Theorem eluzmn 9944

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluzmn	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

Proof of Theorem eluzmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9777	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	1, 3	zsubcld 9784	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
5	1	zred 9779	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6	2	nn0red 9632	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
7	5, 6	readdcld 8361	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
8		nn0addge1 9620	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
9	5, 8	sylancom 424	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + 𝑁))
10	5, 7, 6, 9	lesub1dd 8896	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
11	5	recnd 8360	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
12	6	recnd 8360	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
13	11, 12	pncand 8645	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
14	10, 13	breqtrd 4157	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ≤ 𝑀)
15		eluz2 9943	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)) ↔ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑁) ≤ 𝑀))
16	4, 1, 14, 15	syl3anbrc 1212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝcr 8184   + caddc 8188   ≤ cle 8367   − cmin 8504  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938

This theorem is used by:  clwwlkccatlem  16846