ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcanapd GIF version

Theorem mulcanapd 8390
Description: Cancellation law for multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcand.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulcand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
mulcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
mulcand.4 (𝜑𝐶 # 0)
Assertion
Ref Expression
mulcanapd (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem mulcanapd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcand.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 mulcand.4 . . . 4 (𝜑𝐶 # 0)
3 recexap 8382 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 1)
41, 2, 3syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5 oveq2 5750 . . . 4 ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
6 simprl 505 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
71adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
86, 7mulcomd 7755 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐶) = (𝐶 · 𝑥))
9 simprr 506 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
108, 9eqtrd 2150 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
1110oveq1d 5757 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
12 mulcand.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1312adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
146, 7, 13mulassd 7757 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
1513mulid2d 7752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1611, 14, 153eqtr3d 2158 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
1710oveq1d 5757 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
18 mulcand.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1918adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
206, 7, 19mulassd 7757 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
2119mulid2d 7752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2217, 20, 213eqtr3d 2158 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
2316, 22eqeq12d 2132 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
245, 23syl5ib 153 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
254, 24rexlimddv 2531 . 2 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
26 oveq2 5750 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
2725, 26impbid1 141 1 (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wrex 2394   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   · cmul 7593   # cap 8311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312
This theorem is referenced by:  mulcanap2d  8391  mulcanapad  8392  mulcanap  8394  div11ap  8428  eqneg  8460  dvdscmulr  11449  qredeq  11704  cncongr1  11711
  Copyright terms: Public domain W3C validator