Theorem geolim2 15827

Description: The partial sums in the geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1)... converge to ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geolim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geolim.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
geolim2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geolim2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
geolim2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geolim2

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		geolim2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12540	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		geolim2.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
5		geolim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		eluznn0 12858	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8	2, 7	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9	6, 8	expcld 14099	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
10		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
12		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴↑𝑘) ∈ V
13	10, 11, 12	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
15	14, 4	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
16	3, 15	seqfeq 13980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) = seq𝑀( + , 𝐹))
17		geolim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
18		oveq2 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑗))
19		ovex 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑𝑗) ∈ V
20	18, 11, 19	fvmpt 6941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) = (𝐴↑𝑗))
22	5, 17, 21	geolim 15826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
23		seqex 13956	. . . . . . 7 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ V
24		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
25	23, 24	breldm 5857	. . . . . 6 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
26	22, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
27		nn0uz 12817	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
28		expcl 14032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
29	5, 28	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
30	21, 29	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
31	27, 2, 30	iserex 15610	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ ))
32	26, 31	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
33	16, 32	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
34	1, 3, 4, 9, 33	isumclim2 15711	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
35	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
36		expcl 14032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
37	5, 36	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
38	27, 1, 2, 35, 37, 26	isumsplit 15796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
39		0zd 12527	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
40	27, 39, 35, 37, 22	isumclim 15710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴↑𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
41	38, 40	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (1 / (1 − 𝐴)))
42		1re 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
43	42	ltnri 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 1 < 1
44		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = (abs‘1))
45		abs1 15250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
46	44, 45	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 1 → (abs‘𝐴) = 1)
47	46	breq1d 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = 1 → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ 1 < 1))
48	43, 47	mtbiri 327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = 1 → ¬ (abs‘𝐴) < 1)
49	48	necon2ai 2962	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) < 1 → 𝐴 ≠ 1)
50	17, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
51	5, 50, 2	geoser 15823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)))
52	51	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝐴↑𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
53	41, 52	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = (((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)))
54	53	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
55		1cnd 11130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
56		ax-1cn 11087	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
57	5, 2	expcld 14099	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
58		subcl 11383	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
59	56, 57, 58	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (𝐴↑𝑀)) ∈ ℂ)
60		subcl 11383	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
61	56, 5, 60	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
62	50	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐴)
63		subeq0 11411	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
64	56, 5, 63	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) = 0 ↔ 1 = 𝐴))
65	64	necon3bid 2977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝐴))
66	62, 65	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ≠ 0)
67	55, 59, 61, 66	divsubdird 11961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))))
68		nncan 11414	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ) → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
69	56, 57, 68	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) = (𝐴↑𝑀))
70	69	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (1 − (𝐴↑𝑀))) / (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
71	67, 70	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (1 − 𝐴)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
72	59, 61, 66	divcld 11922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) ∈ ℂ)
73	1, 3, 14, 9, 32	isumcl 15714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
74	72, 73	pncan2d 11498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴)) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘)) − ((1 − (𝐴↑𝑀)) / (1 − 𝐴))) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘))
75	54, 71, 74	3eqtr3rd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐴↑𝑘) = ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))
76	34, 75	breqtrd 5112	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ ((𝐴↑𝑀) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕ₀cn0 12428  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  geoisum1  15835  geoisum1c  15836  rpnnen2lem3  16174  rpnnen2lem9  16180  abelthlem7  26416  log2tlbnd  26922  geomcau  38094  stirlinglem10  46529