Theorem bdayle 28074

Description: A condition for bounding a birthday above. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
bdayle	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦,𝑂

Proof of Theorem bdayle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayiun 28073	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ No → ( bday ‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦))
2	1	sseq1d 3976	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
3		iunss 5013	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂)
4		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝑦) ∈ V
5		ordelsuc 7815	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝑦) ∈ V ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
6	4, 5	mpan 702	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑂 → (( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
7	6	ralbidv 3194	. . 3 ⊢ (Ord 𝑂 → (∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
8	3, 7	bitr4id 293	. 2 ⊢ (Ord 𝑂 → (∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))
9	2, 8	sylan9bb 518	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∪ ciun 4960  Ord word 6360  suc csuc 6363  ‘cfv 6537   No csur 27769   bday cbday 27771   O cold 27981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-1o 8452  df-2o 8453  df-no 27772  df-lts 27773  df-bday 27774  df-slts 27916  df-cuts 27918  df-made 27985  df-old 27986  df-left 27988  df-right 27989

This theorem is referenced by: (None)