Theorem bdayle 28182

Description: A condition for bounding a birthday above. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
bdayle	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦,𝑂

Proof of Theorem bdayle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayiun 28181	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ No → ( bday ‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦))
2	1	sseq1d 3962	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
3		iunss 5003	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂)
4		fvex 6892	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝑦) ∈ V
5		ordelsuc 7817	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝑦) ∈ V ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
6	4, 5	mpan 703	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑂 → (( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
7	6	ralbidv 3185	. . 3 ⊢ (Ord 𝑂 → (∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
8	3, 7	bitr4id 293	. 2 ⊢ (Ord 𝑂 → (∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))
9	2, 8	sylan9bb 519	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∪ ciun 4951  Ord word 6356  suc csuc 6359  ‘cfv 6533   No csur 27877   bday cbday 27879   O cold 28089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-1o 8456  df-2o 8457  df-no 27880  df-lts 27881  df-bday 27882  df-slts 28024  df-cuts 28026  df-made 28093  df-old 28094  df-left 28096  df-right 28097

This theorem is used by: (None)