Theorem ringnegr 13229

Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegr	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringgrp 13184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringnegl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		ringnegl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 13203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
9		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	5, 9	grpinvcl 12921	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11	4, 8, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
12		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	5, 12, 13	ringdi 13201	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
15	1, 2, 11, 8, 14	syl13anc 1240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
16		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	5, 12, 16, 9	grplinv 12922	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
18	4, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq2d 5891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
20	5, 13, 16	ringrz 13223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (0g‘𝑅))
23	5, 13, 6	ringridm 13207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
24	1, 2, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
25	24	oveq2d 5891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2219	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
27	5, 13	ringcl 13196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
28	1, 2, 11, 27	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
29	5, 12, 16, 9	grpinvid2 12925	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
30	4, 2, 28, 29	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )))
32	31	eqcomd 2183	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  +_gcplusg 12536  ._rcmulr 12537  0_gc0g 12705  Grpcgrp 12877  inv_gcminusg 12878  1_rcur 13142  Ringcrg 13179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-ring 13181

This theorem is referenced by:  ringmneg2  13231  lmodsubdi  13434