Theorem divalglemex 12633

Description: Lemma for divalg 12635. The quotient and remainder exist. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemex	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1027	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpl2 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	znegcld 9720	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℤ)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 < 0)
5	2	zred 9718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	lt0neg1d 8806	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
7	4, 6	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 0 < -𝐷)
8		elnnz 9604	. . . . 5 ⊢ (-𝐷 ∈ ℕ ↔ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐷))
9	3, 7, 8	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℕ)
10		divalglemnn 12629	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)))
11	1, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)))
12		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℤ)
13	12	znegcld 9720	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → -𝑘 ∈ ℤ)
14		simpr1 1030	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 0 ≤ 𝑟)
15		simpr2 1031	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘-𝐷))
16		simpll2 1064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 9719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝐷 ∈ ℂ)
19	18	absnegd 11899	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
20	15, 19	breqtrd 4140	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘𝐷))
21		simpr3 1032	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))
22	12	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23		mulneg12 8687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (-𝑘 · 𝐷) = (𝑘 · -𝐷))
24	22, 18, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → (-𝑘 · 𝐷) = (𝑘 · -𝐷))
25	24	oveq1d 6073	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))
26	21, 25	eqtr4d 2270	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))
27		oveq1 6065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → (𝑞 · 𝐷) = (-𝑘 · 𝐷))
28	27	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))
29	28	eqeq2d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟)))
30	29	3anbi3d 1355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))))
31	30	rspcev 2923	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑘 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
32	13, 14, 20, 26, 31	syl13anc 1276	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
33	32	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
34	33	rexlimdva 2662	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
35	34	reximdva 2646	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
36	11, 35	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
37		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → 𝐷 = 0)
38		simpl3 1029	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → 𝐷 ≠ 0)
39	37, 38	pm2.21ddne 2497	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
40		simpl1 1027	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simpl2 1028	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
42		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 0 < 𝐷)
43		elnnz 9604	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐷))
44	41, 42, 43	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
45		divalglemnn 12629	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
47		ztri3or0 9636	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
48	47	3ad2ant2 1046	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
49	36, 39, 46, 48	mpjao3dan 1344	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1004   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∃wrex 2523   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  0cc0 8143   + caddc 8146   · cmul 8148   < clt 8324   ≤ cle 8325  -cneg 8461  ℕcn 9254  ℤcz 9594  abscabs 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  divalglemeuneg  12634