MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptfi 9336
Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptfi (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptfi
StepHypRef Expression
1 funmpt 6576 . . 3 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 funfn 6568 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
31, 2mpbi 229 . 2 (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵)
4 eqid 2732 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
54dmmptss 6230 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
6 ssfi 9158 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
75, 6mpan2 689 . 2 (𝐴 ∈ Fin → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
8 fnfi 9166 . 2 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
93, 7, 8sylancr 587 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3945  cmpt 5225  dom cdm 5670  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  Fincfn 8924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5421  ax-un 7709
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7840  df-1o 8450  df-en 8925  df-fin 8928
This theorem is referenced by:  abrexfi  9337  ccatalpha  14527  prdsmet  23807  gsummpt2co  32135  carsgclctunlem2  33213  carsgclctunlem3  33214  breprexplema  33537  istotbnd3  36508  sstotbnd  36512  totbndbnd  36526  rnmptfi  43702  choicefi  43734  stoweidlem39  44592  fourierdlem31  44691  aacllem  47560
  Copyright terms: Public domain W3C validator