Theorem mptfi 9260

Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6524	. . 3 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		funfn 6516	. . 3 ⊢ (Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
3	1, 2	mpbi 230	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	4	dmmptss 6194	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
6		ssfi 9097	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
7	5, 6	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
8		fnfi 9102	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
9	3, 7, 8	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  Fincfn 8879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8880  df-fin 8883

This theorem is referenced by:  abrexfi  9261  ccatalpha  14519  prdsmet  24275  gsummpt2co  33020  elrgspnsubrunlem1  33206  carsgclctunlem2  34306  carsgclctunlem3  34307  breprexplema  34617  istotbnd3  37770  sstotbnd  37774  totbndbnd  37788  rnmptfi  45169  choicefi  45198  stoweidlem39  46040  fourierdlem31  46139  aacllem  49806