Theorem usgrumgruspgr 16035

Description: A graph is a simple graph iff it is a multigraph and a simple pseudograph. (Contributed by AV, 30-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
usgrumgruspgr	⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))

Proof of Theorem usgrumgruspgr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrumgr 16034	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
2		usgruspgr 16033	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
3	1, 2	jca 306	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))
4		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	uspgrfen 16009	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
7		edgvalg 15909	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
8		umgredgssen 15990	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
9	7, 8	eqsstrrd 3264	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
10		f1ssr 5549	. . . 4 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ ran (iEdg‘𝐺) ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
11	6, 9, 10	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o})
12	4, 5	isusgren 16008	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
13	12	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → (𝐺 ∈ USGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ 𝑥 ≈ 2o}))
14	11, 13	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph) → 𝐺 ∈ USGraph)
15	3, 14	impbii 126	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐺 ∈ USPGraph))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∈ wcel 2202  {crab 2514   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ran crn 4726  –1-1→wf1 5323  ‘cfv 5326  1_oc1o 6574  2_oc2o 6575   ≈ cen 6906  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  Edgcedg 15907  UMGraphcumgr 15942  USPGraphcuspgr 16003  USGraphcusgr 16004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-edg 15908  df-umgren 15944  df-uspgren 16005  df-usgren 16006

This theorem is referenced by: (None)