Theorem divalglemex 12473

Description: Lemma for divalg 12475. The quotient and remainder exist. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemex	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1024	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpl2 1025	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	znegcld 9594	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℤ)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 < 0)
5	2	zred 9592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	lt0neg1d 8685	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
7	4, 6	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 0 < -𝐷)
8		elnnz 9479	. . . . 5 ⊢ (-𝐷 ∈ ℕ ↔ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐷))
9	3, 7, 8	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℕ)
10		divalglemnn 12469	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)))
11	1, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)))
12		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℤ)
13	12	znegcld 9594	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → -𝑘 ∈ ℤ)
14		simpr1 1027	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 0 ≤ 𝑟)
15		simpr2 1028	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘-𝐷))
16		simpll2 1061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 9593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝐷 ∈ ℂ)
19	18	absnegd 11740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
20	15, 19	breqtrd 4112	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘𝐷))
21		simpr3 1029	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))
22	12	zcnd 9593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23		mulneg12 8566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (-𝑘 · 𝐷) = (𝑘 · -𝐷))
24	22, 18, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → (-𝑘 · 𝐷) = (𝑘 · -𝐷))
25	24	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))
26	21, 25	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))
27		oveq1 6020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → (𝑞 · 𝐷) = (-𝑘 · 𝐷))
28	27	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))
29	28	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟)))
30	29	3anbi3d 1352	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))))
31	30	rspcev 2908	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑘 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
32	13, 14, 20, 26, 31	syl13anc 1273	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
33	32	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
34	33	rexlimdva 2648	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
35	34	reximdva 2632	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
36	11, 35	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
37		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → 𝐷 = 0)
38		simpl3 1026	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → 𝐷 ≠ 0)
39	37, 38	pm2.21ddne 2483	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
40		simpl1 1024	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simpl2 1025	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
42		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 0 < 𝐷)
43		elnnz 9479	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐷))
44	41, 42, 43	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
45		divalglemnn 12469	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
47		ztri3or0 9511	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
48	47	3ad2ant2 1043	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
49	36, 39, 46, 48	mpjao3dan 1341	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1001   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  0cc0 8022   + caddc 8025   · cmul 8027   < clt 8204   ≤ cle 8205  -cneg 8341  ℕcn 9133  ℤcz 9469  abscabs 11548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fl 10520  df-mod 10575  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  divalglemeuneg  12474