ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringnegr GIF version

Theorem ringnegr 14068
Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t · = (.r𝑅)
ringnegl.u 1 = (1r𝑅)
ringnegl.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringnegl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
ringnegr (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem ringnegr
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringnegl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringgrp 14017 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
41, 3syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 ringnegl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 ringnegl.u . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 14036 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
81, 7syl 14 . . . . . 6 (𝜑1𝐵)
9 ringnegl.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
105, 9grpinvcl 13633 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
114, 8, 10syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
12 eqid 2231 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringnegl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
145, 12, 13ringdi 14034 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵1𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )))
151, 2, 11, 8, 14syl13anc 1275 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )))
16 eqid 2231 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
175, 12, 16, 9grplinv 13635 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 ) = (0g𝑅))
184, 8, 17syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 ) = (0g𝑅))
1918oveq2d 6034 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g𝑅)))
205, 13, 16ringrz 14060 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
211, 2, 20syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2219, 21eqtrd 2264 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = (0g𝑅))
235, 13, 6ringridm 14040 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
241, 2, 23syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
2524oveq2d 6034 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋))
2615, 22, 253eqtr3rd 2273 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅))
275, 13ringcl 14029 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵)
281, 2, 11, 27syl3anc 1273 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵)
295, 12, 16, 9grpinvid2 13638 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
304, 2, 28, 29syl3anc 1273 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
3126, 30mpbird 167 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )))
3231eqcomd 2237 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1397  wcel 2202  cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  +gcplusg 13162  .rcmulr 13163  0gc0g 13341  Grpcgrp 13585  invgcminusg 13586  1rcur 13975  Ringcrg 14012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-0g 13343  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-mgp 13937  df-ur 13976  df-ring 14014
This theorem is referenced by:  ringmneg2  14070  lmodsubdi  14361
  Copyright terms: Public domain W3C validator