MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinopn 22748
Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
iinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinopn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1193 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)
2 dfiin2g 5026 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 simpl 482 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
5 eqid 2724 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
65rnmpt 5945 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
75fmpt 7102 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
81, 7sylib 217 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
98frnd 6716 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐽)
106, 9eqsstrrid 4024 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽)
118fdmd 6719 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3000 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
14 dm0rn0 5915 . . . . . 6 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅)
156eqeq1i 2729 . . . . . 6 (ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1614, 15bitri 275 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1716necon3bii 2985 . . . 4 (dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
1813, 17sylib 217 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
19 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ∈ Fin)
20 abrexfi 9349 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
22 fiinopn 22747 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽))
2322imp 406 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
244, 10, 18, 21, 23syl13anc 1369 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
253, 24eqeltrd 2825 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2701  wne 2932  wral 3053  wrex 3062  wss 3941  c0 4315   cint 4941   ciin 4989  cmpt 5222  dom cdm 5667  ran crn 5668  wf 6530  Fincfn 8936  Topctop 22739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-fin 8940  df-top 22740
This theorem is referenced by:  riinopn  22754  subbascn  23102
  Copyright terms: Public domain W3C validator