Theorem peano2zd 9568

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9478	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  1c1 7996   + caddc 7998  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  elfzp1  10264  fznatpl1  10268  fzdifsuc  10273  fseq1p1m1  10286  zsupcllemstep  10444  suprzubdc  10451  flqge  10497  2tnp1ge0ge0  10516  ceiqm1l  10528  addmodlteq  10615  frec2uzzd  10617  frec2uzrdg  10626  uzsinds  10661  seq3f1olemqsumkj  10728  seq3f1olemqsumk  10729  seqf1oglem1  10736  seqf1oglem2  10737  bcp1nk  10979  bcval5  10980  hashfz  11038  swrds1  11195  resqrexlemdecn  11518  telfsumo  11972  fsumparts  11976  binomlem  11989  geo2sum  12020  cvgratnnlemseq  12032  cvgratnnlemabsle  12033  cvgratnnlemsumlt  12034  cvgratnnlemrate  12036  cvgratz  12038  mertenslemub  12040  mertenslemi1  12041  clim2prod  12045  clim2divap  12046  fprodntrivap  12090  fprodeq0  12123  dvdsfac  12366  2tp1odd  12390  opoe  12401  bits0o  12456  bitsp1o  12459  bitsinv1lem  12467  bitsinv1  12468  prmind2  12637  hashdvds  12738  eulerthlemrprm  12746  pcprendvds  12808  nninfdclemcl  13014  nninfdclemp1  13016  gsumsplit1r  13426  gsumprval  13427  gsumfzfsumlemm  14545  elply2  15403  wilthlem1  15648  perfectlem2  15668  perfect  15669  lgslem1  15673  lgsval  15677  lgsfvalg  15678  lgsval2lem  15683  lgsvalmod  15692  gausslemma2dlem5a  15738  gausslemma2dlem5  15739  gausslemma2dlem6  15740  lgseisenlem1  15743  lgsquadlem1  15750  lgsquadlem2  15751  m1lgs  15758  2lgslem1a  15761  2lgslem1  15764  2lgslem3c  15768  2lgslem3d  15769  2lgslem3b1  15771  2lgslem3c1  15772  cvgcmp2nlemabs  16359