Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem6 34918
Description: Lemma for knoppndv 34935. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem6.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem6 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem6.w . . . 4 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
2 fveq2 6839 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
32fveq1d 6841 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑤)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝑖))
43sumeq2sdv 15549 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
5 knoppndvlem6.a . . . . . 6 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
7 knoppndvlem6.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppndvlem6.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
98nn0zd 12483 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
10 knoppndvlem6.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
117, 9, 10knoppndvlem1 34913 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
126, 11eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 sumex 15532 . . . . 5 Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ V)
151, 4, 12, 14fvmptd3 6968 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
16 nn0uz 12759 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
17 eqid 2737 . . . 4 (ℤ‘(𝐽 + 1)) = (ℤ‘(𝐽 + 1))
18 peano2nn0 12411 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
198, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
20 eqidd 2738 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝑖))
21 knoppndvlem6.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
22 knoppndvlem6.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
237adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24 knoppndvlem6.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2524knoppndvlem3 34915 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2625simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
2812adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3021, 22, 23, 27, 28, 29knoppcnlem3 34896 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
3130recnd 11141 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
3221, 22, 1, 12, 24, 7knoppndvlem4 34916 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
33 seqex 13862 . . . . . 6 seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V
34 fvex 6852 . . . . . 6 (𝑊𝐴) ∈ V
3533, 34breldm 5862 . . . . 5 (seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴) → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
3632, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
3716, 17, 19, 20, 31, 36isumsplit 15685 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
388nn0cnd 12433 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
39 1cnd 11108 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4038, 39pncand 11471 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
4140oveq2d 7367 . . . . 5 (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
4241sumeq1d 15546 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
4342oveq1d 7366 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4415, 37, 433eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → (𝑊𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4512adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 eluznn0 12796 . . . . . . . . 9 (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4719, 46sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4822, 45, 47knoppcnlem1 34894 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
495a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
5049oveq2d 7367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
517adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5247nn0zd 12483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
539adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5410adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55 eluzle 12734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
5753, 52jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
58 zltp1le 12511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
6056, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
6151, 52, 53, 54, 60knoppndvlem2 34914 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
6250, 61eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
6321, 62dnizeq0 34876 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
6463oveq2d 7367 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶𝑖) · 0))
6526recnd 11141 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6665adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6766, 47expcld 14005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
6867mul01d 11312 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶𝑖) · 0) = 0)
6948, 64, 683eqtrd 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = 0)
7069sumeq2dv 15548 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0)
71 ssidd 3965 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)))
7271orcd 871 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
73 sumz 15567 . . . . . 6 (((ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0 = 0)
7472, 73syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0 = 0)
7570, 74eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = 0)
7675oveq2d 7367 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + 0))
7721, 22, 12, 26, 7knoppndvlem5 34917 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
7877recnd 11141 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
7978addid1d 11313 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
8076, 79eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
8144, 80eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908   class class class wbr 5103  cmpt 5186  dom cdm 5631  cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  cc 11007  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11147  cle 11148  cmin 11343  -cneg 11344   / cdiv 11770  cn 12111  2c2 12166  0cn0 12371  cz 12457  cuz 12721  (,)cioo 13218  ...cfz 13378  cfl 13649  seqcseq 13860  cexp 13921  abscabs 15079  cli 15326  Σcsu 15530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-limsup 15313  df-clim 15330  df-rlim 15331  df-sum 15531  df-ulm 25688
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  34927
  Copyright terms: Public domain W3C validator