Theorem dvcj 25114

Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 25113. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvcj	⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcj

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvf 25071	. . . . 5 ⊢ (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ
2		ffun 6603	. . . . 5 ⊢ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ → Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))
4		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
5		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
7	4, 5, 6	dvcjbr 25113	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
8		funbrfv 6820	. . . 4 ⊢ (Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
9	3, 7, 8	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
10	9	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
11		cjf 14815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
12		fco 6624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
13	11, 12	mpan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
14	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
15		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
16		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
17	14, 15, 16	dvcjbr 25113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
18		vex 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
19		fvex 6787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) ∈ V
20	18, 19	breldm 5817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
22	21	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))))
23	22	ssrdv 3927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
24		ffvelrn 6959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
25	24	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	25	cjcjd 14910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝑥))
27	26	mpteq2dva 5174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	25	cjcld 14907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∗‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
29		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
30	29	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
31	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
32	31	feqmptd 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
33		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝐹‘𝑥)))
34	25, 30, 32, 33	fmptco 7001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(𝐹‘𝑥))))
35		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (∗‘(𝐹‘𝑥)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥))))
36	28, 34, 32, 35	fmptco 7001	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹‘𝑥)))))
37	27, 36, 30	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = 𝐹)
38	37	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
39	38	dmeqd 5814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
40	23, 39	sseqtrd 3961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
41		fvex 6787	. . . . . . . 8 ⊢ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ V
42	18, 41	breldm 5817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
43	7, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
44	40, 43	eqelssd 3942	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
45	44	feq2d 6586	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ ↔ (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ))
46	1, 45	mpbii 232	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
47	46	feqmptd 6837	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
48		dvf 25071	. . . . 5 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
49	48	ffvelrni 6960	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
50	49	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
51	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
52	51	feqmptd 6837	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
53		fveq2 6774	. . 3 ⊢ (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
54	50, 52, 32, 53	fmptco 7001	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
55	10, 47, 54	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589   ∘ ccom 5593  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  ∗ccj 14807   D cdv 25027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031

This theorem is referenced by:  dvfre  25115  dvmptcj  25132