Theorem initocmd 49700

Description: Initial objects are the object part of colimits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initocmd	⊢ (InitO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅)

Proof of Theorem initocmd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 17894	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		uobrcl 49224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (∅ FuncCat 𝐶) ∈ Cat))
3	2	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
4		0ex 5245	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
6		base0 17122	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (∅ FuncCat 𝐶) = (∅ FuncCat 𝐶)
10	5, 7, 8, 9	0fucterm 49574	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ FuncCat 𝐶) ∈ TermCat)
11		opex 5404	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
12	11	snid 4615	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ {⟨∅, ∅⟩}
13	9	fucbas 17867	. . . . . . 7 ⊢ (∅ Func 𝐶) = (Base‘(∅ FuncCat 𝐶))
14	8	0func 49118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})
15	13, 14	eqtr3id 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Base‘(∅ FuncCat 𝐶)) = {⟨∅, ∅⟩})
16	12, 15	eleqtrrid 2838	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (Base‘(∅ FuncCat 𝐶)))
17		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐶Δfunc∅) = (𝐶Δfunc∅)
18		0cat 17592	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Cat
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
20	17, 8, 19, 9	diagcl 18144	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶Δfunc∅) ∈ (𝐶 Func (∅ FuncCat 𝐶)))
21	10, 16, 20	isinito4 49578	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)))
22	1, 3, 21	pm5.21nii 378	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩))
23	22	eqriv 2728	. 2 ⊢ (InitO‘𝐶) = dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
24		df-ov 7349	. . . 4 ⊢ (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = ((𝐶 Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
25		cmdfval2 49687	. . . 4 ⊢ ((𝐶 Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
26	24, 25	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
27	26	dmeqi 5844	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
28	23, 27	eqtr4i 2757	1 ⊢ (InitO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4283  {csn 4576  ⟨cop 4582  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  Catccat 17567   Func cfunc 17758   FuncCat cfuc 17849  InitOcinito 17885  Δ_funccdiag 18115   UP cup 49204   Colimit ccmd 49675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-hom 17182  df-cco 17183  df-cat 17571  df-cid 17572  df-homf 17573  df-comf 17574  df-oppc 17615  df-sect 17651  df-inv 17652  df-iso 17653  df-cic 17700  df-func 17762  df-idfu 17763  df-cofu 17764  df-full 17810  df-fth 17811  df-nat 17850  df-fuc 17851  df-inito 17888  df-termo 17889  df-setc 17980  df-catc 18003  df-xpc 18075  df-1stf 18076  df-curf 18117  df-diag 18119  df-up 49205  df-thinc 49449  df-termc 49504  df-cmd 49677

This theorem is referenced by:  termolmd  49701