Theorem knoppndvlem6 36793

Description: Lemma for knoppndv 36810. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem6	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem6.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
2		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
3	2	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
4	3	sumeq2sdv 15656	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
5		knoppndvlem6.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
7		knoppndvlem6.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppndvlem6.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12540	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10		knoppndvlem6.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	knoppndvlem1 36788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
12	6, 11	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		sumex 15641	. . . . 5 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V)
15	1, 4, 12, 14	fvmptd3 6965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
16		nn0uz 12817	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐽 + 1))
18		peano2nn0 12468	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
19	8, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
20		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
21		knoppndvlem6.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
22		knoppndvlem6.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
23	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24		knoppndvlem6.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25	24	knoppndvlem3 36790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
26	25	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
30	21, 22, 23, 27, 28, 29	knoppcnlem3 36771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
32	21, 22, 1, 12, 24, 7	knoppndvlem4 36791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))
33		seqex 13956	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V
34		fvex 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘𝐴) ∈ V
35	33, 34	breldm 5857	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴) → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
37	16, 17, 19, 20, 31, 36	isumsplit 15796	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
38	8	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
39		1cnd 11130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
41	40	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
42	41	sumeq1d 15653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
43	42	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
44	15, 37, 43	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
45	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		eluznn0 12858	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
47	19, 46	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
48	22, 45, 47	knoppcnlem1 36769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
49	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
50	49	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
51	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
52	47	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
53	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
54	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55		eluzle 12792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
57	53, 52	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
58		zltp1le 12568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
60	56, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
61	51, 52, 53, 54, 60	knoppndvlem2 36789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
62	50, 61	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
63	21, 62	dnizeq0 36751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
64	63	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑖) · 0))
65	26	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
67	66, 47	expcld 14099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ)
68	67	mul01d 11336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · 0) = 0)
69	48, 64, 68	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
70	69	sumeq2dv 15655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0)
71		ssidd 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)))
72	71	orcd 874	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
73		sumz 15675	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
74	72, 73	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
75	70, 74	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
76	75	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0))
77	21, 22, 12, 26, 7	knoppndvlem5 36792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
79	78	addridd 11337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
80	76, 79	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
81	44, 80	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  (,)cioo 13289  ...cfz 13452  ⌊cfl 13740  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ulm 26355

This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  36802