ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvrfvald GIF version

Theorem dvrfvald 13438
Description: Division operation in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 2-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrfvald.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
dvrfvald.t (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
dvrfvald.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
dvrfvald.i (πœ‘ β†’ 𝐼 = (invrβ€˜π‘…))
dvrfvald.d (πœ‘ β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
dvrfvald.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SRing)
Assertion
Ref Expression
dvrfvald (πœ‘ β†’ / = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯, Β· ,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   / (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem dvrfvald
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvr 13437 . . 3 /r = (π‘Ÿ ∈ V ↦ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Ÿ), 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Ÿ) ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘Ÿ)((invrβ€˜π‘Ÿ)β€˜π‘¦))))
2 fveq2 5527 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Baseβ€˜π‘Ÿ) = (Baseβ€˜π‘…))
3 fveq2 5527 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Unitβ€˜π‘Ÿ) = (Unitβ€˜π‘…))
4 fveq2 5527 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (.rβ€˜π‘Ÿ) = (.rβ€˜π‘…))
5 eqidd 2188 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ π‘₯ = π‘₯)
6 fveq2 5527 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (invrβ€˜π‘Ÿ) = (invrβ€˜π‘…))
76fveq1d 5529 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((invrβ€˜π‘Ÿ)β€˜π‘¦) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
84, 5, 7oveq123d 5909 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘Ÿ)((invrβ€˜π‘Ÿ)β€˜π‘¦)) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
92, 3, 8mpoeq123dv 5950 . . 3 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Ÿ), 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Ÿ) ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘Ÿ)((invrβ€˜π‘Ÿ)β€˜π‘¦))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))))
10 dvrfvald.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SRing)
1110elexd 2762 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
12 basfn 12534 . . . . 5 Base Fn V
13 funfvex 5544 . . . . . 6 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
1413funfni 5328 . . . . 5 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
1512, 11, 14sylancr 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
16 eqidd 2188 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
17 eqidd 2188 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…))
1816, 17, 10unitssd 13414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1915, 18ssexd 4155 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) ∈ V)
20 mpoexga 6227 . . . 4 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (Unitβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))) ∈ V)
2115, 19, 20syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))) ∈ V)
221, 9, 11, 21fvmptd3 5622 . 2 (πœ‘ β†’ (/rβ€˜π‘…) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))))
23 dvrfvald.d . 2 (πœ‘ β†’ / = (/rβ€˜π‘…))
24 dvrfvald.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
25 dvrfvald.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
26 dvrfvald.t . . . 4 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π‘…))
27 eqidd 2188 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘₯ = π‘₯)
28 dvrfvald.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (invrβ€˜π‘…))
2928fveq1d 5529 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))
3026, 27, 29oveq123d 5909 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦)) = (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦)))
3124, 25, 30mpoeq123dv 5950 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦))) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↦ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘¦))))
3222, 23, 313eqtr4d 2230 1 (πœ‘ β†’ / = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯ Β· (πΌβ€˜π‘¦))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   Fn wfn 5223  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888   ∈ cmpo 5890  Basecbs 12476  .rcmulr 12552  SRingcsrg 13272  Unitcui 13392  invrcinvr 13425  /rcdvr 13436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-mgp 13230  df-srg 13273  df-dvdsr 13394  df-unit 13395  df-dvr 13437
This theorem is referenced by:  dvrvald  13439
  Copyright terms: Public domain W3C validator