Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcj 24560
 Description: The derivative of the conjugate of a function. For the (more general) relation version, see dvcjbr 24559. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvcj ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))

Proof of Theorem dvcj
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 24517 . . . . 5 (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ
2 ffun 6490 . . . . 5 ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ → Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))
4 simpll 766 . . . . 5 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
5 simplr 768 . . . . 5 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℝ)
6 simpr 488 . . . . 5 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
74, 5, 6dvcjbr 24559 . . . 4 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
8 funbrfv 6691 . . . 4 (Fun (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
93, 7, 8mpsyl 68 . . 3 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
109mpteq2dva 5125 . 2 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
11 cjf 14457 . . . . . . . . . . . . 13 ∗:ℂ⟶ℂ
12 fco 6505 . . . . . . . . . . . . 13 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
1311, 12mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶ℂ → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → (∗ ∘ 𝐹):𝑋⟶ℂ)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
16 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
1714, 15, 16dvcjbr 24559 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
18 vex 3444 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
19 fvex 6658 . . . . . . . . . . 11 (∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) ∈ V
2018, 19breldm 5741 . . . . . . . . . 10 (𝑥(ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))(∗‘((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
2221ex 416 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)))))
2322ssrdv 3921 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))))
24 ffvelrn 6826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2625cjcjd 14552 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∗‘(∗‘(𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
2726mpteq2dva 5125 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (𝑥𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹𝑥)))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
2825cjcld 14549 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∗‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
29 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3029feqmptd 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
3111a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗:ℂ⟶ℂ)
3231feqmptd 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ∗ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (∗‘𝑦)))
33 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝐹𝑥)))
3425, 30, 32, 33fmptco 6868 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘(𝐹𝑥))))
35 fveq2 6645 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (∗‘(𝐹𝑥)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(∗‘(𝐹𝑥))))
3628, 34, 32, 35fmptco 6868 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥𝑋 ↦ (∗‘(∗‘(𝐹𝑥)))))
3727, 36, 303eqtr4d 2843 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹)) = 𝐹)
3837oveq2d 7151 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = (ℝ D 𝐹))
3938dmeqd 5738 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ (∗ ∘ 𝐹))) = dom (ℝ D 𝐹))
4023, 39sseqtrd 3955 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
41 fvex 6658 . . . . . . . 8 (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ V
4218, 41breldm 5741 . . . . . . 7 (𝑥(ℝ D (∗ ∘ 𝐹))(∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
437, 42syl 17 . . . . . 6 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)))
4440, 43eqelssd 3936 . . . . 5 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = dom (ℝ D 𝐹))
4544feq2d 6473 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D (∗ ∘ 𝐹))⟶ℂ ↔ (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ))
461, 45mpbii 236 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
4746feqmptd 6708 . 2 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D (∗ ∘ 𝐹))‘𝑥)))
48 dvf 24517 . . . . 5 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
4948ffvelrni 6827 . . . 4 (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
5049adantl 485 . . 3 (((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
5148a1i 11 . . . 4 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
5251feqmptd 6708 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
53 fveq2 6645 . . 3 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) → (∗‘𝑦) = (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
5450, 52, 32, 53fmptco 6868 . 2 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)) = (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↦ (∗‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
5510, 47, 543eqtr4d 2843 1 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D (∗ ∘ 𝐹)) = (∗ ∘ (ℝ D 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519   ∘ ccom 5523  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10526  ℝcr 10527  ∗ccj 14449   D cdv 24473 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fz 12888  df-seq 13367  df-exp 13428  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-lp 21748  df-perf 21749  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-haus 21927  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-xms 22934  df-ms 22935  df-cncf 23490  df-limc 24476  df-dv 24477 This theorem is referenced by:  dvfre  24561  dvmptcj  24578
 Copyright terms: Public domain W3C validator