Theorem peano2zd 9750

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9659	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  1c1 8170   + caddc 8172  ℤcz 9623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624

This theorem is referenced by:  elfzp1  10457  fznatpl1  10461  fzdifsuc  10466  fseq1p1m1  10479  zsupcllemstep  10640  suprzubdc  10649  flqge  10695  2tnp1ge0ge0  10714  ceiqm1l  10726  addmodlteq  10813  frec2uzzd  10815  frec2uzrdg  10824  uzsinds  10859  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsumk  10927  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  bcp1nk  11178  bcval5  11179  hashfz  11240  swrds1  11418  resqrexlemdecn  11756  telfsumo  12211  fsumparts  12215  binomlem  12228  geo2sum  12259  cvgratnnlemseq  12271  cvgratnnlemabsle  12272  cvgratnnlemsumlt  12273  cvgratnnlemrate  12275  cvgratz  12277  mertenslemub  12279  mertenslemi1  12280  clim2prod  12284  clim2divap  12285  fprodntrivap  12329  fprodeq0  12362  dvdsfac  12605  2tp1odd  12629  opoe  12640  bits0o  12695  bitsp1o  12698  bitsinv1lem  12706  bitsinv1  12707  prmind2  12876  hashdvds  12977  eulerthlemrprm  12985  pcprendvds  13047  ballotfilemfc0  13210  ballotfilemfcc  13211  ballotfilemsv  13231  ballotfilemsf1o  13235  ballotfilemsima  13237  nninfdclemcl  13317  nninfdclemp1  13319  gzsumsplit1r  13692  elply2  15759  wilthlem1  16008  perfectlem2  16028  perfect  16029  lgslem1  16033  lgsval  16037  lgsfvalg  16038  lgsval2lem  16043  lgsvalmod  16052  gausslemma2dlem5a  16098  gausslemma2dlem5  16099  gausslemma2dlem6  16100  lgseisenlem1  16103  lgsquadlem1  16110  lgsquadlem2  16111  m1lgs  16118  2lgslem1a  16121  2lgslem1  16124  2lgslem3c  16128  2lgslem3d  16129  2lgslem3b1  16131  2lgslem3c1  16132  wlk1walkdom  16514  cvgcmp2nlemabs  16986