Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem6 35697
Description: Lemma for knoppndv 35714. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem6.t ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
knoppndvlem6.f ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
knoppndvlem6.w ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
knoppndvlem6.a ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
knoppndvlem6.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
knoppndvlem6.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
knoppndvlem6.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘–,๐‘ค   ๐ถ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘–,๐น,๐‘ค   ๐‘–,๐ฝ,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘‡,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘–,๐‘›,๐‘ค,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘–)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ค,๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ฅ,๐‘ค)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)   ๐‘(๐‘ค,๐‘–)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ค,๐‘–,๐‘›)

Proof of Theorem knoppndvlem6
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem6.w . . . 4 ๐‘Š = (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†ฆ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–))
2 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ค = ๐ด โ†’ (๐นโ€˜๐‘ค) = (๐นโ€˜๐ด))
32fveq1d 6894 . . . . 5 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–) = ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
43sumeq2sdv 15655 . . . 4 (๐‘ค = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐‘ค)โ€˜๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
5 knoppndvlem6.a . . . . . 6 ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)
65a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
7 knoppndvlem6.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
8 knoppndvlem6.j . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„•0)
98nn0zd 12589 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
10 knoppndvlem6.m . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
117, 9, 10knoppndvlem1 35692 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
126, 11eqeltrd 2832 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
13 sumex 15639 . . . . 5 ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ V
1413a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ V)
151, 4, 12, 14fvmptd3 7022 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
16 nn0uz 12869 . . . 4 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
17 eqid 2731 . . . 4 (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))
18 peano2nn0 12517 . . . . 5 (๐ฝ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„•0)
198, 18syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ + 1) โˆˆ โ„•0)
20 eqidd 2732 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
21 knoppndvlem6.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (absโ€˜((โŒŠโ€˜(๐‘ฅ + (1 / 2))) โˆ’ ๐‘ฅ)))
22 knoppndvlem6.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ถโ†‘๐‘›) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘›) ยท ๐‘ฆ)))))
237adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
24 knoppndvlem6.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
2524knoppndvlem3 35694 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
2625simpld 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2726adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
2812adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
29 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
3021, 22, 23, 27, 28, 29knoppcnlem3 35675 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
3130recnd 11247 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
3221, 22, 1, 12, 24, 7knoppndvlem4 35695 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐นโ€˜๐ด)) โ‡ (๐‘Šโ€˜๐ด))
33 seqex 13973 . . . . . 6 seq0( + , (๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ V
34 fvex 6905 . . . . . 6 (๐‘Šโ€˜๐ด) โˆˆ V
3533, 34breldm 5909 . . . . 5 (seq0( + , (๐นโ€˜๐ด)) โ‡ (๐‘Šโ€˜๐ด) โ†’ seq0( + , (๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ dom โ‡ )
3632, 35syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq0( + , (๐นโ€˜๐ด)) โˆˆ dom โ‡ )
3716, 17, 19, 20, 31, 36isumsplit 15791 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ โ„•0 ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...((๐ฝ + 1) โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) + ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)))
388nn0cnd 12539 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
39 1cnd 11214 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4038, 39pncand 11577 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ + 1) โˆ’ 1) = ๐ฝ)
4140oveq2d 7428 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0...((๐ฝ + 1) โˆ’ 1)) = (0...๐ฝ))
4241sumeq1d 15652 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...((๐ฝ + 1) โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
4342oveq1d 7427 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...((๐ฝ + 1) โˆ’ 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) + ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) + ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)))
4415, 37, 433eqtrd 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) + ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)))
4512adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
46 eluznn0 12906 . . . . . . . . 9 (((๐ฝ + 1) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
4719, 46sylan 579 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
4822, 45, 47knoppcnlem1 35673 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))))
495a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐ด = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€))
5049oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด) = (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)))
517adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5247nn0zd 12589 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
539adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
5410adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
55 eluzle 12840 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) โ†’ (๐ฝ + 1) โ‰ค ๐‘–)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ (๐ฝ + 1) โ‰ค ๐‘–)
5753, 52jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ (๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค))
58 zltp1le 12617 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ฝ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ฝ < ๐‘– โ†” (๐ฝ + 1) โ‰ค ๐‘–))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ (๐ฝ < ๐‘– โ†” (๐ฝ + 1) โ‰ค ๐‘–))
6056, 59mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐ฝ < ๐‘–)
6151, 52, 53, 54, 60knoppndvlem2 35693 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ((((2 ยท ๐‘)โ†‘-๐ฝ) / 2) ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
6250, 61eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
6321, 62dnizeq0 35655 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด)) = 0)
6463oveq2d 7428 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท (๐‘‡โ€˜(((2 ยท ๐‘)โ†‘๐‘–) ยท ๐ด))) = ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท 0))
6526recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6665adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6766, 47expcld 14116 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘–) โˆˆ โ„‚)
6867mul01d 11418 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ((๐ถโ†‘๐‘–) ยท 0) = 0)
6948, 64, 683eqtrd 2775 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))) โ†’ ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = 0)
7069sumeq2dv 15654 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))0)
71 ssidd 4006 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)))
7271orcd 870 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) โˆจ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) โˆˆ Fin))
73 sumz 15673 . . . . . 6 (((โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) โˆจ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1)) โˆˆ Fin) โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))0 = 0)
7472, 73syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))0 = 0)
7570, 74eqtrd 2771 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) = 0)
7675oveq2d 7428 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) + ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) + 0))
7721, 22, 12, 26, 7knoppndvlem5 35696 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„)
7877recnd 11247 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„‚)
7978addridd 11419 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) + 0) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
8076, 79eqtrd 2771 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–) + ฮฃ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ฝ + 1))((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–)) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
8144, 80eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Šโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘– โˆˆ (0...๐ฝ)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘–))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  Vcvv 3473   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  โŒŠcfl 13760  seqcseq 13971  โ†‘cexp 14032  abscabs 15186   โ‡ cli 15433  ฮฃcsu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ulm 26122
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  35706
  Copyright terms: Public domain W3C validator