ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqf1olemklt GIF version

Theorem iseqf1olemklt 10226
Description: Lemma for seq3f1o 10245. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1olemklt.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1olemklt.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemklt.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemklt.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemklt.kj (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
Assertion
Ref Expression
iseqf1olemklt (𝜑𝐾 < (𝐽𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemklt
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemklt.kj . . 3 (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
21neneqd 2306 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐾 = (𝐽𝐾))
3 iseqf1olemklt.j . . . . . 6 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
43adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5 iseqf1olemklt.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
65adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7 f1ocnvfv2 5647 . . . . 5 ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
84, 6, 7syl2anc 408 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = 𝐾)
9 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐽𝐾) → (𝐽𝑥) = (𝐽‘(𝐽𝐾)))
10 id 19 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐽𝐾) → 𝑥 = (𝐽𝐾))
119, 10eqeq12d 2132 . . . . 5 (𝑥 = (𝐽𝐾) → ((𝐽𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(𝐽𝐾)) = (𝐽𝐾)))
12 iseqf1olemklt.const . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
1312adantr 274 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
14 f1ocnv 5348 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
153, 14syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
16 f1of 5335 . . . . . . . . . 10 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1817, 5ffvelrnd 5524 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
19 elfzuz 9770 . . . . . . . 8 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
2018, 19syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
2120adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
22 elfzelz 9774 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
235, 22syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
2423adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
25 simpr 109 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) < 𝐾)
26 elfzo2 9895 . . . . . 6 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((𝐽𝐾) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾))
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1150 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
2811, 13, 27rspcdva 2768 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(𝐽𝐾)) = (𝐽𝐾))
298, 28eqtr3d 2152 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐽𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (𝐽𝐾))
302, 29mtand 639 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐽𝐾) < 𝐾)
31 elfzelz 9774 . . . 4 ((𝐽𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
3218, 31syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾) ∈ ℤ)
33 ztri3or 9065 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐽𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (𝐽𝐾) ∨ 𝐾 = (𝐽𝐾) ∨ (𝐽𝐾) < 𝐾))
3423, 32, 33syl2anc 408 . 2 (𝜑 → (𝐾 < (𝐽𝐾) ∨ 𝐾 = (𝐽𝐾) ∨ (𝐽𝐾) < 𝐾))
352, 30, 34ecase23d 1313 1 (𝜑𝐾 < (𝐽𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3o 946   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  wral 2393   class class class wbr 3899  ccnv 4508  wf 5089  1-1-ontowf1o 5092  cfv 5093  (class class class)co 5742   < clt 7768  cz 9022  cuz 9294  ...cfz 9758  ..^cfzo 9887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-fz 9759  df-fzo 9888
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10239
  Copyright terms: Public domain W3C validator