Theorem initocmd 50254

Description: Initial objects are the object part of colimits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initocmd	⊢ (InitO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅)

Proof of Theorem initocmd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 18006	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		uobrcl 49778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (∅ FuncCat 𝐶) ∈ Cat))
3	2	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
4		0ex 5256	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
6		base0 17233	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
9		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (∅ FuncCat 𝐶) = (∅ FuncCat 𝐶)
10	5, 7, 8, 9	0fucterm 50128	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ FuncCat 𝐶) ∈ TermCat)
11		opex 5430	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
12	11	snid 4620	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ {⟨∅, ∅⟩}
13	9	fucbas 17979	. . . . . . 7 ⊢ (∅ Func 𝐶) = (Base‘(∅ FuncCat 𝐶))
14	8	0func 49672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})
15	13, 14	eqtr3id 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Base‘(∅ FuncCat 𝐶)) = {⟨∅, ∅⟩})
16	12, 15	eleqtrrid 2868	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (Base‘(∅ FuncCat 𝐶)))
17		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝐶Δfunc∅) = (𝐶Δfunc∅)
18		0cat 17704	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Cat
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
20	17, 8, 19, 9	diagcl 18256	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶Δfunc∅) ∈ (𝐶 Func (∅ FuncCat 𝐶)))
21	10, 16, 20	isinito4 50132	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)))
22	1, 3, 21	pm5.21nii 380	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩))
23	22	eqriv 2758	. 2 ⊢ (InitO‘𝐶) = dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
24		df-ov 7395	. . . 4 ⊢ (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = ((𝐶 Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
25		cmdfval2 50241	. . . 4 ⊢ ((𝐶 Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
26	24, 25	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
27	26	dmeqi 5878	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
28	23, 27	eqtr4i 2787	1 ⊢ (InitO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285  {csn 4581  ⟨cop 4587  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  Catccat 17679   Func cfunc 17870   FuncCat cfuc 17961  InitOcinito 17997  Δ_funccdiag 18227   UP cup 49758   Colimit ccmd 50229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-hom 17293  df-cco 17294  df-cat 17683  df-cid 17684  df-homf 17685  df-comf 17686  df-oppc 17727  df-sect 17763  df-inv 17764  df-iso 17765  df-cic 17812  df-func 17874  df-idfu 17875  df-cofu 17876  df-full 17922  df-fth 17923  df-nat 17962  df-fuc 17963  df-inito 18000  df-termo 18001  df-setc 18092  df-catc 18115  df-xpc 18187  df-1stf 18188  df-curf 18229  df-diag 18231  df-up 49759  df-thinc 50003  df-termc 50058  df-cmd 50231

This theorem is referenced by:  termolmd  50255