MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6sg 10511
Description: ac6s 10507 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sg.1 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6sg (𝐴𝑉 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6sg
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3319 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑))
2 feq2 6704 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑓:𝑧𝐵𝑓:𝐴𝐵))
3 raleq 3319 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥𝐴 𝜓))
42, 3anbi12d 631 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
54exbidv 1917 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
61, 5imbi12d 344 . 2 (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))))
7 vex 3475 . . 3 𝑧 ∈ V
8 ac6sg.1 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
97, 8ac6s 10507 . 2 (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓))
106, 9vtoclg 3540 1 (𝐴𝑉 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wral 3058  wrex 3067  wf 6544  cfv 6548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-reg 9615  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-en 8964  df-r1 9787  df-rank 9788  df-card 9962  df-ac 10139
This theorem is referenced by:  acsmapd  18545  foresf1o  32299  elrspunidl  33144  reff  33440  cmpcref  33451  omssubadd  33920  nlpfvineqsn  36888  ac6gf  37205
  Copyright terms: Public domain W3C validator