Theorem iinopn 22867

Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iinopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinopn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1198	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
2		dfiin2g 4973	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
6	5	rnmpt 5912	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
7	5	fmpt 7062	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐽)
8	1, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐽)
9	8	frnd 6676	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐽)
10	6, 9	eqsstrrid 3961	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	8	fdmd 6678	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≠ ∅)
13	11, 12	eqnetrd 2999	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
14		dm0rn0 5879	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅)
15	6	eqeq1i 2741	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
16	14, 15	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
17	16	necon3bii 2984	. . . 4 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
18	13, 17	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
19		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ∈ Fin)
20		abrexfi 9262	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
22		fiinopn 22866	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽))
23	22	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
24	4, 10, 18, 21, 23	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
25	3, 24	eqeltrd 2836	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  ∩ cint 4889  ∩ ciin 4934   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ran crn 5632  ⟶wf 6494  Fincfn 8893  Topctop 22858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-2o 8406  df-en 8894  df-dom 8895  df-fin 8897  df-top 22859

This theorem is referenced by:  riinopn  22873  subbascn  23219