Theorem usgr1vr 16102

Description: A simple graph with one vertex has no edges. (Contributed by AV, 18-Oct-2020.) (Revised by AV, 21-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgr1vr	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem usgr1vr

Dummy variables 𝑒 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrupgr 16042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → 𝐺 ∈ UPGraph)
3		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
5	3, 4	upgredg 15998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑒 = {𝑝, 𝑞})
6	2, 5	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑒 = {𝑝, 𝑞})
7		simplrl 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺))
8		simp-5r 546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → (Vtx‘𝐺) = {𝐴})
9	7, 8	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑝 ∈ {𝐴})
10		elsni 3687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {𝐴} → 𝑝 = 𝐴)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑝 = 𝐴)
12		simplrr 538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))
13	12, 8	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑞 ∈ {𝐴})
14		elsni 3687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ {𝐴} → 𝑞 = 𝐴)
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑞 = 𝐴)
16	11, 15	eqtr4d 2267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑝 = 𝑞)
17		simp-4r 544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝐺 ∈ USGraph)
18		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑒 = {𝑝, 𝑞})
19		simpllr 536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
20	18, 19	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → {𝑝, 𝑞} ∈ (Edg‘𝐺))
21	4	usgredgne 16058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑝, 𝑞} ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑝 ≠ 𝑞)
22	21	neneqd 2423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑝, 𝑞} ∈ (Edg‘𝐺)) → ¬ 𝑝 = 𝑞)
23	17, 20, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → ¬ 𝑝 = 𝑞)
24	16, 23	pm2.21fal 1417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ 𝑒 = {𝑝, 𝑞}) → ⊥)
25	24	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑒 = {𝑝, 𝑞} → ⊥))
26	25	rexlimdvva 2658	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → (∃𝑝 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑞 ∈ (Vtx‘𝐺)𝑒 = {𝑝, 𝑞} → ⊥))
27	6, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → ⊥)
28	27	inegd 1416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → ¬ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
29	28	eq0rdv 3539	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (Edg‘𝐺) = ∅)
30		usgruhgr 16043	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
31		uhgriedg0edg0 15989	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
32	30, 31	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
33	32	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
34	29, 33	mpbid 147	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) ∧ 𝐺 ∈ USGraph) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
35	34	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝐴}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ⊥wfal 1402   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  ∅c0 3494  {csn 3669  {cpr 3670  ‘cfv 5326  Vtxcvtx 15866  iEdgciedg 15867  Edgcedg 15911  UHGraphcuhgr 15921  UPGraphcupgr 15945  USGraphcusgr 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-edgf 15859  df-vtx 15868  df-iedg 15869  df-edg 15912  df-uhgrm 15923  df-upgren 15947  df-umgren 15948  df-uspgren 16009  df-usgren 16010

This theorem is referenced by: (None)