Theorem ac6sg 10528

Description: ac6s 10524 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6sg.1	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6sg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6sg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3323	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
2		feq2 6717	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑓:𝑧⟶𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
3		raleq 3323	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
4	2, 3	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑓:𝑧⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
5	4	exbidv 1921	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑓(𝑓:𝑧⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
6	1, 5	imbi12d 344	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝑧 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))))
7		vex 3484	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		ac6sg.1	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	7, 8	ac6s 10524	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓))
10	6, 9	vtoclg 3554	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-en 8986  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-ac 10156

This theorem is referenced by:  acsmapd  18599  foresf1o  32523  ac6mapd  32635  elrspunidl  33456  reff  33838  cmpcref  33849  omssubadd  34302  nlpfvineqsn  37410  ac6gf  37739