Theorem mptfi 9288

Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6554	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		funfn 6546	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3	1, 2	mpbi 232	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	dmmptss 6223	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
6		ssfi 9135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
8		fnfi 9140	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
9	3, 7, 8	sylancr 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5643  Fun wfun 6510   Fn wfn 6511  Fincfn 8921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-om 7842  df-1o 8431  df-en 8922  df-fin 8925

This theorem is referenced by:  abrexfi  9289  ccatalpha  14601  prdsmet  24418  gsummpt2co  33189  elrgspnsubrunlem1  33389  carsgclctunlem2  34577  carsgclctunlem3  34578  breprexplema  34885  istotbnd3  38231  sstotbnd  38235  totbndbnd  38249  rnmptfi  45710  choicefi  45738  stoweidlem39  46574  fourierdlem31  46673  aacllem  50383