Theorem ringnegr 13858

Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegr	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringgrp 13807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringnegl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		ringnegl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 13826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
9		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	5, 9	grpinvcl 13424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11	4, 8, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
12		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	5, 12, 13	ringdi 13824	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
15	1, 2, 11, 8, 14	syl13anc 1252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
16		eqid 2206	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	5, 12, 16, 9	grplinv 13426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
18	4, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq2d 5967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
20	5, 13, 16	ringrz 13850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (0g‘𝑅))
23	5, 13, 6	ringridm 13830	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
24	1, 2, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
25	24	oveq2d 5967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2248	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
27	5, 13	ringcl 13819	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
28	1, 2, 11, 27	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
29	5, 12, 16, 9	grpinvid2 13429	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
30	4, 2, 28, 29	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )))
32	31	eqcomd 2212	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  ._rcmulr 12954  0_gc0g 13132  Grpcgrp 13376  inv_gcminusg 13377  1_rcur 13765  Ringcrg 13802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804

This theorem is referenced by:  ringmneg2  13860  lmodsubdi  14150