Theorem iinopn 23133

Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iinopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinopn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
2		dfiin2g 4993	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
4		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
6	5	rnmpt 5945	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
7	5	fmpt 7107	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐽)
8	1, 7	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐽)
9	8	frnd 6715	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐽)
10	6, 9	eqsstrrid 3973	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	8	fdmd 6717	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≠ ∅)
13	11, 12	eqnetrd 3024	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
14		dm0rn0 5912	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅)
15	6	eqeq1i 2767	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
16	14, 15	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
17	16	necon3bii 3009	. . . 4 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
18	13, 17	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
19		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ∈ Fin)
20		abrexfi 9323	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
21	19, 20	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
22		fiinopn 23132	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽))
23	22	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
24	4, 10, 18, 21, 23	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
25	3, 24	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∩ cint 4910  ∩ ciin 4955   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6533  Fincfn 8956  Topctop 23124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8459  df-2o 8460  df-en 8957  df-dom 8958  df-fin 8960  df-top 23125

This theorem is used by:  riinopn  23139  subbascn  23485