Theorem ringnegr 14298

Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegr	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringgrp 14247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringnegl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		ringnegl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 14266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
9		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	5, 9	grpinvcl 13806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11	4, 8, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
12		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	5, 12, 13	ringdi 14264	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
15	1, 2, 11, 8, 14	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
16		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	5, 12, 16, 9	grplinv 13808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
18	4, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq2d 6074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
20	5, 13, 16	ringrz 14290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (0g‘𝑅))
23	5, 13, 6	ringridm 14270	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
24	1, 2, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
25	24	oveq2d 6074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2276	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
27	5, 13	ringcl 14259	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
28	1, 2, 11, 27	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
29	5, 12, 16, 9	grpinvid2 13811	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
30	4, 2, 28, 29	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )))
32	31	eqcomd 2240	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Basecbs 13299  +_gcplusg 13377  ._rcmulr 13378  0_gc0g 13556  Grpcgrp 13758  inv_gcminusg 13759  1_rcur 14205  Ringcrg 14242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-0g 13558  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244

This theorem is referenced by:  ringmneg2  14300  lmodsubdi  14621