Theorem peano2zd 9312

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5841  1c1 7750   + caddc 7752  ℤcz 9187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188

This theorem is referenced by:  elfzp1  10003  fznatpl1  10007  fzdifsuc  10012  fseq1p1m1  10025  flqge  10213  2tnp1ge0ge0  10232  ceiqm1l  10242  addmodlteq  10329  frec2uzzd  10331  frec2uzrdg  10340  uzsinds  10373  seq3f1olemqsumkj  10429  seq3f1olemqsumk  10430  bcp1nk  10671  bcval5  10672  hashfz  10730  resqrexlemdecn  10950  telfsumo  11403  fsumparts  11407  binomlem  11420  geo2sum  11451  cvgratnnlemseq  11463  cvgratnnlemabsle  11464  cvgratnnlemsumlt  11465  cvgratnnlemrate  11467  cvgratz  11469  mertenslemub  11471  mertenslemi1  11472  clim2prod  11476  clim2divap  11477  fprodntrivap  11521  fprodeq0  11554  dvdsfac  11794  2tp1odd  11817  opoe  11828  zsupcllemstep  11874  suprzubdc  11881  prmind2  12048  hashdvds  12149  eulerthlemrprm  12157  pcprendvds  12218  nninfdclemcl  12377  nninfdclemp1  12379  lgslem1  13501  lgsval  13505  lgsfvalg  13506  lgsval2lem  13511  lgsvalmod  13520  cvgcmp2nlemabs  13871