MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinopn 22924
Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
iinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinopn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1195 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)
2 dfiin2g 5037 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 simpl 482 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
5 eqid 2735 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
65rnmpt 5971 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
75fmpt 7130 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
81, 7sylib 218 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
98frnd 6745 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐽)
106, 9eqsstrrid 4045 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽)
118fdmd 6747 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 simpr2 1194 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3006 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
14 dm0rn0 5938 . . . . . 6 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅)
156eqeq1i 2740 . . . . . 6 (ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1614, 15bitri 275 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1716necon3bii 2991 . . . 4 (dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
1813, 17sylib 218 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
19 simpr1 1193 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ∈ Fin)
20 abrexfi 9390 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
22 fiinopn 22923 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽))
2322imp 406 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
244, 10, 18, 21, 23syl13anc 1371 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
253, 24eqeltrd 2839 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  c0 4339   cint 4951   ciin 4997  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  wf 6559  Fincfn 8984  Topctop 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-top 22916
This theorem is referenced by:  riinopn  22930  subbascn  23278
  Copyright terms: Public domain W3C validator