Theorem breldm 5897

Description: Membership of first of a binary relation in a domain. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opeldm.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
breldm	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem breldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5109	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		opeldm.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		opeldm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	opeldm 5896	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  dom cdm 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-dm 5670

This theorem is used by:  imaindm  6300  funcnv3  6606  opabiota  6963  dffv2  6976  dff13  7252  exse2  7912  reldmtpos  8228  rntpos  8233  dftpos4  8239  tpostpos  8240  fprlem1  8295  iserd  8719  dmttrcl  9688  ttrclse  9694  frrlem15  9727  dcomex  10437  axdc2lem  10438  dmrecnq  10959  cotr2g  15020  shftfval  15114  geolim2  15932  geomulcvg  15937  geoisum1c  15941  cvgrat  15944  ntrivcvg  15958  eftlub  16171  eflegeo  16183  rpnnen2lem5  16280  imasleval  17601  psdmrn  18635  psssdm2  18643  ovoliunnul  25677  vitalilem5  25782  dvcj  26120  dvrec  26125  dvef  26150  ftc1cn  26213  aaliou3lem3  26518  ulmdv  26577  dvradcnv  26595  abelthlem7  26612  abelthlem9  26614  logtayllem  26835  leibpi  27118  log2tlbnd  27121  zetacvg  27190  hhcms  31566  hhsscms  31641  occl  31667  gsummpt2co  33377  iprodgam  36242  imageval  36428  knoppcnlem6  37115  knoppndvlem6  37134  knoppf  37152  unccur  38282  ftc1cnnc  38371  geomcau  38438  dvradcnv2  45085  xpco2  49663