Theorem breldm 5855

Description: Membership of first of a binary relation in a domain. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opeldm.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
breldm	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem breldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5087	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		opeldm.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		opeldm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	opeldm 5854	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
5	1, 4	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  dom cdm 5622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-dm 5632

This theorem is referenced by:  imaindm  6255  funcnv3  6560  opabiota  6914  dffv2  6927  dff13  7200  exse2  7859  reldmtpos  8175  rntpos  8180  dftpos4  8186  tpostpos  8187  fprlem1  8241  iserd  8661  dmttrcl  9631  ttrclse  9637  frrlem15  9670  dcomex  10358  axdc2lem  10359  dmrecnq  10880  cotr2g  14900  shftfval  14994  geolim2  15795  geomulcvg  15800  geoisum1c  15804  cvgrat  15807  ntrivcvg  15821  eftlub  16035  eflegeo  16047  rpnnen2lem5  16144  imasleval  17463  psdmrn  18497  psssdm2  18505  ovoliunnul  25452  vitalilem5  25557  dvcj  25895  dvrec  25900  dvef  25925  ftc1cn  25991  aaliou3lem3  26292  ulmdv  26352  dvradcnv  26370  abelthlem7  26388  abelthlem9  26390  logtayllem  26608  leibpi  26892  log2tlbnd  26895  zetacvg  26965  hhcms  31263  hhsscms  31338  occl  31364  gsummpt2co  33114  iprodgam  35930  imageval  36116  knoppcnlem6  36756  knoppndvlem6  36775  knoppf  36793  unccur  37915  ftc1cnnc  38004  geomcau  38071  dvradcnv2  44777  xpco2  49290