Theorem peano2zd 9470

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9381	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7899   + caddc 7901  ℤcz 9345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346

This theorem is referenced by:  elfzp1  10166  fznatpl1  10170  fzdifsuc  10175  fseq1p1m1  10188  zsupcllemstep  10338  suprzubdc  10345  flqge  10391  2tnp1ge0ge0  10410  ceiqm1l  10422  addmodlteq  10509  frec2uzzd  10511  frec2uzrdg  10520  uzsinds  10555  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3f1olemqsumk  10623  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  bcp1nk  10873  bcval5  10874  hashfz  10932  resqrexlemdecn  11196  telfsumo  11650  fsumparts  11654  binomlem  11667  geo2sum  11698  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemabsle  11711  cvgratnnlemsumlt  11712  cvgratnnlemrate  11714  cvgratz  11716  mertenslemub  11718  mertenslemi1  11719  clim2prod  11723  clim2divap  11724  fprodntrivap  11768  fprodeq0  11801  dvdsfac  12044  2tp1odd  12068  opoe  12079  bits0o  12134  bitsp1o  12137  bitsinv1lem  12145  bitsinv1  12146  prmind2  12315  hashdvds  12416  eulerthlemrprm  12424  pcprendvds  12486  nninfdclemcl  12692  nninfdclemp1  12694  gsumsplit1r  13102  gsumprval  13103  gsumfzfsumlemm  14221  elply2  15079  wilthlem1  15324  perfectlem2  15344  perfect  15345  lgslem1  15349  lgsval  15353  lgsfvalg  15354  lgsval2lem  15359  lgsvalmod  15368  gausslemma2dlem5a  15414  gausslemma2dlem5  15415  gausslemma2dlem6  15416  lgseisenlem1  15419  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  m1lgs  15434  2lgslem1a  15437  2lgslem1  15440  2lgslem3c  15444  2lgslem3d  15445  2lgslem3b1  15447  2lgslem3c1  15448  cvgcmp2nlemabs  15789