MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6sg 10480
Description: ac6s 10476 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sg.1 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6sg (𝐴𝑉 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6sg
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3314 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑))
2 feq2 6690 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑓:𝑧𝐵𝑓:𝐴𝐵))
3 raleq 3314 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥𝐴 𝜓))
42, 3anbi12d 630 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
54exbidv 1916 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
61, 5imbi12d 344 . 2 (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))))
7 vex 3470 . . 3 𝑧 ∈ V
8 ac6sg.1 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
97, 8ac6s 10476 . 2 (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓))
106, 9vtoclg 3535 1 (𝐴𝑉 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  wf 6530  cfv 6534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-en 8937  df-r1 9756  df-rank 9757  df-card 9931  df-ac 10108
This theorem is referenced by:  acsmapd  18515  foresf1o  32236  elrspunidl  33041  reff  33338  cmpcref  33349  omssubadd  33818  nlpfvineqsn  36790  ac6gf  37103
  Copyright terms: Public domain W3C validator