Theorem eluzmn 9863

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzmn	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Proof of Theorem eluzmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9701	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	1, 3	zsubcld 9708	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
5	1	zred 9703	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	2	nn0red 9556	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 8305	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
8		nn0addge1 9544	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
9	5, 8	sylancom 420	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
10	5, 7, 6, 9	lesub1dd 8837	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
11	5	recnd 8304	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12	6	recnd 8304	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
13	11, 12	pncand 8587	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
14	10, 13	breqtrd 4137	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ≤ 𝑀)
15		eluz2 9862	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ↔ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ≤ 𝑀))
16	4, 1, 14, 15	syl3anbrc 1208	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℝcr 8128   + caddc 8132   ≤ cle 8311   − cmin 8446  ℕ₀cn0 9498  ℤcz 9579  ℤ_≥cuz 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  16412