Theorem ac6s4 10531

Description: Generalization of the Axiom of Choice to proper classes. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty, possible proper classes. (Contributed by NM, 29-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
ac6s4.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ac6s4	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6s4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4352	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
2	1	ralbii 3092	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
3		ac6s4.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		eleq1 2828	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
5	3, 4	ac6s2 10527	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
6	2, 5	sylbi 217	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3479  ∅c0 4332   Fn wfn 6555  ‘cfv 6560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-reg 9633  ax-inf2 9682  ax-ac2 10504

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-en 8987  df-r1 9805  df-rank 9806  df-card 9980  df-ac 10157

This theorem is referenced by:  ac6s5  10532  ac9s  10534