Theorem bdayle 28311

Description: A condition for bounding a birthday above. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
bdayle	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → ((bday‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))(bday‘𝑦) ∈ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦,𝑂

Proof of Theorem bdayle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayiun 28310	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ No → (bday‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦))
2	1	sseq1d 3940	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ No → ((bday‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∪ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂))
3		iunss 5002	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂)
4		fvex 6903	. . . . 5 ⊢ (bday‘𝑦) ∈ V
5		ordelsuc 7835	. . . . 5 ⊢ (((bday‘𝑦) ∈ V ∧ Ord 𝑂) → ((bday‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂))
6	4, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑂 → ((bday‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂))
7	6	ralbidv 3185	. . 3 ⊢ (Ord 𝑂 → (∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))(bday‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂))
8	3, 7	bitr4id 293	. 2 ⊢ (Ord 𝑂 → (∪ 𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))suc (bday‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))(bday‘𝑦) ∈ 𝑂))
9	2, 8	sylan9bb 519	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → ((bday‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝑋))(bday‘𝑦) ∈ 𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ∪ ciun 4950  Ord word 6364  suc csuc 6367  ‘cfv 6543  Nocsur 28006  bdaycbday 28008  Ocold 28218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-1o 8484  df-2o 8485  df-no 28009  df-lts 28010  df-bday 28011  df-slts 28153  df-cuts 28155  df-made 28222  df-old 28223  df-left 28225  df-right 28226

This theorem is used by: (None)