Theorem peano2zd 9380

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9291	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816  ℤcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  elfzp1  10074  fznatpl1  10078  fzdifsuc  10083  fseq1p1m1  10096  flqge  10284  2tnp1ge0ge0  10303  ceiqm1l  10313  addmodlteq  10400  frec2uzzd  10402  frec2uzrdg  10411  uzsinds  10444  seq3f1olemqsumkj  10500  seq3f1olemqsumk  10501  bcp1nk  10744  bcval5  10745  hashfz  10803  resqrexlemdecn  11023  telfsumo  11476  fsumparts  11480  binomlem  11493  geo2sum  11524  cvgratnnlemseq  11536  cvgratnnlemabsle  11537  cvgratnnlemsumlt  11538  cvgratnnlemrate  11540  cvgratz  11542  mertenslemub  11544  mertenslemi1  11545  clim2prod  11549  clim2divap  11550  fprodntrivap  11594  fprodeq0  11627  dvdsfac  11868  2tp1odd  11891  opoe  11902  zsupcllemstep  11948  suprzubdc  11955  prmind2  12122  hashdvds  12223  eulerthlemrprm  12231  pcprendvds  12292  nninfdclemcl  12451  nninfdclemp1  12453  lgslem1  14486  lgsval  14490  lgsfvalg  14491  lgsval2lem  14496  lgsvalmod  14505  lgseisenlem1  14535  m1lgs  14537  cvgcmp2nlemabs  14865