Theorem initocmd 49654

Description: Initial objects are the object part of colimits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initocmd	⊢ (InitO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅)

Proof of Theorem initocmd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 17897	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		uobrcl 49178	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (∅ FuncCat 𝐶) ∈ Cat))
3	2	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
4		0ex 5246	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
6		base0 17125	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (∅ FuncCat 𝐶) = (∅ FuncCat 𝐶)
10	5, 7, 8, 9	0fucterm 49528	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ FuncCat 𝐶) ∈ TermCat)
11		opex 5407	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
12	11	snid 4614	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ {⟨∅, ∅⟩}
13	9	fucbas 17870	. . . . . . 7 ⊢ (∅ Func 𝐶) = (Base‘(∅ FuncCat 𝐶))
14	8	0func 49072	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})
15	13, 14	eqtr3id 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Base‘(∅ FuncCat 𝐶)) = {⟨∅, ∅⟩})
16	12, 15	eleqtrrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (Base‘(∅ FuncCat 𝐶)))
17		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐶Δfunc∅) = (𝐶Δfunc∅)
18		0cat 17595	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Cat
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
20	17, 8, 19, 9	diagcl 18147	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶Δfunc∅) ∈ (𝐶 Func (∅ FuncCat 𝐶)))
21	10, 16, 20	isinito4 49532	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)))
22	1, 3, 21	pm5.21nii 378	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩))
23	22	eqriv 2726	. 2 ⊢ (InitO‘𝐶) = dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
24		df-ov 7352	. . . 4 ⊢ (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = ((𝐶 Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
25		cmdfval2 49641	. . . 4 ⊢ ((𝐶 Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
26	24, 25	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
27	26	dmeqi 5847	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
28	23, 27	eqtr4i 2755	1 ⊢ (InitO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ∅c0 4284  {csn 4577  ⟨cop 4583  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  Catccat 17570   Func cfunc 17761   FuncCat cfuc 17852  InitOcinito 17888  Δ_funccdiag 18118   UP cup 49158   Colimit ccmd 49629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-comf 17577  df-oppc 17618  df-sect 17654  df-inv 17655  df-iso 17656  df-cic 17703  df-func 17765  df-idfu 17766  df-cofu 17767  df-full 17813  df-fth 17814  df-nat 17853  df-fuc 17854  df-inito 17891  df-termo 17892  df-setc 17983  df-catc 18006  df-xpc 18078  df-1stf 18079  df-curf 18120  df-diag 18122  df-up 49159  df-thinc 49403  df-termc 49458  df-cmd 49631

This theorem is referenced by:  termolmd  49655