Theorem umgrspanop 16730

Description: A spanning subgraph of a multigraph represented by an ordered pair is a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspanop.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspanop.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrspanop	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩ ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrspanop

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspanop.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uhgrspanop.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		vex 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝑔 ∈ V
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸 ↾ 𝐴))) → 𝑔 ∈ V)
5		simprl 535	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸 ↾ 𝐴))) → (Vtx‘𝑔) = 𝑉)
6		simprr 537	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸 ↾ 𝐴))) → (iEdg‘𝑔) = (𝐸 ↾ 𝐴))
7		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸 ↾ 𝐴))) → 𝐺 ∈ UMGraph)
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	umgrspan 16726	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸 ↾ 𝐴))) → 𝑔 ∈ UMGraph)
9	8	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸 ↾ 𝐴)) → 𝑔 ∈ UMGraph))
10	9	alrimiv 1927	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ∀𝑔(((Vtx‘𝑔) = 𝑉 ∧ (iEdg‘𝑔) = (𝐸 ↾ 𝐴)) → 𝑔 ∈ UMGraph))
11		vtxex 16464	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Vtx‘𝐺) ∈ V)
12	1, 11	eqeltrid 2325	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑉 ∈ V)
13		iedgex 16465	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺) ∈ V)
14	2, 13	eqeltrid 2325	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐸 ∈ V)
15		resexg 5105	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ V → (𝐸 ↾ 𝐴) ∈ V)
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐸 ↾ 𝐴) ∈ V)
17	10, 12, 16	gropeld 16495	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ⟨𝑉, (𝐸 ↾ 𝐴)⟩ ∈ UMGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ⟨cop 3712   ↾ cres 4778  ‘cfv 5380  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UMGraphcumgr 16538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-en 7027  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-edg 16504  df-uhgrm 16515  df-upgren 16539  df-umgren 16540  df-subgr 16700

This theorem is used by: (None)