MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptfi 9334
Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptfi (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptfi
StepHypRef Expression
1 funmpt 6575 . . 3 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 funfn 6567 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
31, 2mpbi 229 . 2 (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵)
4 eqid 2731 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
54dmmptss 6229 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
6 ssfi 9156 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
75, 6mpan2 689 . 2 (𝐴 ∈ Fin → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
8 fnfi 9164 . 2 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
93, 7, 8sylancr 587 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3944  cmpt 5224  dom cdm 5669  Fun wfun 6526   Fn wfn 6527  Fincfn 8922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-om 7839  df-1o 8448  df-en 8923  df-fin 8926
This theorem is referenced by:  abrexfi  9335  ccatalpha  14525  prdsmet  23805  gsummpt2co  32071  carsgclctunlem2  33149  carsgclctunlem3  33150  breprexplema  33473  istotbnd3  36444  sstotbnd  36448  totbndbnd  36462  rnmptfi  43638  choicefi  43670  stoweidlem39  44528  fourierdlem31  44627  aacllem  47496
  Copyright terms: Public domain W3C validator