Theorem bdayle 27925

Description: A condition for bounding a birthday above. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
bdayle	⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑋   𝑦,𝑂

Proof of Theorem bdayle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayiun 27924	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ No → ( bday ‘𝑋) = ∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦))
2	1	sseq1d 3954	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ No → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
3		iunss 4988	. . 3 ⊢ (∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂)
4		fvex 6848	. . . . 5 ⊢ ( bday ‘𝑦) ∈ V
5		ordelsuc 7765	. . . . 5 ⊢ ((( bday ‘𝑦) ∈ V ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
6	4, 5	mpan 691	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑂 → (( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
7	6	ralbidv 3161	. . 3 ⊢ (Ord 𝑂 → (∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂))
8	3, 7	bitr4id 290	. 2 ⊢ (Ord 𝑂 → (∪ 𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))suc ( bday ‘𝑦) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))
9	2, 8	sylan9bb 509	1 ⊢ ((𝑋 ∈ No ∧ Ord 𝑂) → (( bday ‘𝑋) ⊆ 𝑂 ↔ ∀𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝑋))( bday ‘𝑦) ∈ 𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∪ ciun 4934  Ord word 6317  suc csuc 6320  ‘cfv 6493   No csur 27620   bday cbday 27622   O cold 27832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27623  df-lts 27624  df-bday 27625  df-slts 27767  df-cuts 27769  df-made 27836  df-old 27837  df-left 27839  df-right 27840

This theorem is referenced by: (None)