Theorem peano2zd 9498

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9408	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5944  1c1 7926   + caddc 7928  ℤcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  elfzp1  10194  fznatpl1  10198  fzdifsuc  10203  fseq1p1m1  10216  zsupcllemstep  10372  suprzubdc  10379  flqge  10425  2tnp1ge0ge0  10444  ceiqm1l  10456  addmodlteq  10543  frec2uzzd  10545  frec2uzrdg  10554  uzsinds  10589  seq3f1olemqsumkj  10656  seq3f1olemqsumk  10657  seqf1oglem1  10664  seqf1oglem2  10665  bcp1nk  10907  bcval5  10908  hashfz  10966  swrds1  11121  resqrexlemdecn  11323  telfsumo  11777  fsumparts  11781  binomlem  11794  geo2sum  11825  cvgratnnlemseq  11837  cvgratnnlemabsle  11838  cvgratnnlemsumlt  11839  cvgratnnlemrate  11841  cvgratz  11843  mertenslemub  11845  mertenslemi1  11846  clim2prod  11850  clim2divap  11851  fprodntrivap  11895  fprodeq0  11928  dvdsfac  12171  2tp1odd  12195  opoe  12206  bits0o  12261  bitsp1o  12264  bitsinv1lem  12272  bitsinv1  12273  prmind2  12442  hashdvds  12543  eulerthlemrprm  12551  pcprendvds  12613  nninfdclemcl  12819  nninfdclemp1  12821  gsumsplit1r  13230  gsumprval  13231  gsumfzfsumlemm  14349  elply2  15207  wilthlem1  15452  perfectlem2  15472  perfect  15473  lgslem1  15477  lgsval  15481  lgsfvalg  15482  lgsval2lem  15487  lgsvalmod  15496  gausslemma2dlem5a  15542  gausslemma2dlem5  15543  gausslemma2dlem6  15544  lgseisenlem1  15547  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555  m1lgs  15562  2lgslem1a  15565  2lgslem1  15568  2lgslem3c  15572  2lgslem3d  15573  2lgslem3b1  15575  2lgslem3c1  15576  cvgcmp2nlemabs  15971