Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1cn 24333
 Description: Strengthen the assumptions of ftc1 24332 to when the function 𝐹 is continuous on the entire interval (𝐴, 𝐵); in this case we can calculate D 𝐺 exactly. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cn.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1cn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cn.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1cn.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cn.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ftc1cn (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐴   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 24198 . . . . 5 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ)
32ffund 6342 . . 3 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐺))
4 ax-resscn 10384 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
6 ftc1cn.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
7 ftc1cn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 ftc1cn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9 ftc1cn.le . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
10 ssidd 3876 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
11 ioossre 12607 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
13 ftc1cn.i . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
14 ftc1cn.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
15 cncff 23194 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
176, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16ftc1lem2 24326 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
18 iccssre 12627 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
197, 8, 18syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
20 eqid 2772 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120tgioo2 23104 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
225, 17, 19, 21, 20dvbssntr 24191 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
23 iccntr 23122 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
247, 8, 23syl2anc 576 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2522, 24sseqtrd 3893 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
267adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
278adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
289adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝐵)
29 ssidd 3876 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3011a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
3113adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
32 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3311, 4sstri 3863 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
34 ssid 3875 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
35 eqid 2772 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
3620cnfldtopon 23084 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3736toponrestid 21223 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
3820, 35, 37cncfcn 23210 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3933, 34, 38mp2an 679 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4014, 39syl6eleq 2870 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4140adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4233a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
43 resttopon 21463 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
4436, 42, 43sylancr 578 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
45 toponuni 21216 . . . . . . . . . 10 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
4746eleq2d 2845 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑦 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))))
4847biimpa 469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
49 eqid 2772 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
5049cncnpi 21580 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ 𝑦 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
5141, 48, 50syl2anc 576 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
526, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 51, 21, 35, 20ftc1 24332 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑦))
53 vex 3412 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
54 fvex 6506 . . . . . 6 (𝐹𝑦) ∈ V
5553, 54breldm 5620 . . . . 5 (𝑦(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑦) → 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
5725, 56eqelssd 3874 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
58 df-fn 6185 . . 3 ((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ↔ (Fun (ℝ D 𝐺) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)))
593, 57, 58sylanbrc 575 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
6016ffnd 6339 . 2 (𝜑𝐹 Fn (𝐴(,)𝐵))
613adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → Fun (ℝ D 𝐺))
62 funbrfv 6540 . . 3 (Fun (ℝ D 𝐺) → (𝑦(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑦) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑦) = (𝐹𝑦)))
6361, 52, 62sylc 65 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
6459, 60, 63eqfnfvd 6624 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825  ∪ cuni 4706   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  dom cdm 5400  ran crn 5401  Fun wfun 6176   Fn wfn 6177  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  ℝcr 10326   ≤ cle 10467  (,)cioo 12547  [,]cicc 12550   ↾t crest 16540  TopOpenctopn 16541  topGenctg 16557  ℂfldccnfld 20237  TopOnctopon 21212  intcnt 21319   Cn ccn 21526   CnP ccnp 21527  –cn→ccncf 23177  𝐿1cibl 23911  ∫citg 23912   D cdv 24154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cc 9647  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-symdif 4101  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-ofr 7222  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-dju 9116  df-card 9154  df-acn 9157  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-mod 13046  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-fbas 20234  df-fg 20235  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cld 21321  df-ntr 21322  df-cls 21323  df-nei 21400  df-lp 21438  df-perf 21439  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-haus 21617  df-cmp 21689  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-fil 22148  df-fm 22240  df-flim 22241  df-flf 22242  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cncf 23179  df-ovol 23758  df-vol 23759  df-mbf 23913  df-itg1 23914  df-itg2 23915  df-ibl 23916  df-itg 23917  df-0p 23964  df-limc 24157  df-dv 24158 This theorem is referenced by:  ftc2  24334  itgsubstlem  24338
 Copyright terms: Public domain W3C validator