Theorem peano2zd 9445

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9356	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  1c1 7875   + caddc 7877  ℤcz 9320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321

This theorem is referenced by:  elfzp1  10141  fznatpl1  10145  fzdifsuc  10150  fseq1p1m1  10163  flqge  10354  2tnp1ge0ge0  10373  ceiqm1l  10385  addmodlteq  10472  frec2uzzd  10474  frec2uzrdg  10483  uzsinds  10518  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3f1olemqsumk  10586  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  bcp1nk  10836  bcval5  10837  hashfz  10895  resqrexlemdecn  11159  telfsumo  11612  fsumparts  11616  binomlem  11629  geo2sum  11660  cvgratnnlemseq  11672  cvgratnnlemabsle  11673  cvgratnnlemsumlt  11674  cvgratnnlemrate  11676  cvgratz  11678  mertenslemub  11680  mertenslemi1  11681  clim2prod  11685  clim2divap  11686  fprodntrivap  11730  fprodeq0  11763  dvdsfac  12005  2tp1odd  12028  opoe  12039  zsupcllemstep  12085  suprzubdc  12092  prmind2  12261  hashdvds  12362  eulerthlemrprm  12370  pcprendvds  12431  nninfdclemcl  12608  nninfdclemp1  12610  gsumsplit1r  12984  gsumprval  12985  gsumfzfsumlemm  14086  elply2  14914  wilthlem1  15153  lgslem1  15157  lgsval  15161  lgsfvalg  15162  lgsval2lem  15167  lgsvalmod  15176  gausslemma2dlem5a  15222  gausslemma2dlem5  15223  gausslemma2dlem6  15224  lgseisenlem1  15227  lgsquadlem1  15234  lgsquadlem2  15235  m1lgs  15242  2lgslem1a  15245  2lgslem1  15248  2lgslem3c  15252  2lgslem3d  15253  2lgslem3b1  15255  2lgslem3c1  15256  cvgcmp2nlemabs  15592