Theorem ringnegr 14217

Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringnegr	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem ringnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringgrp 14166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringnegl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		ringnegl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 14185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
9		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	5, 9	grpinvcl 13782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11	4, 8, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
12		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	5, 12, 13	ringdi 14183	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
15	1, 2, 11, 8, 14	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
16		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	5, 12, 16, 9	grplinv 13784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
18	4, 8, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq2d 6068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
20	5, 13, 16	ringrz 14209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (0g‘𝑅))
23	5, 13, 6	ringridm 14189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
24	1, 2, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
25	24	oveq2d 6068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2276	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
27	5, 13	ringcl 14178	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
28	1, 2, 11, 27	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
29	5, 12, 16, 9	grpinvid2 13787	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
30	4, 2, 28, 29	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )))
32	31	eqcomd 2240	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  +_gcplusg 13311  ._rcmulr 13312  0_gc0g 13490  Grpcgrp 13734  inv_gcminusg 13735  1_rcur 14124  Ringcrg 14161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-ring 14163

This theorem is referenced by:  ringmneg2  14219  lmodsubdi  14541