Theorem bdayle 28109

Description: A condition for bounding a birthday above. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
bdayle	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦,𝑂

Proof of Theorem bdayle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayiun 28108	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ No → ( bday ‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦))
2	1	sseq1d 3968	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
3		iunss 5009	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂)
4		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝑦) ∈ V
5		ordelsuc 7812	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝑦) ∈ V ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
6	4, 5	mpan 702	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑂 → (( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
7	6	ralbidv 3188	. . 3 ⊢ (Ord 𝑂 → (∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
8	3, 7	bitr4id 293	. 2 ⊢ (Ord 𝑂 → (∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))
9	2, 8	sylan9bb 518	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  ∪ ciun 4956  Ord word 6359  suc csuc 6362  ‘cfv 6536   No csur 27804   bday cbday 27806   O cold 28016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-no 27807  df-lts 27808  df-bday 27809  df-slts 27951  df-cuts 27953  df-made 28020  df-old 28021  df-left 28023  df-right 28024

This theorem is referenced by: (None)