15869  lgseisenlem1  15872  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880  m1lgs  15887  2lgslem1a  15890  2lgslem1  15893  2lgslem3c  15897  2lgslem3d  15898  2lgslem3b1  15900  2lgslem3c1  15901  wlk1walkdom  16283  cvgcmp2nlemabs  16747