Theorem peano2zd 9604

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9514	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  elfzp1  10306  fznatpl1  10310  fzdifsuc  10315  fseq1p1m1  10328  zsupcllemstep  10488  suprzubdc  10495  flqge  10541  2tnp1ge0ge0  10560  ceiqm1l  10572  addmodlteq  10659  frec2uzzd  10661  frec2uzrdg  10670  uzsinds  10705  seq3f1olemqsumkj  10772  seq3f1olemqsumk  10773  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  bcp1nk  11023  bcval5  11024  hashfz  11084  swrds1  11248  resqrexlemdecn  11572  telfsumo  12026  fsumparts  12030  binomlem  12043  geo2sum  12074  cvgratnnlemseq  12086  cvgratnnlemabsle  12087  cvgratnnlemsumlt  12088  cvgratnnlemrate  12090  cvgratz  12092  mertenslemub  12094  mertenslemi1  12095  clim2prod  12099  clim2divap  12100  fprodntrivap  12144  fprodeq0  12177  dvdsfac  12420  2tp1odd  12444  opoe  12455  bits0o  12510  bitsp1o  12513  bitsinv1lem  12521  bitsinv1  12522  prmind2  12691  hashdvds  12792  eulerthlemrprm  12800  pcprendvds  12862  nninfdclemcl  13068  nninfdclemp1  13070  gsumsplit1r  13480  gsumprval  13481  gsumfzfsumlemm  14600  elply2  15458  wilthlem1  15703  perfectlem2  15723  perfect  15724  lgslem1  15728  lgsval  15732  lgsfvalg  15733  lgsval2lem  15738  lgsvalmod  15747  gausslemma2dlem5a  15793  gausslemma2dlem5  15794  gausslemma2dlem6  15795  lgseisenlem1  15798  lgsquadlem1  15805  lgsquadlem2  15806  m1lgs  15813  2lgslem1a  15816  2lgslem1  15819  2lgslem3c  15823  2lgslem3d  15824  2lgslem3b1  15826  2lgslem3c1  15827  wlk1walkdom  16209  cvgcmp2nlemabs  16636