MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iinopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinopn 21214
Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
iinopn ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinopn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1176 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)
2 dfiin2g 4827 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
31, 2syl 17 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
4 simpl 475 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
5 eqid 2779 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
65rnmpt 5670 . . . 4 ran (𝑥𝐴𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵}
75fmpt 6697 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝐽 ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
81, 7sylib 210 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → (𝑥𝐴𝐵):𝐴𝐽)
98frnd 6351 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → ran (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐽)
106, 9syl5eqssr 3907 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽)
118fdmd 6353 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
12 simpr2 1175 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ≠ ∅)
1311, 12eqnetrd 3035 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅)
14 dm0rn0 5640 . . . . . 6 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅)
156eqeq1i 2784 . . . . . 6 (ran (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1614, 15bitri 267 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
1716necon3bii 3020 . . . 4 (dom (𝑥𝐴𝐵) ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
1813, 17sylib 210 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
19 simpr1 1174 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝐴 ∈ Fin)
20 abrexfi 8619 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
22 fiinopn 21213 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽))
2322imp 398 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
244, 10, 18, 21, 23syl13anc 1352 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
253, 24eqeltrd 2867 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  {cab 2759  wne 2968  wral 3089  wrex 3090  wss 3830  c0 4179   cint 4749   ciin 4793  cmpt 5008  dom cdm 5407  ran crn 5408  wf 6184  Fincfn 8306  Topctop 21205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-fin 8310  df-top 21206
This theorem is referenced by:  riinopn  21220  subbascn  21566
  Copyright terms: Public domain W3C validator