MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geolim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geolim2 15756
Description: The partial sums in the geometric series 𝐴𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geolim.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
Assertion
Ref Expression
geolim2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2
Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 geolim2.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
32nn0zd 12525 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 geolim2.4 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐴𝑘))
5 geolim.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
65adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7 eluznn0 12842 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
82, 7sylan 580 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
96, 8expcld 14051 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
10 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
11 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
12 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝐴𝑘) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
148, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1514, 4eqtr4d 2779 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
163, 15seqfeq 13933 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
17 geolim.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
18 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑗))
19 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑗) ∈ V
2018, 11, 19fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
2120adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) = (𝐴𝑗))
225, 17, 21geolim 15755 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
23 seqex 13908 . . . . . . 7 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V
24 ovex 7390 . . . . . . 7 (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
2523, 24breldm 5864 . . . . . 6 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
2622, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
27 nn0uz 12805 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
28 expcl 13985 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
295, 28sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3021, 29eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
3127, 2, 30iserex 15541 . . . . 5 (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
3226, 31mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
3316, 32eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
341, 3, 4, 9, 33isumclim2 15643 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘))
3513adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
36 expcl 13985 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
375, 36sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3827, 1, 2, 35, 37, 26isumsplit 15725 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
39 0zd 12511 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4027, 39, 35, 37, 22isumclim 15642 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
4138, 40eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
42 1re 11155 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4342ltnri 11264 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 < 1
44 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
45 abs1 15182 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘1) = 1
4644, 45eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
4746breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
4843, 47mtbiri 326 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
4948necon2ai 2973 . . . . . . . 8 ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
5017, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 1)
515, 50, 2geoser 15752 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) = ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)))
5251oveq1d 7372 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) = (((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
5341, 52eqtr3d 2778 . . . 4 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)))
5453oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))))
55 1cnd 11150 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
56 ax-1cn 11109 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
575, 2expcld 14051 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
58 subcl 11400 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴𝑀)) ∈ ℂ)
5956, 57, 58sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (𝐴𝑀)) ∈ ℂ)
60 subcl 11400 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
6156, 5, 60sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
6250necomd 2999 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
63 subeq0 11427 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
6456, 5, 63sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
6564necon3bid 2988 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
6662, 65mpbird 256 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
6755, 59, 61, 66divsubdird 11970 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))))
68 nncan 11430 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴𝑀))) = (𝐴𝑀))
6956, 57, 68sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴𝑀))) = (𝐴𝑀))
7069oveq1d 7372 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
7167, 70eqtr3d 2778 . . 3 (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
7259, 61, 66divcld 11931 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
731, 3, 14, 9, 32isumcl 15646 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
7472, 73pncan2d 11514 . . 3 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘)) − ((1 − (𝐴𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘))
7554, 71, 743eqtr3rd 2785 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐴𝑘) = ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
7634, 75breqtrd 5131 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴𝑀) / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cmin 11385   / cdiv 11812  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  geoisum1  15764  geoisum1c  15765  rpnnen2lem3  16098  rpnnen2lem9  16104  abelthlem7  25797  log2tlbnd  26295  geomcau  36218  stirlinglem10  44314
  Copyright terms: Public domain W3C validator