Theorem peano2zd 9703

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 9613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130  ℤcz 9577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  elfzp1  10406  fznatpl1  10410  fzdifsuc  10415  fseq1p1m1  10428  zsupcllemstep  10589  suprzubdc  10596  flqge  10642  2tnp1ge0ge0  10661  ceiqm1l  10673  addmodlteq  10760  frec2uzzd  10762  frec2uzrdg  10771  uzsinds  10806  seq3f1olemqsumkj  10873  seq3f1olemqsumk  10874  seqf1oglem1  10881  seqf1oglem2  10882  bcp1nk  11124  bcval5  11125  hashfz  11186  swrds1  11360  resqrexlemdecn  11697  telfsumo  12152  fsumparts  12156  binomlem  12169  geo2sum  12200  cvgratnnlemseq  12212  cvgratnnlemabsle  12213  cvgratnnlemsumlt  12214  cvgratnnlemrate  12216  cvgratz  12218  mertenslemub  12220  mertenslemi1  12221  clim2prod  12225  clim2divap  12226  fprodntrivap  12270  fprodeq0  12303  dvdsfac  12546  2tp1odd  12570  opoe  12581  bits0o  12636  bitsp1o  12639  bitsinv1lem  12647  bitsinv1  12648  prmind2  12817  hashdvds  12918  eulerthlemrprm  12926  pcprendvds  12988  nninfdclemcl  13199  nninfdclemp1  13201  gsumsplit1r  13611  gsumprval  13612  gsumfzfsumlemm  14735  elply2  15600  wilthlem1  15848  perfectlem2  15868  perfect  15869  lgslem1  15873  lgsval  15877  lgsfvalg  15878  lgsval2lem  15883  lgsvalmod  15892  gausslemma2dlem5a  15938  gausslemma2dlem5  15939  gausslemma2dlem6  15940  lgseisenlem1  15943  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951  m1lgs  15958  2lgslem1a  15961  2lgslem1  15964  2lgslem3c  15968  2lgslem3d  15969  2lgslem3b1  15971  2lgslem3c1  15972  wlk1walkdom  16354  cvgcmp2nlemabs  16816