Theorem peano2zd 9468

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7897   + caddc 7899  ℤcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  elfzp1  10164  fznatpl1  10168  fzdifsuc  10173  fseq1p1m1  10186  zsupcllemstep  10336  suprzubdc  10343  flqge  10389  2tnp1ge0ge0  10408  ceiqm1l  10420  addmodlteq  10507  frec2uzzd  10509  frec2uzrdg  10518  uzsinds  10553  seq3f1olemqsumkj  10620  seq3f1olemqsumk  10621  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  bcp1nk  10871  bcval5  10872  hashfz  10930  resqrexlemdecn  11194  telfsumo  11648  fsumparts  11652  binomlem  11665  geo2sum  11696  cvgratnnlemseq  11708  cvgratnnlemabsle  11709  cvgratnnlemsumlt  11710  cvgratnnlemrate  11712  cvgratz  11714  mertenslemub  11716  mertenslemi1  11717  clim2prod  11721  clim2divap  11722  fprodntrivap  11766  fprodeq0  11799  dvdsfac  12042  2tp1odd  12066  opoe  12077  bits0o  12132  bitsp1o  12135  bitsinv1lem  12143  bitsinv1  12144  prmind2  12313  hashdvds  12414  eulerthlemrprm  12422  pcprendvds  12484  nninfdclemcl  12690  nninfdclemp1  12692  gsumsplit1r  13100  gsumprval  13101  gsumfzfsumlemm  14219  elply2  15055  wilthlem1  15300  perfectlem2  15320  perfect  15321  lgslem1  15325  lgsval  15329  lgsfvalg  15330  lgsval2lem  15335  lgsvalmod  15344  gausslemma2dlem5a  15390  gausslemma2dlem5  15391  gausslemma2dlem6  15392  lgseisenlem1  15395  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403  m1lgs  15410  2lgslem1a  15413  2lgslem1  15416  2lgslem3c  15420  2lgslem3d  15421  2lgslem3b1  15423  2lgslem3c1  15424  cvgcmp2nlemabs  15763