Theorem opprringb 14327

Description: Bidirectional form of opprring 14325. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprringb	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprringb

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
2		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
3		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
4	2, 3	ringidcl 14266	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (1r‘𝑂) ∈ (Base‘𝑂))
5	2	basm 13361	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑂) ∈ (Base‘𝑂) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑂)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑂)
7		mptrel 4888	. . . . . 6 ⊢ Rel (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩))
8		df-oppr 14314	. . . . . . 7 ⊢ oppr = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩))
9	8	releqi 4838	. . . . . 6 ⊢ (Rel oppr ↔ Rel (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩)))
10	7, 9	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ Rel oppr
11		opprbas.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
12	11	eleq2i 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑂 ↔ 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
13	12	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑂 → 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
15		relelfvdm 5707	. . . . 5 ⊢ ((Rel oppr ∧ 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅)) → 𝑅 ∈ dom oppr)
16	10, 14, 15	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑅 ∈ dom oppr)
17	16	elexd 2829	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑅 ∈ V)
18	6, 17	exlimddv 1950	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
19	11	opprringbg 14326	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring))
20	1, 18, 19	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  ⟨cop 3697   ↦ cmpt 4176  dom cdm 4754  Rel wrel 4759  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  tpos ctpos 6488  ndxcnx 13296   sSet csts 13297  Basecbs 13299  ._rcmulr 13378  1_rcur 14205  Ringcrg 14242  opp_rcoppr 14313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-tpos 6489  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244  df-oppr 14314

This theorem is referenced by:  opprlring  14445  opprdrng  14561