Theorem peano2zd 9595

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9505	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  1c1 8023   + caddc 8025  ℤcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by:  elfzp1  10297  fznatpl1  10301  fzdifsuc  10306  fseq1p1m1  10319  zsupcllemstep  10479  suprzubdc  10486  flqge  10532  2tnp1ge0ge0  10551  ceiqm1l  10563  addmodlteq  10650  frec2uzzd  10652  frec2uzrdg  10661  uzsinds  10696  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3f1olemqsumk  10764  seqf1oglem1  10771  seqf1oglem2  10772  bcp1nk  11014  bcval5  11015  hashfz  11075  swrds1  11239  resqrexlemdecn  11563  telfsumo  12017  fsumparts  12021  binomlem  12034  geo2sum  12065  cvgratnnlemseq  12077  cvgratnnlemabsle  12078  cvgratnnlemsumlt  12079  cvgratnnlemrate  12081  cvgratz  12083  mertenslemub  12085  mertenslemi1  12086  clim2prod  12090  clim2divap  12091  fprodntrivap  12135  fprodeq0  12168  dvdsfac  12411  2tp1odd  12435  opoe  12446  bits0o  12501  bitsp1o  12504  bitsinv1lem  12512  bitsinv1  12513  prmind2  12682  hashdvds  12783  eulerthlemrprm  12791  pcprendvds  12853  nninfdclemcl  13059  nninfdclemp1  13061  gsumsplit1r  13471  gsumprval  13472  gsumfzfsumlemm  14591  elply2  15449  wilthlem1  15694  perfectlem2  15714  perfect  15715  lgslem1  15719  lgsval  15723  lgsfvalg  15724  lgsval2lem  15729  lgsvalmod  15738  gausslemma2dlem5a  15784  gausslemma2dlem5  15785  gausslemma2dlem6  15786  lgseisenlem1  15789  lgsquadlem1  15796  lgsquadlem2  15797  m1lgs  15804  2lgslem1a  15807  2lgslem1  15810  2lgslem3c  15814  2lgslem3d  15815  2lgslem3b1  15817  2lgslem3c1  15818  wlk1walkdom  16156  cvgcmp2nlemabs  16572