Theorem divalglemex 12608

Description: Lemma for divalg 12610. The quotient and remainder exist. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divalglemex	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalglemex

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1027	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpl2 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
3	2	znegcld 9702	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℤ)
4		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 < 0)
5	2	zred 9700	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	lt0neg1d 8789	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → (𝐷 < 0 ↔ 0 < -𝐷))
7	4, 6	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → 0 < -𝐷)
8		elnnz 9587	. . . . 5 ⊢ (-𝐷 ∈ ℕ ↔ (-𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < -𝐷))
9	3, 7, 8	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → -𝐷 ∈ ℕ)
10		divalglemnn 12604	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)))
11	1, 9, 10	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)))
12		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℤ)
13	12	znegcld 9702	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → -𝑘 ∈ ℤ)
14		simpr1 1030	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 0 ≤ 𝑟)
15		simpr2 1031	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘-𝐷))
16		simpll2 1064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝐷 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 9701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝐷 ∈ ℂ)
19	18	absnegd 11874	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → (abs‘-𝐷) = (abs‘𝐷))
20	15, 19	breqtrd 4135	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑟 < (abs‘𝐷))
21		simpr3 1032	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))
22	12	zcnd 9701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑘 ∈ ℂ)
23		mulneg12 8670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (-𝑘 · 𝐷) = (𝑘 · -𝐷))
24	22, 18, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → (-𝑘 · 𝐷) = (𝑘 · -𝐷))
25	24	oveq1d 6065	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))
26	21, 25	eqtr4d 2268	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))
27		oveq1 6057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → (𝑞 · 𝐷) = (-𝑘 · 𝐷))
28	27	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))
29	28	eqeq2d 2244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟)))
30	29	3anbi3d 1355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = -𝑘 → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))))
31	30	rspcev 2921	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑘 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((-𝑘 · 𝐷) + 𝑟))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
32	13, 14, 20, 26, 31	syl13anc 1276	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟))) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
33	32	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
34	33	rexlimdva 2660	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
35	34	reximdva 2644	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → (∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘-𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑘 · -𝐷) + 𝑟)) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
36	11, 35	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 < 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
37		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → 𝐷 = 0)
38		simpl3 1029	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → 𝐷 ≠ 0)
39	37, 38	pm2.21ddne 2495	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 𝐷 = 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
40		simpl1 1027	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝑁 ∈ ℤ)
41		simpl2 1028	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℤ)
42		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 0 < 𝐷)
43		elnnz 9587	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ ↔ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐷))
44	41, 42, 43	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
45		divalglemnn 12604	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐷) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
47		ztri3or0 9619	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
48	47	3ad2ant2 1046	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷 < 0 ∨ 𝐷 = 0 ∨ 0 < 𝐷))
49	36, 39, 46, 48	mpjao3dan 1344	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1004   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∃wrex 2521   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  0cc0 8127   + caddc 8130   · cmul 8132   < clt 8308   ≤ cle 8309  -cneg 8445  ℕcn 9237  ℤcz 9577  abscabs 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by:  divalglemeuneg  12609