Theorem knoppndvlem6 36483

Description: Lemma for knoppndv 36500. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a	⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem6	⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppndvlem6.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
2		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
3	2	fveq1d 6922	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
4	3	sumeq2sdv 15751	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
5		knoppndvlem6.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
7		knoppndvlem6.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppndvlem6.j	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
10		knoppndvlem6.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	7, 9, 10	knoppndvlem1 36478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
12	6, 11	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		sumex 15736	. . . . 5 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ V)
15	1, 4, 12, 14	fvmptd3 7052	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
16		nn0uz 12945	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
17		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) = (ℤ≥‘(𝐽 + 1))
18		peano2nn0 12593	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
19	8, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
20		eqidd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
21		knoppndvlem6.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
22		knoppndvlem6.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
23	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24		knoppndvlem6.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25	24	knoppndvlem3 36480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
26	25	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
28	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
30	21, 22, 23, 27, 28, 29	knoppcnlem3 36461	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
32	21, 22, 1, 12, 24, 7	knoppndvlem4 36481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴))
33		seqex 14054	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ V
34		fvex 6933	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘𝐴) ∈ V
35	33, 34	breldm 5933	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ⇝ (𝑊‘𝐴) → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
36	32, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
37	16, 17, 19, 20, 31, 36	isumsplit 15888	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
38	8	nn0cnd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
39		1cnd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	pncand 11648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
41	40	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
42	41	sumeq1d 15748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
43	42	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
44	15, 37, 43	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)))
45	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46		eluznn0 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
47	19, 46	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
48	22, 45, 47	knoppcnlem1 36459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
49	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
50	49	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
51	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
52	47	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
53	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
54	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55		eluzle 12916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
57	53, 52	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
58		zltp1le 12693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
60	56, 59	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
61	51, 52, 53, 54, 60	knoppndvlem2 36479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
62	50, 61	eqeltrd 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
63	21, 62	dnizeq0 36441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
64	63	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑖) · 0))
65	26	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
67	66, 47	expcld 14196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → (𝐶↑𝑖) ∈ ℂ)
68	67	mul01d 11489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶↑𝑖) · 0) = 0)
69	48, 64, 68	3eqtrd 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
70	69	sumeq2dv 15750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0)
71		ssidd 4032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)))
72	71	orcd 872	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
73		sumz 15770	. . . . . 6 ⊢ (((ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ≥‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
74	72, 73	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))0 = 0)
75	70, 74	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖) = 0)
76	75	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0))
77	21, 22, 12, 26, 7	knoppndvlem5 36482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
78	77	recnd 11318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
79	78	addridd 11490	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
80	76, 79	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 + 1))((𝐹‘𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))
81	44, 80	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊‘𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹‘𝐴)‘𝑖))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  (,)cioo 13407  ...cfz 13567  ⌊cfl 13841  seqcseq 14052  ↑cexp 14112  abscabs 15283   ⇝ cli 15530  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-ulm 26438

This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  36492