Theorem geolim2 16069

Description: The partial sums in the geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		geolim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12745	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		geolim2.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
5		geolim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		eluznn0 13071	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	2, 7	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 14316	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
10		oveq2 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
11		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
12		ovex 7476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 7016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
14	8, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
15	14, 4	eqtr4d 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16	3, 15	seqfeq 14197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
17		geolim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
18		oveq2 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
19		ovex 7476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑𝑗) ∈ V
20	18, 11, 19	fvmpt 7016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
22	5, 17, 21	geolim 16068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
23		seqex 14173	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
24		ovex 7476	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
25	23, 24	breldm 5897	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
26	22, 25	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
27		nn0uz 13030	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28		expcl 14249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
29	5, 28	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
30	21, 29	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
31	27, 2, 30	iserex 15853	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
32	26, 31	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
33	16, 32	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
34	1, 3, 4, 9, 33	isumclim2 15953	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
35	13	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
36		expcl 14249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
37	5, 36	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
38	27, 1, 2, 35, 37, 26	isumsplit 16038	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
39		0zd 12732	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
40	27, 39, 35, 37, 22	isumclim 15952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
41	38, 40	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
42		1re 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
43	42	ltnri 11446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 1
44		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
45		abs1 15493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
46	44, 45	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
47	46	breq1d 5116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
48	43, 47	mtbiri 330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
49	48	necon2ai 2988	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
50	17, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
51	5, 50, 2	geoser 16065	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)))
52	51	oveq1d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
53	41, 52	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
54	53	oveq1d 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
55		1cnd 11329	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
56		ax-1cn 11285	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
57	5, 2	expcld 14316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
58		subcl 11583	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
59	56, 57, 58	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
60		subcl 11583	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
61	56, 5, 60	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
62	50	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
63		subeq0 11611	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
64	56, 5, 63	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
65	64	necon3bid 3003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
66	62, 65	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
67	55, 59, 61, 66	divsubdird 12159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
68		nncan 11614	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
69	56, 57, 68	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
70	69	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
71	67, 70	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
72	59, 61, 66	divcld 12120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
73	1, 3, 14, 9, 32	isumcl 15956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
74	72, 73	pncan2d 11698	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
75	54, 71, 74	3eqtr3rd 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
76	34, 75	breqtrd 5134	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   < clt 11370   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕ₀cn0 12633  ℤ_≥cuz 12992  ...cfz 13666  seqcseq 14171  ↑cexp 14231  abscabs 15430   ⇝ cli 15680  Σcsu 15882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883

This theorem is used by:  geoisum1  16077  geoisum1c  16078  rpnnen2lem3  16413  rpnnen2lem9  16419  abelthlem7  26795  log2tlbnd  27303  geomcau  38885  stirlinglem10  47298