Theorem peano2zd 9442

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9353	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875  ℤcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  elfzp1  10138  fznatpl1  10142  fzdifsuc  10147  fseq1p1m1  10160  flqge  10351  2tnp1ge0ge0  10370  ceiqm1l  10382  addmodlteq  10469  frec2uzzd  10471  frec2uzrdg  10480  uzsinds  10515  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsumk  10583  seqf1oglem1  10590  seqf1oglem2  10591  bcp1nk  10833  bcval5  10834  hashfz  10892  resqrexlemdecn  11156  telfsumo  11609  fsumparts  11613  binomlem  11626  geo2sum  11657  cvgratnnlemseq  11669  cvgratnnlemabsle  11670  cvgratnnlemsumlt  11671  cvgratnnlemrate  11673  cvgratz  11675  mertenslemub  11677  mertenslemi1  11678  clim2prod  11682  clim2divap  11683  fprodntrivap  11727  fprodeq0  11760  dvdsfac  12002  2tp1odd  12025  opoe  12036  zsupcllemstep  12082  suprzubdc  12089  prmind2  12258  hashdvds  12359  eulerthlemrprm  12367  pcprendvds  12428  nninfdclemcl  12605  nninfdclemp1  12607  gsumsplit1r  12981  gsumprval  12982  gsumfzfsumlemm  14075  elply2  14881  wilthlem1  15112  lgslem1  15116  lgsval  15120  lgsfvalg  15121  lgsval2lem  15126  lgsvalmod  15135  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem5  15182  gausslemma2dlem6  15183  lgseisenlem1  15186  lgsquadlem1  15191  m1lgs  15192  cvgcmp2nlemabs  15522