MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinopn 22274
Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
iinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinopn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1197 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)
2 dfiin2g 4996 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 simpl 484 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
5 eqid 2733 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
65rnmpt 5914 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
75fmpt 7062 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
81, 7sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
98frnd 6680 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐽)
106, 9eqsstrrid 3997 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽)
118fdmd 6683 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3008 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
14 dm0rn0 5884 . . . . . 6 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅)
156eqeq1i 2738 . . . . . 6 (ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1614, 15bitri 275 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1716necon3bii 2993 . . . 4 (dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
1813, 17sylib 217 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
19 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ∈ Fin)
20 abrexfi 9302 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
22 fiinopn 22273 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽))
2322imp 408 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
244, 10, 18, 21, 23syl13anc 1373 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
253, 24eqeltrd 2834 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3914  c0 4286   cint 4911   ciin 4959  cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638  wf 6496  Fincfn 8889  Topctop 22265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-top 22266
This theorem is referenced by:  riinopn  22280  subbascn  22628
  Copyright terms: Public domain W3C validator