Theorem geolim2 15844

Description: The partial sums in the geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		geolim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12562	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		geolim2.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
5		geolim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		eluznn0 12883	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	2, 7	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 14118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
10		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
11		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
12		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
15	14, 4	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16	3, 15	seqfeq 13999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
17		geolim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
18		oveq2 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
19		ovex 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑𝑗) ∈ V
20	18, 11, 19	fvmpt 6971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
22	5, 17, 21	geolim 15843	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
23		seqex 13975	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
24		ovex 7423	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
25	23, 24	breldm 5875	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
26	22, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
27		nn0uz 12842	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28		expcl 14051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
29	5, 28	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
30	21, 29	eqeltrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
31	27, 2, 30	iserex 15630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
32	26, 31	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
33	16, 32	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
34	1, 3, 4, 9, 33	isumclim2 15731	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
35	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
36		expcl 14051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
37	5, 36	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
38	27, 1, 2, 35, 37, 26	isumsplit 15813	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
39		0zd 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
40	27, 39, 35, 37, 22	isumclim 15730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
41	38, 40	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
42		1re 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
43	42	ltnri 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 1
44		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
45		abs1 15270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
46	44, 45	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
47	46	breq1d 5120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
48	43, 47	mtbiri 327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
49	48	necon2ai 2955	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
50	17, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
51	5, 50, 2	geoser 15840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)))
52	51	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
53	41, 52	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
54	53	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
55		1cnd 11176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
56		ax-1cn 11133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
57	5, 2	expcld 14118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
58		subcl 11427	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
59	56, 57, 58	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
60		subcl 11427	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
61	56, 5, 60	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
62	50	necomd 2981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
63		subeq0 11455	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
64	56, 5, 63	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
65	64	necon3bid 2970	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
66	62, 65	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
67	55, 59, 61, 66	divsubdird 12004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
68		nncan 11458	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
69	56, 57, 68	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
70	69	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
71	67, 70	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
72	59, 61, 66	divcld 11965	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
73	1, 3, 14, 9, 32	isumcl 15734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
74	72, 73	pncan2d 11542	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
75	54, 71, 74	3eqtr3rd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
76	34, 75	breqtrd 5136	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  seqcseq 13973  ↑cexp 14033  abscabs 15207   ⇝ cli 15457  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  geoisum1  15852  geoisum1c  15853  rpnnen2lem3  16191  rpnnen2lem9  16197  abelthlem7  26355  log2tlbnd  26862  geomcau  37760  stirlinglem10  46088