Theorem knoppndvlem6 36478

Description: Lemma for knoppndv 36495. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem6	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem6.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
2		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
3	2	fveq1d 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
4	3	sumeq2sdv 15645	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
5		knoppndvlem6.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
7		knoppndvlem6.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppndvlem6.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10		knoppndvlem6.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	knoppndvlem1 36473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
12	6, 11	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		sumex 15630	. . . . 5 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V)
15	1, 4, 12, 14	fvmptd3 6973	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
16		nn0uz 12811	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐽 + 1))
18		peano2nn0 12458	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
19	8, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
20		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
21		knoppndvlem6.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
22		knoppndvlem6.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
23	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24		knoppndvlem6.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25	24	knoppndvlem3 36475	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
26	25	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
30	21, 22, 23, 27, 28, 29	knoppcnlem3 36456	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11178	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
32	21, 22, 1, 12, 24, 7	knoppndvlem4 36476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))
33		seqex 13944	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V
34		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘𝐴) ∈ V
35	33, 34	breldm 5862	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴) → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
37	16, 17, 19, 20, 31, 36	isumsplit 15782	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
38	8	nn0cnd 12481	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
39		1cnd 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11510	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
41	40	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
42	41	sumeq1d 15642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
43	42	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
44	15, 37, 43	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
45	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		eluznn0 12852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
47	19, 46	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
48	22, 45, 47	knoppcnlem1 36454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
49	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
50	49	oveq2d 7385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
51	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
52	47	nn0zd 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
53	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
54	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55		eluzle 12782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
57	53, 52	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
58		zltp1le 12559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
60	56, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
61	51, 52, 53, 54, 60	knoppndvlem2 36474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
62	50, 61	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
63	21, 62	dnizeq0 36436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
64	63	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑖) · 0))
65	26	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
67	66, 47	expcld 14087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ)
68	67	mul01d 11349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · 0) = 0)
69	48, 64, 68	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
70	69	sumeq2dv 15644	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0)
71		ssidd 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)))
72	71	orcd 873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
73		sumz 15664	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
74	72, 73	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
75	70, 74	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
76	75	oveq2d 7385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0))
77	21, 22, 12, 26, 7	knoppndvlem5 36477	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
79	78	addridd 11350	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
80	76, 79	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
81	44, 80	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕcn 12162  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  (,)cioo 13282  ...cfz 13444  ⌊cfl 13728  seqcseq 13942  ↑cexp 14002  abscabs 15176   ⇝ cli 15426  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ulm 26262

This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  36487