Theorem mulcanapd 8747

Description: Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 # 0)

Assertion

Ref	Expression
mulcanapd	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem mulcanapd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		mulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 # 0)
3		recexap 8739	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5		oveq2 5962	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
6		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	1	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcomd 8107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐶) = (𝐶 · 𝑥))
9		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
10	8, 9	eqtrd 2239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
11	10	oveq1d 5969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
12		mulcand.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	6, 7, 13	mulassd 8109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
15	13	mulid2d 8104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	11, 14, 15	3eqtr3d 2247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
17	10	oveq1d 5969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
18		mulcand.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	6, 7, 19	mulassd 8109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
21	19	mulid2d 8104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22	17, 20, 21	3eqtr3d 2247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
23	16, 22	eqeq12d 2221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
24	5, 23	imbitrid 154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
25	4, 24	rexlimddv 2629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
26		oveq2 5962	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
27	25, 26	impbid1 142	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∃wrex 2486   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  0cc0 7938  1c1 7939   · cmul 7943   # cap 8667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668

This theorem is referenced by:  mulcanap2d  8748  mulcanapad  8749  mulcanap  8751  div11ap  8786  eqneg  8818  dvdscmulr  12181  qredeq  12468  cncongr1  12475  lgseisenlem2  15598