MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvcj 25715
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 25714. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcj ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
Proof of Theorem dvcj
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 25669 . . . . 5 (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚
2 ffun 6720 . . . . 5 ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))
4 simpll 764 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
5 simplr 766 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
6 simpr 484 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
74, 5, 6dvcjbr 25714 . . . 4 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
8 funbrfv 6942 . . . 4 (Fun (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) β†’ (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
93, 7, 8mpsyl 68 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
109mpteq2dva 5248 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
11 cjf 15058 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
12 fco 6741 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
1311, 12mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
1413ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
15 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
1714, 15, 16dvcjbr 25714 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))(βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)))
18 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
19 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) ∈ V
2018, 19breldm 5908 . . . . . . . . . 10 (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))(βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
2221ex 412 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))))
2322ssrdv 3988 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) βŠ† dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
24 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2524adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2625cjcjd 15153 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
2726mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2825cjcld 15150 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
29 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3029feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3111a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
3231feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ βˆ— = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘¦)))
33 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3425, 30, 32, 33fmptco 7129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
35 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3628, 34, 32, 35fmptco 7129 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3727, 36, 303eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)) = 𝐹)
3837oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
3938dmeqd 5905 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
4023, 39sseqtrd 4022 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
41 fvex 6904 . . . . . . . 8 (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ V
4218, 41breldm 5908 . . . . . . 7 (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
437, 42syl 17 . . . . . 6 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
4440, 43eqelssd 4003 . . . . 5 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
4544feq2d 6703 . . . 4 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚ ↔ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚))
461, 45mpbii 232 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
4746feqmptd 6960 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)))
48 dvf 25669 . . . . 5 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
4948ffvelcdmi 7085 . . . 4 (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5049adantl 481 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5148a1i 11 . . . 4 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
5251feqmptd 6960 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
53 fveq2 6891 . . 3 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
5450, 52, 32, 53fmptco 7129 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
5510, 47, 543eqtr4d 2781 1 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11114  β„cr 11115  βˆ—ccj 15050   D cdv 25625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-icc 13338  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-haus 23052  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-cncf 24631  df-limc 25628  df-dv 25629
This theorem is referenced by:  dvfre  25716  dvmptcj  25733
  Copyright terms: Public domain W3C validator