ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rngnegr GIF version

Theorem rngnegr 13042
Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringnegl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t · = (.r𝑅)
ringnegl.u 1 = (1r𝑅)
ringnegl.n 𝑁 = (invg𝑅)
ringnegl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
rngnegr (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) = (𝑁𝑋))

Proof of Theorem rngnegr
StepHypRef Expression
1 ringnegl.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 ringnegl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
3 ringgrp 12997 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
41, 3syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 ringnegl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 ringnegl.u . . . . . . . 8 1 = (1r𝑅)
75, 6ringidcl 13016 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
81, 7syl 14 . . . . . 6 (𝜑1𝐵)
9 ringnegl.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
105, 9grpinvcl 12798 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
114, 8, 10syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁1 ) ∈ 𝐵)
12 eqid 2177 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
13 ringnegl.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
145, 12, 13ringdi 13014 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵1𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )))
151, 2, 11, 8, 14syl13anc 1240 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )))
16 eqid 2177 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
175, 12, 16, 9grplinv 12799 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1𝐵) → ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 ) = (0g𝑅))
184, 8, 17syl2anc 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 ) = (0g𝑅))
1918oveq2d 5884 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g𝑅)))
205, 13, 16ringrz 13036 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
211, 2, 20syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
2219, 21eqtrd 2210 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁1 )(+g𝑅) 1 )) = (0g𝑅))
235, 13, 6ringridm 13020 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
241, 2, 23syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
2524oveq2d 5884 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋))
2615, 22, 253eqtr3rd 2219 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅))
275, 13ringcl 13009 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑁1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵)
281, 2, 11, 27syl3anc 1238 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵)
295, 12, 16, 9grpinvid2 12802 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
304, 2, 28, 29syl3anc 1238 . . 3 (𝜑 → ((𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁1 ))(+g𝑅)𝑋) = (0g𝑅)))
3126, 30mpbird 167 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝑋 · (𝑁1 )))
3231eqcomd 2183 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑁1 )) = (𝑁𝑋))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  .rcmulr 12506  0gc0g 12640  Grpcgrp 12754  invgcminusg 12755  1rcur 12955  Ringcrg 12992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-mgp 12945  df-ur 12956  df-ring 12994
This theorem is referenced by:  ringmneg2  13044
  Copyright terms: Public domain W3C validator