Theorem mptfi 9388

Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6605	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		funfn 6597	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3	1, 2	mpbi 230	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	dmmptss 6262	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
6		ssfi 9211	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
8		fnfi 9215	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
9	3, 7, 8	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5688  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  Fincfn 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-fin 8987

This theorem is referenced by:  abrexfi  9389  ccatalpha  14627  prdsmet  24395  gsummpt2co  33033  carsgclctunlem2  34300  carsgclctunlem3  34301  breprexplema  34623  istotbnd3  37757  sstotbnd  37761  totbndbnd  37775  rnmptfi  45113  choicefi  45142  stoweidlem39  45994  fourierdlem31  46093  aacllem  49031