Theorem peano2zd 8925

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 8840	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5666  1c1 7405   + caddc 7407  ℤcz 8804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805

This theorem is referenced by:  elfzp1  9540  fznatpl1  9544  fzdifsuc  9549  fseq1p1m1  9562  flqge  9743  2tnp1ge0ge0  9762  ceiqm1l  9772  addmodlteq  9859  frec2uzzd  9861  frec2uzrdg  9870  uzsinds  9902  seq3f1olemqsumkj  9981  seq3f1olemqsumk  9982  bcp1nk  10224  ibcval5  10225  hashfz  10283  resqrexlemdecn  10499  telfsumo  10914  fsumparts  10918  binomlem  10931  geo2sum  10962  cvgratnnlemseq  10974  cvgratnnlemabsle  10975  cvgratnnlemsumlt  10976  cvgratnnlemrate  10978  cvgratz  10980  mertenslemub  10982  mertenslemi1  10983  dvdsfac  11193  2tp1odd  11216  opoe  11227  zsupcllemstep  11273  prmind2  11434  hashdvds  11529