Theorem iseqf1olemklt 10441

Description: Lemma for seq3f1o 10460. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqf1olemklt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqf1olemklt.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemklt.j	⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemklt.const	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemklt.kj	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (◡𝐽‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
iseqf1olemklt	⊢ (𝜑 → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem iseqf1olemklt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqf1olemklt.kj	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (◡𝐽‘𝐾))
2	1	neneqd 2361	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾))
3		iseqf1olemklt.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
4	3	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
5		iseqf1olemklt.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
6	5	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
7		f1ocnvfv2 5757	. . . . 5 ⊢ ((𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
8	4, 6, 7	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = 𝐾)
9		fveq2 5496	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → (𝐽‘𝑥) = (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)))
10		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → 𝑥 = (◡𝐽‘𝐾))
11	9, 10	eqeq12d 2185	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (◡𝐽‘𝐾) → ((𝐽‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾)))
12		iseqf1olemklt.const	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
13	12	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽‘𝑥) = 𝑥)
14		f1ocnv 5455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
16		f1of 5442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ◡𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
18	17, 5	ffvelrnd 5632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁))
19		elfzuz 9977	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	18, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	20	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22		elfzelz 9981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
23	5, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
24	23	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
25		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾)
26		elfzo2 10106	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾) ↔ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
27	21, 24, 25, 26	syl3anbrc 1176	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀..^𝐾))
28	11, 13, 27	rspcdva 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → (𝐽‘(◡𝐽‘𝐾)) = (◡𝐽‘𝐾))
29	8, 28	eqtr3d 2205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾) → 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾))
30	2, 29	mtand 660	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾)
31		elfzelz 9981	. . . 4 ⊢ ((◡𝐽‘𝐾) ∈ (𝑀...𝑁) → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
32	18, 31	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ)
33		ztri3or 9255	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (◡𝐽‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
34	23, 32, 33	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < (◡𝐽‘𝐾) ∨ 𝐾 = (◡𝐽‘𝐾) ∨ (◡𝐽‘𝐾) < 𝐾))
35	2, 30, 34	ecase23d 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (◡𝐽‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∀wral 2448   class class class wbr 3989  ^◡ccnv 4610  ⟶wf 5194  –1-1-onto→wf1o 5197  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   < clt 7954  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965  ..^cfzo 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10454