Theorem ac6sg 10401

Description: ac6s 10397 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6sg.1	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6sg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓   𝜓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6sg

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3294	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
2		feq2 6634	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑓:𝑧⟶𝐵 ↔ 𝑓:𝐴⟶𝐵))
3		raleq 3294	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
4	2, 3	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑓:𝑧⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓) ↔ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
5	4	exbidv 1928	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑓(𝑓:𝑧⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓) ↔ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
6	1, 5	imbi12d 345	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝑧 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))))
7		vex 3435	. . 3 ⊢ 𝑧 ∈ V
8		ac6sg.1	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
9	7, 8	ac6s 10397	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 𝜓))
10	6, 9	vtoclg 3500	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-reg 9497  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-en 8884  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-ac 10029

This theorem is referenced by:  acsmapd  18511  foresf1o  32592  ac6mapd  32715  elrspunidl  33511  reff  34023  cmpcref  34034  omssubadd  34484  nlpfvineqsn  37771  ac6gf  38099