Theorem opprringb 14369

Description: Bidirectional form of opprring 14367. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprringb	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprringb

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
3		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
4	2, 3	ringidcl 14308	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (1r‘𝑂) ∈ (Base‘𝑂))
5	2	basm 13397	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑂) ∈ (Base‘𝑂) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑂)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑂)
7		mptrel 4906	. . . . . 6 ⊢ Rel (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩))
8		df-oppr 14356	. . . . . . 7 ⊢ oppr = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩))
9	8	releqi 4856	. . . . . 6 ⊢ (Rel oppr ↔ Rel (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩)))
10	7, 9	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ Rel oppr
11		opprbas.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
12	11	eleq2i 2305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑂 ↔ 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
13	12	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑂 → 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
15		relelfvdm 5725	. . . . 5 ⊢ ((Rel oppr ∧ 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅)) → 𝑅 ∈ dom oppr)
16	10, 14, 15	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑅 ∈ dom oppr)
17	16	elexd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑅 ∈ V)
18	6, 17	exlimddv 1954	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
19	11	opprringbg 14368	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring))
20	1, 18, 19	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3711   ↦ cmpt 4190  dom cdm 4772  Rel wrel 4777  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  tpos ctpos 6509  ndxcnx 13332   sSet csts 13333  Basecbs 13335  ._rcmulr 13415  1_rcur 14245  Ringcrg 14283  opp_rcoppr 14355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-tpos 6510  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-ring 14285  df-oppr 14356

This theorem is referenced by:  opprlring  14487  opprdrng  14603