Theorem breldm 5896

Description: Membership of first of a binary relation in a domain. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opeldm.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
breldm	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem breldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5108	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		opeldm.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		opeldm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	opeldm 5895	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  dom cdm 5659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-dm 5669

This theorem is used by:  imaindm  6301  funcnv3  6607  opabiota  6964  dffv2  6977  dff13  7254  exse2  7917  reldmtpos  8235  rntpos  8240  dftpos4  8246  tpostpos  8247  fprlem1  8302  iserd  8726  dmttrcl  9703  ttrclse  9709  frrlem15  9742  dcomex  10452  axdc2lem  10453  dmrecnq  10980  cotr2g  15051  shftfval  15145  geolim2  15962  geomulcvg  15967  geoisum1c  15971  cvgrat  15974  ntrivcvg  15988  eftlub  16201  eflegeo  16213  rpnnen2lem5  16310  imasleval  17631  psdmrn  18665  psssdm2  18673  ovoliunnul  25736  vitalilem5  25841  dvcj  26179  dvrec  26184  dvef  26209  ftc1cn  26272  aaliou3lem3  26577  ulmdv  26636  dvradcnv  26654  abelthlem7  26671  abelthlem9  26673  logtayllem  26894  leibpi  27177  log2tlbnd  27180  zetacvg  27249  hhcms  31670  hhsscms  31745  occl  31771  gsummpt2co  33475  iprodgam  36308  imageval  36494  knoppcnlem6  37182  knoppndvlem6  37201  knoppf  37219  unccur  38344  ftc1cnnc  38428  geomcau  38496  dvradcnv2  45158  xpco2  49772