Theorem ixpsnbasval 13655

Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ixpsnbasval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpsnbasval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnval 6715	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
3		rlmfn 13642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ringLMod Fn V
4		elex 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
5		funfvex 5544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑅 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
6	5	funfni 5328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
7	3, 4, 6	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
8	7	anim1ci 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V))
9		xpsng 5704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
11	10	fveq1d 5529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋))
12		fvsng 5725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
13	8, 12	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
14	11, 13	eqtrd 2220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
15	14	fveq2d 5531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
16		csbfv2g 5565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
17		csbfvg 5566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
18	17	fveq2d 5531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
19	16, 18	eqtrd 2220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
21		rlmbasg 13644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
23	15, 20, 22	3eqtr4d 2230	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
24	23	eleq2d 2257	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) ↔ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)))
25	24	anbi2d 464	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥))) ↔ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))))
26	25	abbidv 2305	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))} = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
27	2, 26	eqtrd 2220	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  {cab 2173  Vcvv 2749  ⦋csb 3069  {csn 3604  ⟨cop 3607   × cxp 4636   Fn wfn 5223  ‘cfv 5228  Xcixp 6712  Basecbs 12476  ringLModcrglmod 13623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-ixp 6713  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-mulr 12565  df-sca 12567  df-vsca 12568  df-ip 12569  df-sra 13624  df-rgmod 13625

This theorem is referenced by: (None)