Theorem uhgreq12g 15884

Description: If two sets have the same vertices and the same edges, one set is a hypergraph iff the other set is a hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Dec-2017.) (Revised by AV, 18-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrf.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
uhgreq12g.w	⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
uhgreq12g.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uhgreq12g	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐻 ∈ 𝑌) ∧ (𝑉 = 𝑊 ∧ 𝐸 = 𝐹)) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ 𝐻 ∈ UHGraph))

Proof of Theorem uhgreq12g

Dummy variables 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrf.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uhgrf.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isuhgrm 15879	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑋 → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐻 ∈ 𝑌) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐻 ∈ 𝑌) ∧ (𝑉 = 𝑊 ∧ 𝐸 = 𝐹)) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = 𝑊 ∧ 𝐸 = 𝐹) → 𝐸 = 𝐹)
7	6	dmeqd 4925	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = 𝑊 ∧ 𝐸 = 𝐹) → dom 𝐸 = dom 𝐹)
8		pweq 3652	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 = 𝑊 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 𝑊)
9	8	rabeqdv 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑉 = 𝑊 → {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑊 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑉 = 𝑊 ∧ 𝐸 = 𝐹) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑊 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
11	6, 7, 10	feq123d 5464	. . 3 ⊢ ((𝑉 = 𝑊 ∧ 𝐸 = 𝐹) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑊 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
12		uhgreq12g.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (Vtx‘𝐻)
13		uhgreq12g.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
14	12, 13	isuhgrm 15879	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ 𝑌 → (𝐻 ∈ UHGraph ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑊 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
15	14	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐻 ∈ 𝑌) → (𝐻 ∈ UHGraph ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑊 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
16	15	bicomd 141	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐻 ∈ 𝑌) → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑊 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ 𝐻 ∈ UHGraph))
17	11, 16	sylan9bbr 463	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐻 ∈ 𝑌) ∧ (𝑉 = 𝑊 ∧ 𝐸 = 𝐹)) → (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ 𝐻 ∈ UHGraph))
18	5, 17	bitrd 188	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ 𝐻 ∈ 𝑌) ∧ (𝑉 = 𝑊 ∧ 𝐸 = 𝐹)) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ 𝐻 ∈ UHGraph))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  {crab 2512  𝒫 cpw 3649  dom cdm 4719  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  Vtxcvtx 15821  iEdgciedg 15822  UHGraphcuhgr 15875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-uhgrm 15877

This theorem is referenced by: (None)