MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem2 26389
Description: Lemma for aaliou 26394. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
aalioulem2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem2
Dummy variables 𝑟 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 13035 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
2 snssi 4812 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → {1} ⊆ ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 {1} ⊆ ℝ+
4 ssrab2 4089 . . . . . 6 {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ ℝ+
53, 4unssi 4200 . . . . 5 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ+
6 ltso 11338 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 snfi 9081 . . . . . . 7 {1} ∈ Fin
9 aalioulem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
10 aalioulem2.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
12 aalioulem2.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (deg‘𝐹)
1312eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (deg‘𝐹) = 𝑁
14 dgr0 26316 . . . . . . . . . . . . 13 (deg‘0𝑝) = 0
1511, 13, 143netr4g 3017 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ (deg‘0𝑝))
16 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
1716necon3i 2970 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ (deg‘0𝑝) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
19 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ {0}) = (𝐹 “ {0})
2019fta1 26364 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
219, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
2221simpld 494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
23 abrexfi 9389 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
25 rabssab 4094 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}
26 ssfi 9211 . . . . . . . 8 (({𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) → {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
2724, 25, 26sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
28 unfi 9209 . . . . . . 7 (({1} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin) → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin)
298, 27, 28sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin)
30 1ex 11254 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3130snid 4666 . . . . . . . 8 1 ∈ {1}
32 elun1 4191 . . . . . . . 8 (1 ∈ {1} → 1 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
33 ne0i 4346 . . . . . . . 8 (1 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅)
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . 7 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅)
36 rpssre 13039 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
375, 36sstri 4004 . . . . . . 7 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ)
39 fiinfcl 9538 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin ∧ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅ ∧ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ)) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
407, 29, 35, 38, 39syl13anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
415, 40sselid 3992 . . . 4 (𝜑 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ℝ+)
42 0re 11260 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
43 rpge0 13045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑑)
4443rgen 3060 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑
45 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 0 → (𝑐𝑑 ↔ 0 ≤ 𝑑))
4645ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 0 → (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑))
4746rspcev 3621 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑)
4842, 44, 47mp2an 692 . . . . . . . . . 10 𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑
49 ssralv 4063 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ+ → (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑))
505, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑)
5150reximi 3081 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑)
5248, 51ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑
53 eqeq1 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑟)) → (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏)) ↔ (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏))))
5453rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑟)) → (∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏))))
55 aalioulem2.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5655ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ)
57 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
5856, 57resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
5958recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
6055ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
62 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℝ)
6362recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℂ)
6461, 63subeq0ad 11627 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → ((𝐴𝑟) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑟))
6564necon3abid 2974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → ((𝐴𝑟) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑟))
6665biimprd 248 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (¬ 𝐴 = 𝑟 → (𝐴𝑟) ≠ 0))
6766impr 454 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ≠ 0)
6859, 67absrpcld 15483 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ+)
6957recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℂ)
70 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐹𝑟) = 0)
71 plyf 26251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
7372ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
7473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝐹 Fn ℂ)
75 fniniseg 7079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn ℂ → (𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑟) = 0)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑟) = 0)))
7769, 70, 76mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}))
78 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟))
79 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑟))
8079fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝐴𝑏)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
8180rspceeqv 3644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟))) → ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏)))
8277, 78, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏)))
8354, 68, 82elrabd 3696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})
84 elun2 4192 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐴𝑟)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
86 infrelb 12250 . . . . . . . . 9 ((({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
8737, 52, 85, 86mp3an12i 1464 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
8887expr 456 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (¬ 𝐴 = 𝑟 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
8988orrd 863 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
9089ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
9190ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
92 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
9392orbi2d 915 . . . . . . 7 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → ((𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
9493imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))))
9594ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))))
9695rspcev 3621 . . . 4 ((inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
9741, 91, 96syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
98 fveqeq2 6915 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝐹𝑟) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0))
99 eqeq2 2746 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴 = 𝑟𝐴 = (𝑝 / 𝑞)))
100 oveq2 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))
101100fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
102101breq2d 5159 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
10399, 102orbi12d 918 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
10498, 103imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
105104rspcv 3617 . . . . . 6 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
106 znq 12991 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
107 qre 12992 . . . . . . 7 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
108106, 107syl 17 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
109105, 108syl11 33 . . . . 5 (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
110109ralrimivv 3197 . . . 4 (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
111110reximi 3081 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
11297, 111syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
113 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
114 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
11510nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
116115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117114, 116nnexpcld 14280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℕ)
118117nnrpd 13072 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℝ+)
119113, 118rpdivcld 13091 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
120119rpred 13074 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
121120adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
122 simpllr 776 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
123122rpred 13074 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
12455ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
125108adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
126124, 125resubcld 11688 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
127126recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
128127abscld 15471 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
129128adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
130 rpre 13040 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
131130ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
132113rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
133 divid 11950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
135117nnge1d 12311 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑞𝑁))
136134, 135eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑥) ≤ (𝑞𝑁))
137131, 113, 118, 136lediv23d 13142 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ 𝑥)
138137adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ 𝑥)
139 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
140121, 123, 129, 138, 139letrd 11415 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
141140ex 412 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
142141orim2d 968 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
143142imim2d 57 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
144143ralimdvva 3203 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
145144reximdva 3165 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
146112, 145mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  cun 3960  wss 3962  c0 4338  {csn 4630   class class class wbr 5147   Or wor 5595  ccnv 5687  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  infcinf 9478  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  cq 12987  +crp 13031  cexp 14098  chash 14365  abscabs 15269  0𝑝c0p 25717  Polycply 26237  degcdgr 26240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-0p 25718  df-ply 26241  df-idp 26242  df-coe 26243  df-dgr 26244  df-quot 26347
This theorem is referenced by:  aalioulem6  26393
  Copyright terms: Public domain W3C validator