Theorem opprringb 14470

Description: Bidirectional form of opprring 14468. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprringb	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprringb

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
3		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑂) = (1r‘𝑂)
4	2, 3	ringidcl 14409	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (1r‘𝑂) ∈ (Base‘𝑂))
5	2	basm 13466	. . . 4 ⊢ ((1r‘𝑂) ∈ (Base‘𝑂) → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑂)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑂)
7		mptrel 4908	. . . . . 6 ⊢ Rel (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩))
8		df-oppr 14457	. . . . . . 7 ⊢ oppr = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩))
9	8	releqi 4858	. . . . . 6 ⊢ (Rel oppr ↔ Rel (𝑓 ∈ V ↦ (𝑓 sSet ⟨(.r‘ndx), tpos (.r‘𝑓)⟩)))
10	7, 9	mpbir 146	. . . . 5 ⊢ Rel oppr
11		opprbas.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
12	11	eleq2i 2305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑂 ↔ 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
13	12	biimpi 120	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑂 → 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅))
15		relelfvdm 5727	. . . . 5 ⊢ ((Rel oppr ∧ 𝑗 ∈ (oppr‘𝑅)) → 𝑅 ∈ dom oppr)
16	10, 14, 15	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑅 ∈ dom oppr)
17	16	elexd 2835	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝑂) → 𝑅 ∈ V)
18	6, 17	exlimddv 1954	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
19	11	opprringbg 14469	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring))
20	1, 18, 19	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712   ↦ cmpt 4192  dom cdm 4774  Rel wrel 4779  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  tpos ctpos 6515  ndxcnx 13401   sSet csts 13402  Basecbs 13404  ._rcmulr 13485  1_rcur 14346  Ringcrg 14384  opp_rcoppr 14456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-tpos 6516  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-oppr 14457

This theorem is used by:  opprlring  14588  opprdrng  14704