Theorem mptfi 9079

Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6468	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		funfn 6460	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3	1, 2	mpbi 229	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	dmmptss 6141	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
6		ssfi 8921	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
8		fnfi 8929	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
9	3, 7, 8	sylancr 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3891   ↦ cmpt 5161  dom cdm 5588  Fun wfun 6424   Fn wfn 6425  Fincfn 8707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-om 7701  df-1o 8281  df-en 8708  df-fin 8711

This theorem is referenced by:  abrexfi  9080  ccatalpha  14279  prdsmet  23504  gsummpt2co  31287  carsgclctunlem2  32265  carsgclctunlem3  32266  breprexplema  32589  istotbnd3  35908  sstotbnd  35912  totbndbnd  35926  rnmptfi  42660  choicefi  42693  stoweidlem39  43534  fourierdlem31  43633  aacllem  46457