ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanapd GIF version

Theorem mulcanapd 8620
Description: Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcand.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
mulcand.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
mulcand.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
mulcand.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)
Assertion
Ref Expression
mulcanapd (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))

Proof of Theorem mulcanapd
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcand.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 mulcand.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)
3 recexap 8612 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ # 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
41, 2, 3syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
5 oveq2 5885 . . . 4 ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ด)) = (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
6 simprl 529 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
71adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
86, 7mulcomd 7981 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐‘ฅ))
9 simprr 531 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)
108, 9eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ถ) = 1)
1110oveq1d 5892 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
12 mulcand.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
146, 7, 13mulassd 7983 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) ยท ๐ด) = (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ด)))
1513mulid2d 7978 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
1611, 14, 153eqtr3d 2218 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ด)) = ๐ด)
1710oveq1d 5892 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) ยท ๐ต) = (1 ยท ๐ต))
18 mulcand.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1918adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
206, 7, 19mulassd 7983 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ถ) ยท ๐ต) = (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
2119mulid2d 7978 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
2217, 20, 213eqtr3d 2218 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ต)) = ๐ต)
2316, 22eqeq12d 2192 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ด)) = (๐‘ฅ ยท (๐ถ ยท ๐ต)) โ†” ๐ด = ๐ต))
245, 23imbitrid 154 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต))
254, 24rexlimddv 2599 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†’ ๐ด = ๐ต))
26 oveq2 5885 . 2 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต))
2725, 26impbid1 142 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) = (๐ถ ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   ยท cmul 7818   # cap 8540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541
This theorem is referenced by:  mulcanap2d  8621  mulcanapad  8622  mulcanap  8624  div11ap  8659  eqneg  8691  dvdscmulr  11829  qredeq  12098  cncongr1  12105  lgseisenlem2  14536
  Copyright terms: Public domain W3C validator