MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6s2 9704
Description: Generalization of the Axiom of Choice to classes. Slightly strengthened version of ac6s3 9705. (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1 𝐴 ∈ V
ac6s.2 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6s2 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝑦,𝑓   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem ac6s2
StepHypRef Expression
1 rexv 3434 . . 3 (∃𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∃𝑦𝜑)
21ralbii 3108 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝜑)
3 ac6s.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
4 ac6s.2 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
53, 4ac6s 9702 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
6 ffn 6341 . . . . 5 (𝑓:𝐴⟶V → 𝑓 Fn 𝐴)
76anim1i 606 . . . 4 ((𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
87eximi 1798 . . 3 (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶V ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
95, 8syl 17 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦 ∈ V 𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
102, 9sylbir 227 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wex 1743  wcel 2051  wral 3081  wrex 3082  Vcvv 3408   Fn wfn 6180  wf 6181  cfv 6185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-reg 8849  ax-inf2 8896  ax-ac2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-en 8305  df-r1 8985  df-rank 8986  df-card 9160  df-ac 9334
This theorem is referenced by:  ac6s3  9705  ac6s4  9708  ptpconn  32102  ctbssinf  34165
  Copyright terms: Public domain W3C validator