MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptfi 8817
Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptfi (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptfi
StepHypRef Expression
1 funmpt 6392 . . 3 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 funfn 6384 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
31, 2mpbi 231 . 2 (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵)
4 eqid 2826 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
54dmmptss 6094 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
6 ssfi 8732 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
75, 6mpan2 687 . 2 (𝐴 ∈ Fin → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
8 fnfi 8790 . 2 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
93, 7, 8sylancr 587 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wss 3940  cmpt 5143  dom cdm 5554  Fun wfun 6348   Fn wfn 6349  Fincfn 8503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-fin 8507
This theorem is referenced by:  abrexfi  8818  ccatalpha  13942  prdsmet  22914  gsummpt2co  30619  carsgclctunlem2  31482  carsgclctunlem3  31483  breprexplema  31806  istotbnd3  34936  sstotbnd  34940  totbndbnd  34954  rnmptfi  41311  choicefi  41347  stoweidlem39  42209  fourierdlem31  42308  aacllem  44804
  Copyright terms: Public domain W3C validator