Theorem breldm 5896

Description: Membership of first of a binary relation in a domain. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opeldm.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
breldm	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem breldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5107	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		opeldm.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		opeldm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	opeldm 5895	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
5	1, 4	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  dom cdm 5655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-dm 5665

This theorem is used by:  imaindm  6317  funcnv3  6629  opabiota  6987  dffv2  7000  dff13  7278  exse2  7950  reldmtpos  8276  rntpos  8281  dftpos4  8287  tpostpos  8288  fprlem1  8343  iserd  8769  dmttrcl  9746  ttrclse  9752  frrlem15  9785  dcomex  10549  axdc2lem  10550  dmrecnq  11077  cotr2g  15155  shftfval  15249  geolim2  16066  geomulcvg  16071  geoisum1c  16075  cvgrat  16078  ntrivcvg  16092  eftlub  16303  eflegeo  16315  rpnnen2lem5  16412  imasleval  17739  psdmrn  18773  psssdm2  18781  ovoliunnul  25855  vitalilem5  25960  dvcj  26297  dvrec  26302  dvef  26327  ftc1cn  26390  aaliou3lem3  26698  ulmdv  26757  dvradcnv  26775  abelthlem7  26792  abelthlem9  26794  logtayllem  27014  leibpi  27297  log2tlbnd  27300  zetacvg  27369  hhcms  31832  hhsscms  31907  occl  31933  gsummpt2co  33676  iprodgam  36684  imageval  36869  knoppcnlem6  37541  knoppndvlem6  37560  knoppf  37578  unccur  38717  ftc1cnnc  38801  geomcau  38884  dvradcnv2  45521  cocanss2  46112  xpco2  50171