Theorem peano2zd 9337

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9248	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  1c1 7775   + caddc 7777  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  elfzp1  10028  fznatpl1  10032  fzdifsuc  10037  fseq1p1m1  10050  flqge  10238  2tnp1ge0ge0  10257  ceiqm1l  10267  addmodlteq  10354  frec2uzzd  10356  frec2uzrdg  10365  uzsinds  10398  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  bcp1nk  10696  bcval5  10697  hashfz  10756  resqrexlemdecn  10976  telfsumo  11429  fsumparts  11433  binomlem  11446  geo2sum  11477  cvgratnnlemseq  11489  cvgratnnlemabsle  11490  cvgratnnlemsumlt  11491  cvgratnnlemrate  11493  cvgratz  11495  mertenslemub  11497  mertenslemi1  11498  clim2prod  11502  clim2divap  11503  fprodntrivap  11547  fprodeq0  11580  dvdsfac  11820  2tp1odd  11843  opoe  11854  zsupcllemstep  11900  suprzubdc  11907  prmind2  12074  hashdvds  12175  eulerthlemrprm  12183  pcprendvds  12244  nninfdclemcl  12403  nninfdclemp1  12405  lgslem1  13695  lgsval  13699  lgsfvalg  13700  lgsval2lem  13705  lgsvalmod  13714  cvgcmp2nlemabs  14064