MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinopn 22817
Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
iinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinopn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1194 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)
2 dfiin2g 5035 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 simpl 482 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
5 eqid 2728 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
65rnmpt 5957 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
75fmpt 7120 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
81, 7sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
98frnd 6730 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐽)
106, 9eqsstrrid 4029 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽)
118fdmd 6733 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 simpr2 1193 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3005 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
14 dm0rn0 5927 . . . . . 6 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅)
156eqeq1i 2733 . . . . . 6 (ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1614, 15bitri 275 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1716necon3bii 2990 . . . 4 (dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
1813, 17sylib 217 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
19 simpr1 1192 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ∈ Fin)
20 abrexfi 9377 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
22 fiinopn 22816 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽))
2322imp 406 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
244, 10, 18, 21, 23syl13anc 1370 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
253, 24eqeltrd 2829 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2705  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  wss 3947  c0 4323   cint 4949   ciin 4997  cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679  wf 6544  Fincfn 8964  Topctop 22808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968  df-top 22809
This theorem is referenced by:  riinopn  22823  subbascn  23171
  Copyright terms: Public domain W3C validator