Theorem bdayle 28359

Description: A condition for bounding a birthday above. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
bdayle	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → ((bday‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))(bday‘𝑦) ∈ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦,𝑂

Proof of Theorem bdayle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayiun 28358	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ No → (bday‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦))
2	1	sseq1d 3944	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ No → ((bday‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∪ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂))
3		iunss 5008	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂)
4		fvex 6929	. . . . 5 ⊢ (bday‘𝑦) ∈ V
5		ordelsuc 7865	. . . . 5 ⊢ (((bday‘𝑦) ∈ V ∧ Ord 𝑂) → ((bday‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂))
6	4, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑂 → ((bday‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂))
7	6	ralbidv 3189	. . 3 ⊢ (Ord 𝑂 → (∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))(bday‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂))
8	3, 7	bitr4id 293	. 2 ⊢ (Ord 𝑂 → (∪ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))(bday‘𝑦) ∈ 𝑂))
9	2, 8	sylan9bb 519	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → ((bday‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))(bday‘𝑦) ∈ 𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∪ ciun 4956  Ord word 6387  suc csuc 6390  ‘cfv 6566  Nocsur 28054  bdaycbday 28056  Ocold 28266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274

This theorem is used by: (None)