Theorem uhgrun 15726

Description: The union 𝑈 of two (undirected) hypergraphs 𝐺 and 𝐻 with the same vertex set 𝑉 is a hypergraph with the vertex set 𝑉 and the union (𝐸 ∪ 𝐹) of the (indexed) edges. (Contributed by AV, 11-Oct-2020.) (Revised by AV, 24-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrun.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
uhgrun.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
uhgrun.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
uhgrun.f	⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
uhgrun.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrun.vh	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
uhgrun.i	⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
uhgrun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
uhgrun.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
uhgrun.un	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uhgrun	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgrun

Dummy variables 𝑠 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrun.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		uhgrun.vg	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		uhgrun.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	uhgrfm 15713	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
6		uhgrun.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ UHGraph)
7		eqid 2206	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐻)
8		uhgrun.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (iEdg‘𝐻)
9	7, 8	uhgrfm 15713	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ UHGraph → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
10	6, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
11		uhgrun.vh	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	eqcomd 2212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Vtx‘𝐻))
13	12	pweqd 3622	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 (Vtx‘𝐻))
14	13	rabeqdv 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
15	14	feq3d 5420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐻) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
16	10, 15	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
17		uhgrun.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐸 ∩ dom 𝐹) = ∅)
18	5, 16, 17	fun2d 5456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
19		uhgrun.un	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈) = (𝐸 ∪ 𝐹))
20	19	dmeqd 4885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = dom (𝐸 ∪ 𝐹))
21		dmun 4890	. . . . 5 ⊢ dom (𝐸 ∪ 𝐹) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)
22	20, 21	eqtrdi 2255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝑈) = (dom 𝐸 ∪ dom 𝐹))
23		uhgrun.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑈) = 𝑉)
24	23	pweqd 3622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘𝑈) = 𝒫 𝑉)
25	24	rabeqdv 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
26	19, 22, 25	feq123d 5422	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠} ↔ (𝐸 ∪ 𝐹):(dom 𝐸 ∪ dom 𝐹)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
27	18, 26	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠})
28		uhgrun.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑊)
29		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝑈) = (Vtx‘𝑈)
30		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝑈) = (iEdg‘𝑈)
31	29, 30	isuhgrm 15711	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑊 → (𝑈 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
32	28, 31	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝑈):dom (iEdg‘𝑈)⟶{𝑠 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝑈) ∣ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝑠}))
33	27, 32	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ UHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  {crab 2489   ∪ cun 3165   ∩ cin 3166  ∅c0 3461  𝒫 cpw 3617  dom cdm 4679  ⟶wf 5272  ‘cfv 5276  Vtxcvtx 15655  iEdgciedg 15656  UHGraphcuhgr 15707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-fo 5282  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-sub 8252  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-9 9109  df-n0 9303  df-dec 9512  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-edgf 15648  df-vtx 15657  df-iedg 15658  df-uhgrm 15709

This theorem is referenced by:  uhgrunop  15727  ushgrun  15728