Theorem dvcj 26109

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 26108. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcj	⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcj

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvf 26066	. . . . 5 ⊢ (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ
2		ffun 6708	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ → Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))
4		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
5		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7	4, 5, 6	dvcjbr 26108	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
8		funbrfv 6929	. . . 4 ⊢ (Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
9	3, 7, 8	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
10	9	mpteq2dva 5204	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
11		cjf 15151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
12		fco 6730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
13	11, 12	mpan 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
14	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
15		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
16		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
17	14, 15, 16	dvcjbr 26108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
18		vex 3459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		fvex 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) ∈ V
20	18, 19	breldm 5898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
22	21	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))))
23	22	ssrdv 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
24		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	25	cjcjd 15246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
27	26	mpteq2dva 5204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	25	cjcld 15243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
29		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
30	29	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
31	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
32	31	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
33		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
34	25, 30, 32, 33	fmptco 7125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑥))))
35		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (∗‘(𝐹‘𝑥)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥))))
36	28, 34, 32, 35	fmptco 7125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥)))))
37	27, 36, 30	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = 𝐹)
38	37	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
39	38	dmeqd 5895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
40	23, 39	sseqtrd 3973	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
41		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ V
42	18, 41	breldm 5898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
43	7, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
44	40, 43	eqelssd 3958	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
45	44	feq2d 6689	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ ↔ (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ))
46	1, 45	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
47	46	feqmptd 6949	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
48		dvf 26066	. . . . 5 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
49	48	ffvelcdmi 7078	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
50	49	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
51	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
52	51	feqmptd 6949	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
53		fveq2 6881	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
54	50, 52, 32, 53	fmptco 7125	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
55	10, 47, 54	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661   ∘ ccom 5665  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  ∗ccj 15143   D cdv 26022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-icc 13374  df-fz 13531  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-rest 17470  df-topn 17471  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026

This theorem is referenced by:  dvfre  26110  dvmptcj  26127