Theorem peano2zd 9583

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9493	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013  ℤcz 9457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458

This theorem is referenced by:  elfzp1  10280  fznatpl1  10284  fzdifsuc  10289  fseq1p1m1  10302  zsupcllemstep  10461  suprzubdc  10468  flqge  10514  2tnp1ge0ge0  10533  ceiqm1l  10545  addmodlteq  10632  frec2uzzd  10634  frec2uzrdg  10643  uzsinds  10678  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  bcp1nk  10996  bcval5  10997  hashfz  11056  swrds1  11215  resqrexlemdecn  11538  telfsumo  11992  fsumparts  11996  binomlem  12009  geo2sum  12040  cvgratnnlemseq  12052  cvgratnnlemabsle  12053  cvgratnnlemsumlt  12054  cvgratnnlemrate  12056  cvgratz  12058  mertenslemub  12060  mertenslemi1  12061  clim2prod  12065  clim2divap  12066  fprodntrivap  12110  fprodeq0  12143  dvdsfac  12386  2tp1odd  12410  opoe  12421  bits0o  12476  bitsp1o  12479  bitsinv1lem  12487  bitsinv1  12488  prmind2  12657  hashdvds  12758  eulerthlemrprm  12766  pcprendvds  12828  nninfdclemcl  13034  nninfdclemp1  13036  gsumsplit1r  13446  gsumprval  13447  gsumfzfsumlemm  14566  elply2  15424  wilthlem1  15669  perfectlem2  15689  perfect  15690  lgslem1  15694  lgsval  15698  lgsfvalg  15699  lgsval2lem  15704  lgsvalmod  15713  gausslemma2dlem5a  15759  gausslemma2dlem5  15760  gausslemma2dlem6  15761  lgseisenlem1  15764  lgsquadlem1  15771  lgsquadlem2  15772  m1lgs  15779  2lgslem1a  15782  2lgslem1  15785  2lgslem3c  15789  2lgslem3d  15790  2lgslem3b1  15792  2lgslem3c1  15793  wlk1walkdom  16100  cvgcmp2nlemabs  16460