Theorem iinopn 22877

Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iinopn	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iinopn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 1198	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)
2		dfiin2g 4974	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
6	5	rnmpt 5906	. . . 4 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
7	5	fmpt 7056	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐽)
8	1, 7	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐽)
9	8	frnd 6670	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐽)
10	6, 9	eqsstrrid 3962	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽)
11	8	fdmd 6672	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
12		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≠ ∅)
13	11, 12	eqnetrd 3000	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅)
14		dm0rn0 5873	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅)
15	6	eqeq1i 2742	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
16	14, 15	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} = ∅)
17	16	necon3bii 2985	. . . 4 ⊢ (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ≠ ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
18	13, 17	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅)
19		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ∈ Fin)
20		abrexfi 9255	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)
22		fiinopn 22876	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽))
23	22	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ⊆ 𝐽 ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ≠ ∅ ∧ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
24	4, 10, 18, 21, 23	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ 𝐽)
25	3, 24	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∩ cint 4890  ∩ ciin 4935   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ran crn 5625  ⟶wf 6488  Fincfn 8886  Topctop 22868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8398  df-2o 8399  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-top 22869

This theorem is referenced by:  riinopn  22883  subbascn  23229