Theorem fprodm1 11608

Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodm1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodm1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzp1nel 10106	. . . . 5 ⊢ ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2		fprodm1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 9539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 9378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		1cnd 7975	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	5, 6	npcand 8274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
9	1, 8	mtbii 674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10		disjsn 3656	. . . 4 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
11	9, 10	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12		eluzel2 9535	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	2, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		peano2zm 9293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
16	13	zcnd 9378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16, 6	npcand 8274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
18	17	fveq2d 5521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
19	2, 18	eleqtrrd 2257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))
20		eluzp1m1 9553	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
22		fzsuc2 10081	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
23	13, 21, 22	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
24	7	oveq2d 5893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
25	7	sneqd 3607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
26	25	uneq2d 3291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
27	23, 24, 26	3eqtr3d 2218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28	13, 4	fzfigd 10433	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29		elfzelz 10027	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
30	29	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℤ)
31	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
32	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
33		peano2zm 9293	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
34	32, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
35		fzdcel 10042	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
36	30, 31, 34, 35	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → DECID 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
37	36	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)DECID 𝑗 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
38		fprodm1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	11, 27, 28, 37, 38	fprodsplitdc 11606	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
40		fprodm1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
41	40	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
42	38	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
43		eluzfz2 10034	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
44	2, 43	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
45	41, 42, 44	rspcdva 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
46	40	prodsn 11603	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
47	2, 45, 46	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
48	47	oveq2d 5893	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
49	39, 48	eqtrd 2210	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3129   ∩ cin 3130  ∅c0 3424  {csn 3594  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   − cmin 8130  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ...cfz 10010  ∏cprod 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561

This theorem is referenced by:  fprodp1  11610  fprodm1s  11611