MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6sg 9598
Description: ac6s 9594 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sg.1 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6sg (𝐴𝑉 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6sg
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3321 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑))
2 feq2 6238 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑓:𝑧𝐵𝑓:𝐴𝐵))
3 raleq 3321 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥𝐴 𝜓))
42, 3anbi12d 625 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
54exbidv 2017 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
61, 5imbi12d 336 . 2 (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))))
7 vex 3388 . . 3 𝑧 ∈ V
8 ac6sg.1 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
97, 8ac6s 9594 . 2 (∀𝑥𝑧𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧𝐵 ∧ ∀𝑥𝑧 𝜓))
106, 9vtoclg 3453 1 (𝐴𝑉 → (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  wf 6097  cfv 6101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-reg 8739  ax-inf2 8788  ax-ac2 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-en 8196  df-r1 8877  df-rank 8878  df-card 9051  df-ac 9225
This theorem is referenced by:  acsmapd  17493  foresf1o  29861  reff  30422  cmpcref  30433  omssubadd  30878  ac6gf  34015
  Copyright terms: Public domain W3C validator