MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enqer Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enqer 10944
Description: The equivalence relation for positive fractions is an equivalence relation. Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
enqer ~Q Er (N ร— N)

Proof of Theorem enqer
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq 10934 . 2 ~Q = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (N ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (N ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ข) = (๐‘ค ยทN ๐‘ฃ)))}
2 mulcompi 10919 . 2 (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฅ)
3 mulclpi 10916 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) โˆˆ N)
4 mulasspi 10920 . 2 ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) ยทN ๐‘ง) = (๐‘ฅ ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ง))
5 mulcanpi 10923 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
65biimpd 228 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ N โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฅ ยทN ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทN ๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
71, 2, 3, 4, 6ecopover 8839 1 ~Q Er (N ร— N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   ร— cxp 5676  (class class class)co 7420   Er wer 8721  Ncnpi 10867   ยทN cmi 10869   ~Q ceq 10874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-ni 10895  df-mi 10897  df-enq 10934
This theorem is referenced by:  nqereu  10952  nqerf  10953  nqerid  10956  enqeq  10957  nqereq  10958  adderpq  10979  mulerpq  10980  1nqenq  10985
  Copyright terms: Public domain W3C validator