MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvcj 25459
Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 25458. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcj ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
Proof of Theorem dvcj
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 25416 . . . . 5 (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚
2 ffun 6718 . . . . 5 ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚ β†’ Fun (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))
4 simpll 766 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
5 simplr 768 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
6 simpr 486 . . . . 5 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
74, 5, 6dvcjbr 25458 . . . 4 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
8 funbrfv 6940 . . . 4 (Fun (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) β†’ (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
93, 7, 8mpsyl 68 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
109mpteq2dva 5248 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
11 cjf 15048 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚
12 fco 6739 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
1311, 12mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
16 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
1714, 15, 16dvcjbr 25458 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))(βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)))
18 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 π‘₯ ∈ V
19 fvex 6902 . . . . . . . . . . 11 (βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) ∈ V
2018, 19breldm 5907 . . . . . . . . . 10 (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))(βˆ—β€˜((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
2221ex 414 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)))))
2322ssrdv 3988 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) βŠ† dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))))
24 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2625cjcjd 15143 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) = (πΉβ€˜π‘₯))
2726mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2825cjcld 15140 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
29 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3029feqmptd 6958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3111a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ βˆ—:β„‚βŸΆβ„‚)
3231feqmptd 6958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ βˆ— = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (βˆ—β€˜π‘¦)))
33 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
3425, 30, 32, 33fmptco 7124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
35 fveq2 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
3628, 34, 32, 35fmptco 7124 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (βˆ—β€˜(βˆ—β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))))
3727, 36, 303eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹)) = 𝐹)
3837oveq2d 7422 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
3938dmeqd 5904 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ (βˆ— ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
4023, 39sseqtrd 4022 . . . . . 6 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
41 fvex 6902 . . . . . . . 8 (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ V
4218, 41breldm 5907 . . . . . . 7 (π‘₯(ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))(βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
437, 42syl 17 . . . . . 6 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)))
4440, 43eqelssd 4003 . . . . 5 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
4544feq2d 6701 . . . 4 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))βŸΆβ„‚ ↔ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚))
461, 45mpbii 232 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
4746feqmptd 6958 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹))β€˜π‘₯)))
48 dvf 25416 . . . . 5 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
4948ffvelcdmi 7083 . . . 4 (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5049adantl 483 . . 3 (((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) ∧ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5148a1i 11 . . . 4 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
5251feqmptd 6958 . . 3 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
53 fveq2 6889 . . 3 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) β†’ (βˆ—β€˜π‘¦) = (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
5450, 52, 32, 53fmptco 7124 . 2 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)) = (π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (βˆ—β€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
5510, 47, 543eqtr4d 2783 1 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† ℝ) β†’ (ℝ D (βˆ— ∘ 𝐹)) = (βˆ— ∘ (ℝ D 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6535  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„‚cc 11105  β„cr 11106  βˆ—ccj 15040   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-topn 17366  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  dvfre  25460  dvmptcj  25477
  Copyright terms: Public domain W3C validator