ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imasmulval GIF version

Theorem imasmulval 13406
Description: The value of an image structure's ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasaddf.e ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
imasaddf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasaddf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasaddf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasmulf.p · = (.r𝑅)
imasmulf.a = (.r𝑈)
Assertion
Ref Expression
imasmulval ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐵   𝑅,𝑝,𝑞   𝑎,𝑏,𝑝,𝑞,𝑉   · ,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝐹,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑏,𝑝,𝑞   𝑌,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑞,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑎,𝑏)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem imasmulval
StepHypRef Expression
1 imasaddf.f . 2 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
2 imasaddf.e . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑝𝑉𝑞𝑉)) → (((𝐹𝑎) = (𝐹𝑝) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑎 · 𝑏)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
3 imasaddf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
4 imasaddf.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
5 imasaddf.r . . 3 (𝜑𝑅𝑍)
6 imasmulf.p . . 3 · = (.r𝑅)
7 imasmulf.a . . 3 = (.r𝑈)
83, 4, 1, 5, 6, 7imasmulr 13394 . 2 (𝜑 = 𝑝𝑉 𝑞𝑉 {⟨⟨(𝐹𝑝), (𝐹𝑞)⟩, (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))⟩})
9 basfn 13143 . . . 4 Base Fn V
105elexd 2816 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ V)
11 funfvex 5656 . . . . 5 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
1211funfni 5432 . . . 4 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
139, 10, 12sylancr 414 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
144, 13eqeltrd 2308 . 2 (𝜑𝑉 ∈ V)
15 mulrslid 13217 . . . . 5 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
1615slotex 13111 . . . 4 (𝑅𝑍 → (.r𝑅) ∈ V)
175, 16syl 14 . . 3 (𝜑 → (.r𝑅) ∈ V)
186, 17eqeltrid 2318 . 2 (𝜑· ∈ V)
191, 2, 8, 14, 18imasaddvallemg 13400 1 ((𝜑𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 1004   = wceq 1397  wcel 2202  Vcvv 2802   Fn wfn 5321  ontowfo 5324  cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  .rcmulr 13163  s cimas 13384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-iimas 13387
This theorem is referenced by:  imasrng  13972  imasring  14080
  Copyright terms: Public domain W3C validator