Theorem ixpsnbasval 14913

Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ixpsnbasval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpsnbasval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnval 6988	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
3		rlmfn 14900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ringLMod Fn V
4		elex 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
5		funfvex 5715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑅 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
6	5	funfni 5486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
7	3, 4, 6	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
8	7	anim1ci 341	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V))
9		xpsng 5887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
10	8, 9	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
11	10	fveq1d 5700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋))
12		fvsng 5914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
13	8, 12	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
14	11, 13	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
15	14	fveq2d 5702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
16		csbfv2g 5740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
17		csbfvg 5741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
18	17	fveq2d 5702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
19	16, 18	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
20	19	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
21		rlmbasg 14902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
22	21	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
23	15, 20, 22	3eqtr4d 2281	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
24	23	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) ↔ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)))
25	24	anbi2d 468	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥))) ↔ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))))
26	25	abbidv 2358	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))} = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
27	2, 26	eqtrd 2271	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  Vcvv 2821  ⦋csb 3147  {csn 3709  ⟨cop 3712   × cxp 4774   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  Xcixp 6985  Basecbs 13411  ringLModcrglmod 14881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-ixp 6986  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-sra 14882  df-rgmod 14883

This theorem is used by: (None)