Theorem initocmd 50022

Description: Initial objects are the object part of colimits of the empty diagram. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initocmd	⊢ (InitO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅)

Proof of Theorem initocmd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 17926	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2		uobrcl 49546	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩) → (𝐶 ∈ Cat ∧ (∅ FuncCat 𝐶) ∈ Cat))
3	2	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩) → 𝐶 ∈ Cat)
4		0ex 5254	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ V)
6		base0 17153	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ = (Base‘∅))
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐶 ∈ Cat)
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (∅ FuncCat 𝐶) = (∅ FuncCat 𝐶)
10	5, 7, 8, 9	0fucterm 49896	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ FuncCat 𝐶) ∈ TermCat)
11		opex 5419	. . . . . . 7 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
12	11	snid 4621	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ {⟨∅, ∅⟩}
13	9	fucbas 17899	. . . . . . 7 ⊢ (∅ Func 𝐶) = (Base‘(∅ FuncCat 𝐶))
14	8	0func 49440	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (∅ Func 𝐶) = {⟨∅, ∅⟩})
15	13, 14	eqtr3id 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (Base‘(∅ FuncCat 𝐶)) = {⟨∅, ∅⟩})
16	12, 15	eleqtrrid 2844	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ⟨∅, ∅⟩ ∈ (Base‘(∅ FuncCat 𝐶)))
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐶Δfunc∅) = (𝐶Δfunc∅)
18		0cat 17624	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Cat
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → ∅ ∈ Cat)
20	17, 8, 19, 9	diagcl 18176	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝐶Δfunc∅) ∈ (𝐶 Func (∅ FuncCat 𝐶)))
21	10, 16, 20	isinito4 49900	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)))
22	1, 3, 21	pm5.21nii 378	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩))
23	22	eqriv 2734	. 2 ⊢ (InitO‘𝐶) = dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
24		df-ov 7371	. . . 4 ⊢ (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = ((𝐶 Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩)
25		cmdfval2 50009	. . . 4 ⊢ ((𝐶 Colimit ∅)‘⟨∅, ∅⟩) = ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
26	24, 25	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
27	26	dmeqi 5861	. 2 ⊢ dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅) = dom ((𝐶Δfunc∅)(𝐶 UP (∅ FuncCat 𝐶))⟨∅, ∅⟩)
28	23, 27	eqtr4i 2763	1 ⊢ (InitO‘𝐶) = dom (∅(𝐶 Colimit ∅)∅)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {csn 4582  ⟨cop 4588  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  Catccat 17599   Func cfunc 17790   FuncCat cfuc 17881  InitOcinito 17917  Δ_funccdiag 18147   UP cup 49526   Colimit ccmd 49997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-hom 17213  df-cco 17214  df-cat 17603  df-cid 17604  df-homf 17605  df-comf 17606  df-oppc 17647  df-sect 17683  df-inv 17684  df-iso 17685  df-cic 17732  df-func 17794  df-idfu 17795  df-cofu 17796  df-full 17842  df-fth 17843  df-nat 17882  df-fuc 17883  df-inito 17920  df-termo 17921  df-setc 18012  df-catc 18035  df-xpc 18107  df-1stf 18108  df-curf 18149  df-diag 18151  df-up 49527  df-thinc 49771  df-termc 49826  df-cmd 49999

This theorem is referenced by:  termolmd  50023