Theorem dvrfvald 13765

Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrfvald.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
dvrfvald.t	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
dvrfvald.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
dvrfvald.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
dvrfvald.d	⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
dvrfvald.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
dvrfvald	⊢ (𝜑 → / = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥 · (𝐼‘𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥, · ,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   / (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dvrfvald

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvr 13764	. . 3 ⊢ /r = (𝑟 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Unit‘𝑟) ↦ (𝑥(.r‘𝑟)((invr‘𝑟)‘𝑦))))
2		fveq2 5561	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Base‘𝑟) = (Base‘𝑅))
3		fveq2 5561	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Unit‘𝑟) = (Unit‘𝑅))
4		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (.r‘𝑟) = (.r‘𝑅))
5		eqidd 2197	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → 𝑥 = 𝑥)
6		fveq2 5561	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (invr‘𝑟) = (invr‘𝑅))
7	6	fveq1d 5563	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((invr‘𝑟)‘𝑦) = ((invr‘𝑅)‘𝑦))
8	4, 5, 7	oveq123d 5946	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑥(.r‘𝑟)((invr‘𝑟)‘𝑦)) = (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦)))
9	2, 3, 8	mpoeq123dv 5988	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Unit‘𝑟) ↦ (𝑥(.r‘𝑟)((invr‘𝑟)‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))))
10		dvrfvald.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
11	10	elexd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		basfn 12761	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
13		funfvex 5578	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
14	13	funfni 5361	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
15	12, 11, 14	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
16		eqidd 2197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
17		eqidd 2197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅))
18	16, 17, 10	unitssd 13741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
19	15, 18	ssexd 4174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ∈ V)
20		mpoexga 6279	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Unit‘𝑅) ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))) ∈ V)
21	15, 19, 20	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))) ∈ V)
22	1, 9, 11, 21	fvmptd3 5658	. 2 ⊢ (𝜑 → (/r‘𝑅) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))))
23		dvrfvald.d	. 2 ⊢ (𝜑 → / = (/r‘𝑅))
24		dvrfvald.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
25		dvrfvald.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
26		dvrfvald.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))
27		eqidd 2197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑥 = 𝑥)
28		dvrfvald.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (invr‘𝑅))
29	28	fveq1d 5563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑦) = ((invr‘𝑅)‘𝑦))
30	26, 27, 29	oveq123d 5946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 · (𝐼‘𝑦)) = (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦)))
31	24, 25, 30	mpoeq123dv 5988	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥 · (𝐼‘𝑦))) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ (Unit‘𝑅) ↦ (𝑥(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑦))))
32	22, 23, 31	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝜑 → / = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥 · (𝐼‘𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  Basecbs 12703  ._rcmulr 12781  SRingcsrg 13595  Unitcui 13719  inv_rcinvr 13752  /_rcdvr 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mgp 13553  df-srg 13596  df-dvdsr 13721  df-unit 13722  df-dvr 13764

This theorem is referenced by:  dvrvald  13766