Theorem ac6s3 10537

Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes. Theorem 10.46 of [TakeutiZaring] p. 97. (Contributed by NM, 3-Nov-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ac6s.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6s3	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝜓(𝑥, 𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ac6s.2	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	ac6s2 10536	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
4		exsimpr 1902	. 2 ⊢ (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓) → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦𝜑 → ∃𝑓∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   Fn wfn 6522  ‘cfv 6527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-reg 9564  ax-inf2 9620  ax-ac2 10513

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-en 8952  df-r1 9746  df-rank 9747  df-scott 9901  df-card 9992  df-ac 10167

This theorem is used by: (None)