Theorem iseqf1olemklt 10569

Description: Lemma for seq3f1o 10588. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemklt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqf1olemklt.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemklt.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemklt.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemklt.kj	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (◡𝐽‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemklt	⊢ (𝜑 → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemklt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemklt.kj	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (◡𝐽‘𝐾))
2	1	neneqd 2385	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾))
3		iseqf1olemklt.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemklt.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7		f1ocnvfv2 5821	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
8	4, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
9		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → (𝐽‘𝑥) = (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)))
10		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → 𝑥 = (◡𝐽‘𝐾))
11	9, 10	eqeq12d 2208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → ((𝐽‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾)))
12		iseqf1olemklt.const	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
14		f1ocnv 5513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
16		f1of 5500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
18	17, 5	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
19		elfzuz 10087	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	20	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		elfzelz 10091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	5, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
24	23	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
25		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾)
26		elfzo2 10216	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
27	21, 24, 25, 26	syl3anbrc 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
28	11, 13, 27	rspcdva 2869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾))
29	8, 28	eqtr3d 2228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾))
30	2, 29	mtand 666	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾)
31		elfzelz 10091	. . . 4 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
32	18, 31	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
33		ztri3or 9360	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
34	23, 32, 33	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
35	2, 30, 34	ecase23d 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472   class class class wbr 4029  ^◡ccnv 4658  ⟶wf 5250  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   < clt 8054  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  ...cfz 10074  ..^cfzo 10208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10582