MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1cn 25559
Description: Strengthen the assumptions of ftc1 25558 to when the function 𝐹 is continuous on the entire interval (𝐴, 𝐡); in this case we can calculate D 𝐺 exactly. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cn.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1cn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1cn.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
ftc1cn.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ftc1cn (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐴   𝑑,𝐡,π‘₯   𝑑,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 25423 . . . . 5 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚)
32ffund 6721 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐺))
4 ax-resscn 11166 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
6 ftc1cn.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7 ftc1cn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 ftc1cn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9 ftc1cn.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
10 ssidd 4005 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
11 ioossre 13384 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
13 ftc1cn.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
14 ftc1cn.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
15 cncff 24408 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
176, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16ftc1lem2 25552 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
18 iccssre 13405 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
197, 8, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120tgioo2 24318 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
225, 17, 19, 21, 20dvbssntr 25416 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
23 iccntr 24336 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
247, 8, 23syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
2522, 24sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
267adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
278adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
289adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
29 ssidd 4005 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
3011a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
3113adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
32 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
3311, 4sstri 3991 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
34 ssid 4004 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
35 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
3620cnfldtopon 24298 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3736toponrestid 22422 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
3820, 35, 37cncfcn 24425 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3933, 34, 38mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4014, 39eleqtrdi 2843 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4233a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
43 resttopon 22664 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
4436, 42, 43sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
45 toponuni 22415 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
4746eleq2d 2819 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))))
4847biimpa 477 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
49 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
5049cncnpi 22781 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))
5141, 48, 50syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))
526, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 51, 21, 35, 20ftc1 25558 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘¦))
53 vex 3478 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
54 fvex 6904 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
5553, 54breldm 5908 . . . . 5 (𝑦(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
5725, 56eqelssd 4003 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡))
58 df-fn 6546 . . 3 ((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐡) ↔ (Fun (ℝ D 𝐺) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡)))
593, 57, 58sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐡))
6016ffnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴(,)𝐡))
613adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Fun (ℝ D 𝐺))
62 funbrfv 6942 . . 3 (Fun (ℝ D 𝐺) β†’ (𝑦(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘¦) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦)))
6361, 52, 62sylc 65 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
6459, 60, 63eqfnfvd 7035 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108   ≀ cle 11248  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326   β†Ύt crest 17365  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  β„‚fldccnfld 20943  TopOnctopon 22411  intcnt 22520   Cn ccn 22727   CnP ccnp 22728  β€“cnβ†’ccncf 24391  πΏ1cibl 25133  βˆ«citg 25134   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136  df-itg2 25137  df-ibl 25138  df-itg 25139  df-0p 25186  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  ftc2  25560  itgsubstlem  25564
  Copyright terms: Public domain W3C validator