Theorem peano2zd 9771

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9680	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182  ℤcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  elfzp1  10479  fznatpl1  10483  fzdifsuc  10488  fseq1p1m1  10501  zsupcllemstep  10662  suprzubdc  10671  flqge  10717  2tnp1ge0ge0  10736  ceiqm1l  10748  addmodlteq  10835  frec2uzzd  10837  frec2uzrdg  10846  uzsinds  10881  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  bcp1nk  11200  bcval5  11201  hashfz  11262  swrds1  11440  resqrexlemdecn  11778  telfsumo  12233  fsumparts  12237  binomlem  12250  geo2sum  12281  cvgratnnlemseq  12293  cvgratnnlemabsle  12294  cvgratnnlemsumlt  12295  cvgratnnlemrate  12297  cvgratz  12299  mertenslemub  12301  mertenslemi1  12302  clim2prod  12306  clim2divap  12307  fprodntrivap  12351  fprodeq0  12384  dvdsfac  12627  2tp1odd  12651  opoe  12662  bits0o  12717  bitsp1o  12720  bitsinv1lem  12728  bitsinv1  12729  prmind2  12898  hashdvds  12999  eulerthlemrprm  13007  pcprendvds  13069  ballotfilemfc0  13232  ballotfilemfcc  13233  ballotfilemsv  13253  ballotfilemsf1o  13257  ballotfilemsima  13259  nninfdclemcl  13339  nninfdclemp1  13341  gzsumsplit1r  13715  elply2  15836  birthdaylem2  16088  wilthlem1  16094  perfectlem2  16114  perfect  16115  lgslem1  16119  lgsval  16123  lgsfvalg  16124  lgsval2lem  16129  lgsvalmod  16138  gausslemma2dlem5a  16184  gausslemma2dlem5  16185  gausslemma2dlem6  16186  lgseisenlem1  16189  lgsquadlem1  16196  lgsquadlem2  16197  m1lgs  16204  2lgslem1a  16207  2lgslem1  16210  2lgslem3c  16214  2lgslem3d  16215  2lgslem3b1  16217  2lgslem3c1  16218  wlk1walkdom  16600  cvgcmp2nlemabs  17081