MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem2 25693
Description: Lemma for aaliou 25698. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
aalioulem2.b (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
aalioulem2.c (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
aalioulem2.d (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
aalioulem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐴,𝑝,π‘ž   π‘₯,𝐹,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘₯,π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem2
Dummy variables π‘Ÿ π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12919 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
2 snssi 4768 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ β†’ {1} βŠ† ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 {1} βŠ† ℝ+
4 ssrab2 4037 . . . . . 6 {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} βŠ† ℝ+
53, 4unssi 4145 . . . . 5 ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) βŠ† ℝ+
6 ltso 11235 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
8 snfi 8988 . . . . . . 7 {1} ∈ Fin
9 aalioulem2.b . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€))
10 aalioulem2.c . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1110nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 β‰  0)
12 aalioulem2.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (degβ€˜πΉ)
1312eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (degβ€˜πΉ) = 𝑁
14 dgr0 25623 . . . . . . . . . . . . 13 (degβ€˜0𝑝) = 0
1511, 13, 143netr4g 3023 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) β‰  (degβ€˜0𝑝))
16 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜0𝑝))
1716necon3i 2976 . . . . . . . . . . . 12 ((degβ€˜πΉ) β‰  (degβ€˜0𝑝) β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
19 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝐹 β€œ {0}) = (◑𝐹 β€œ {0})
2019fta1 25668 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∧ 𝐹 β‰  0𝑝) β†’ ((◑𝐹 β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ {0})) ≀ (degβ€˜πΉ)))
219, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {0}) ∈ Fin ∧ (β™―β€˜(◑𝐹 β€œ {0})) ≀ (degβ€˜πΉ)))
2221simpld 495 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {0}) ∈ Fin)
23 abrexfi 9296 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 β€œ {0}) ∈ Fin β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} ∈ Fin)
25 rabssab 4043 . . . . . . . 8 {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} βŠ† {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}
26 ssfi 9117 . . . . . . . 8 (({π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} ∈ Fin ∧ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} βŠ† {π‘Ž ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) β†’ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} ∈ Fin)
2724, 25, 26sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} ∈ Fin)
28 unfi 9116 . . . . . . 7 (({1} ∈ Fin ∧ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} ∈ Fin) β†’ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) ∈ Fin)
298, 27, 28sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) ∈ Fin)
30 1ex 11151 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3130snid 4622 . . . . . . . 8 1 ∈ {1}
32 elun1 4136 . . . . . . . 8 (1 ∈ {1} β†’ 1 ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}))
33 ne0i 4294 . . . . . . . 8 (1 ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) β†’ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) β‰  βˆ…)
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . 7 ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) β‰  βˆ…
3534a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) β‰  βˆ…)
36 rpssre 12922 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
375, 36sstri 3953 . . . . . . 7 ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) βŠ† ℝ
3837a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) βŠ† ℝ)
39 fiinfcl 9437 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) ∈ Fin ∧ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) β‰  βˆ… ∧ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) βŠ† ℝ)) β†’ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}))
407, 29, 35, 38, 39syl13anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}))
415, 40sselid 3942 . . . 4 (πœ‘ β†’ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ℝ+)
42 0re 11157 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
43 rpge0 12928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝑑)
4443rgen 3066 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 0 ≀ 𝑑
45 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 0 β†’ (𝑐 ≀ 𝑑 ↔ 0 ≀ 𝑑))
4645ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 0 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 𝑐 ≀ 𝑑 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 0 ≀ 𝑑))
4746rspcev 3581 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 0 ≀ 𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 𝑐 ≀ 𝑑)
4842, 44, 47mp2an 690 . . . . . . . . . 10 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 𝑐 ≀ 𝑑
49 ssralv 4010 . . . . . . . . . . . 12 (({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) βŠ† ℝ+ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 𝑐 ≀ 𝑑 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))})𝑐 ≀ 𝑑))
505, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 𝑐 ≀ 𝑑 β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))})𝑐 ≀ 𝑑)
5150reximi 3087 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ+ 𝑐 ≀ 𝑑 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))})𝑐 ≀ 𝑑)
5248, 51ax-mp 5 . . . . . . . . 9 βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))})𝑐 ≀ 𝑑
53 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) β†’ (π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏)) ↔ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))))
5453rexbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})(absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))))
55 aalioulem2.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
57 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
5856, 57resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
5958recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ β„‚)
6055ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
62 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
6362recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
6461, 63subeq0ad 11522 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) = 0 ↔ 𝐴 = π‘Ÿ))
6564necon3abid 2980 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ ((𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) β‰  0 ↔ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ))
6665biimprd 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ (Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) β‰  0))
6766impr 455 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) β‰  0)
6859, 67absrpcld 15333 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ ℝ+)
6957recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
70 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0)
71 plyf 25559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„€) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
7372ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn β„‚)
7473ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ 𝐹 Fn β„‚)
75 fniniseg 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn β„‚ β†’ (π‘Ÿ ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ↔ (π‘Ÿ ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ (π‘Ÿ ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ↔ (π‘Ÿ ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0)))
7769, 70, 76mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ (◑𝐹 β€œ {0}))
78 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))
79 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝑏) = (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))
8079fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
8180rspceeqv 3595 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ÿ ∈ (◑𝐹 β€œ {0}) ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})(absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏)))
8277, 78, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})(absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏)))
8354, 68, 82elrabd 3647 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))})
84 elun2 4137 . . . . . . . . . 10 ((absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))} β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}))
86 infrelb 12140 . . . . . . . . 9 ((({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}) βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘‘ ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))})𝑐 ≀ 𝑑 ∧ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ∈ ({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))})) β†’ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
8737, 52, 85, 86mp3an12i 1465 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ∧ Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ)) β†’ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))
8887expr 457 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ (Β¬ 𝐴 = π‘Ÿ β†’ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
8988orrd 861 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) ∧ (πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0) β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
9089ex 413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
9190ralrimiva 3143 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
92 breq1 5108 . . . . . . . 8 (π‘₯ = inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) β†’ (π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))
9392orbi2d 914 . . . . . . 7 (π‘₯ = inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) β†’ ((𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
9493imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))))
9594ralbidv 3174 . . . . 5 (π‘₯ = inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))))
9695rspcev 3581 . . . 4 ((inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ inf(({1} βˆͺ {π‘Ž ∈ ℝ+ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (◑𝐹 β€œ {0})π‘Ž = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ 𝑏))}), ℝ, < ) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
9741, 91, 96syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))))
98 fveqeq2 6851 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (𝑝 / π‘ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 ↔ (πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0))
99 eqeq2 2748 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (𝑝 / π‘ž) β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ↔ 𝐴 = (𝑝 / π‘ž)))
100 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (𝑝 / π‘ž) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘Ÿ) = (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))
101100fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (𝑝 / π‘ž) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) = (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
102101breq2d 5117 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (𝑝 / π‘ž) β†’ (π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)) ↔ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
10399, 102orbi12d 917 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (𝑝 / π‘ž) β†’ ((𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
10498, 103imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = (𝑝 / π‘ž) β†’ (((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) ↔ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
105104rspcv 3577 . . . . . 6 ((𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
106 znq 12877 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ β„š)
107 qre 12878 . . . . . . 7 ((𝑝 / π‘ž) ∈ β„š β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
108106, 107syl 17 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
109105, 108syl11 33 . . . . 5 (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
110109ralrimivv 3195 . . . 4 (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
111110reximi 3087 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘Ÿ) = 0 β†’ (𝐴 = π‘Ÿ ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
11297, 111syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
113 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
114 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘ž ∈ β„•)
11510nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
116115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
117114, 116nnexpcld 14148 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ β„•)
118117nnrpd 12955 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘žβ†‘π‘) ∈ ℝ+)
119113, 118rpdivcld 12974 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ+)
120119rpred 12957 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
121120adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ∈ ℝ)
122 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
123122rpred 12957 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
12455ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
125108adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝑝 / π‘ž) ∈ ℝ)
126124, 125resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ ℝ)
127126recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)) ∈ β„‚)
128127abscld 15321 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
129128adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) ∈ ℝ)
130 rpre 12923 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
131130ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
132113rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
133 divid 11842 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) β†’ (π‘₯ / π‘₯) = 1)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ / π‘₯) = 1)
135117nnge1d 12201 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ 1 ≀ (π‘žβ†‘π‘))
136134, 135eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ / π‘₯) ≀ (π‘žβ†‘π‘))
137131, 113, 118, 136lediv23d 13025 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ π‘₯)
138137adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ π‘₯)
139 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
140121, 123, 129, 138, 139letrd 11312 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) ∧ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))
141140ex 413 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))) β†’ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))
142141orim2d 965 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ ((𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))) β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
143142imim2d 57 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ β„€ ∧ π‘ž ∈ β„•)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
144143ralimdvva 3201 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
145144reximdva 3165 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ π‘₯ ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž)))))))
146112, 145mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘ ∈ β„€ βˆ€π‘ž ∈ β„• ((πΉβ€˜(𝑝 / π‘ž)) = 0 β†’ (𝐴 = (𝑝 / π‘ž) ∨ (π‘₯ / (π‘žβ†‘π‘)) ≀ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ (𝑝 / π‘ž))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2713   β‰  wne 2943  βˆ€wral 3064  βˆƒwrex 3073  {crab 3407   βˆͺ cun 3908   βŠ† wss 3910  βˆ…c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105   Or wor 5544  β—‘ccnv 5632   β€œ cima 5636   Fn wfn 6491  βŸΆwf 6492  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  infcinf 9377  β„‚cc 11049  β„cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189   ≀ cle 11190   βˆ’ cmin 11385   / cdiv 11812  β„•cn 12153  β„•0cn0 12413  β„€cz 12499  β„šcq 12873  β„+crp 12915  β†‘cexp 13967  β™―chash 14230  abscabs 15119  0𝑝c0p 25033  Polycply 25545  degcdgr 25548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034  df-ply 25549  df-idp 25550  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651
This theorem is referenced by:  aalioulem6  25697
  Copyright terms: Public domain W3C validator