Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem6 36500
Description: Lemma for knoppndv 36517. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem6.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem6 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem6.w . . . 4 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
2 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
32fveq1d 6909 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑤)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝑖))
43sumeq2sdv 15736 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
5 knoppndvlem6.a . . . . . 6 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
7 knoppndvlem6.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppndvlem6.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
98nn0zd 12637 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
10 knoppndvlem6.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
117, 9, 10knoppndvlem1 36495 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
126, 11eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
13 sumex 15721 . . . . 5 Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ V)
151, 4, 12, 14fvmptd3 7039 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
16 nn0uz 12918 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
17 eqid 2735 . . . 4 (ℤ‘(𝐽 + 1)) = (ℤ‘(𝐽 + 1))
18 peano2nn0 12564 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
198, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
20 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝑖))
21 knoppndvlem6.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
22 knoppndvlem6.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
237adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
24 knoppndvlem6.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2524knoppndvlem3 36497 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2625simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
2812adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
29 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3021, 22, 23, 27, 28, 29knoppcnlem3 36478 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
3130recnd 11287 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
3221, 22, 1, 12, 24, 7knoppndvlem4 36498 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
33 seqex 14041 . . . . . 6 seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V
34 fvex 6920 . . . . . 6 (𝑊𝐴) ∈ V
3533, 34breldm 5922 . . . . 5 (seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴) → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
3632, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
3716, 17, 19, 20, 31, 36isumsplit 15873 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
388nn0cnd 12587 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
39 1cnd 11254 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4038, 39pncand 11619 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
4140oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
4241sumeq1d 15733 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
4342oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4415, 37, 433eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → (𝑊𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4512adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
46 eluznn0 12957 . . . . . . . . 9 (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4719, 46sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4822, 45, 47knoppcnlem1 36476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
495a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
5049oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
517adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5247nn0zd 12637 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
539adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5410adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
55 eluzle 12889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
5753, 52jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
58 zltp1le 12665 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
6056, 59mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
6151, 52, 53, 54, 60knoppndvlem2 36496 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
6250, 61eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
6321, 62dnizeq0 36458 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
6463oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶𝑖) · 0))
6526recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6665adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6766, 47expcld 14183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
6867mul01d 11458 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶𝑖) · 0) = 0)
6948, 64, 683eqtrd 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = 0)
7069sumeq2dv 15735 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0)
71 ssidd 4019 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)))
7271orcd 873 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
73 sumz 15755 . . . . . 6 (((ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0 = 0)
7472, 73syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0 = 0)
7570, 74eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = 0)
7675oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + 0))
7721, 22, 12, 26, 7knoppndvlem5 36499 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
7877recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
7978addridd 11459 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
8076, 79eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
8144, 80eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  (,)cioo 13384  ...cfz 13544  cfl 13827  seqcseq 14039  cexp 14099  abscabs 15270  cli 15517  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ulm 26435
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  36509
  Copyright terms: Public domain W3C validator