Theorem knoppndvlem6 37214

Description: Lemma for knoppndv 37231. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem6	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑖)   𝑇(𝑥, 𝑤, 𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑤)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛)   𝑁(𝑤, 𝑖)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem6.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
2		fveq2 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
3	2	fveq1d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
4	3	sumeq2sdv 15790	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
5		knoppndvlem6.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
7		knoppndvlem6.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppndvlem6.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10		knoppndvlem6.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	knoppndvlem1 37209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
12	6, 11	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		sumex 15775	. . . . 5 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V)
15	1, 4, 12, 14	fvmptd3 7010	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
16		nn0uz 12925	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐽 + 1))
18		peano2nn0 12568	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
19	8, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
20		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
21		knoppndvlem6.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
22		knoppndvlem6.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
23	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24		knoppndvlem6.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25	24	knoppndvlem3 37211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
26	25	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
30	21, 22, 23, 27, 28, 29	knoppcnlem3 37192	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
32	21, 22, 1, 12, 24, 7	knoppndvlem4 37212	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))
33		seqex 14067	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V
34		fvex 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘𝐴) ∈ V
35	33, 34	breldm 5892	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴) → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
36	32, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
37	16, 17, 19, 20, 31, 36	isumsplit 15929	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
38	8	nn0cnd 12591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
39		1cnd 11226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
41	40	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
42	41	sumeq1d 15787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
43	42	oveq1d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
44	15, 37, 43	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
45	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		eluznn0 12966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
47	19, 46	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
48	22, 45, 47	knoppcnlem1 37190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
49	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
50	49	oveq2d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
51	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
52	47	nn0zd 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
53	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
54	10	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55		eluzle 12900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
57	53, 52	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
58		zltp1le 12668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
60	56, 59	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
61	51, 52, 53, 54, 60	knoppndvlem2 37210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
62	50, 61	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
63	21, 62	dnizeq0 37172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
64	63	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑖) · 0))
65	26	recnd 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
67	66, 47	expcld 14210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ)
68	67	mul01d 11433	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · 0) = 0)
69	48, 64, 68	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
70	69	sumeq2dv 15789	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0)
71		ssidd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)))
72	71	orcd 887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
73		sumz 15808	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
74	72, 73	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
75	70, 74	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
76	75	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0))
77	21, 22, 12, 26, 7	knoppndvlem5 37213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
79	78	addridd 11434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
80	76, 79	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
81	44, 80	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℕcn 12257  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  (,)cioo 13398  ...cfz 13561  ⌊cfl 13851  seqcseq 14065  ↑cexp 14125  abscabs 15321   ⇝ cli 15571  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ulm 26613

This theorem is used by:  knoppndvlem15  37223