MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1cn 25922
Description: Strengthen the assumptions of ftc1 25921 to when the function 𝐹 is continuous on the entire interval (𝐴, 𝐡); in this case we can calculate D 𝐺 exactly. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cn.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1cn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cn.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1cn.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
ftc1cn.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ftc1cn (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝐴   𝑑,𝐡,π‘₯   𝑑,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 25780 . . . . 5 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚)
32ffund 6712 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (ℝ D 𝐺))
4 ax-resscn 11164 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
54a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
6 ftc1cn.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
7 ftc1cn.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8 ftc1cn.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
9 ftc1cn.le . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
10 ssidd 3998 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
11 ioossre 13386 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
13 ftc1cn.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
14 ftc1cn.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚))
15 cncff 24757 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
176, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16ftc1lem2 25915 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
18 iccssre 13407 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
197, 8, 18syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
20 eqid 2724 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2120tgioo2 24663 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
225, 17, 19, 21, 20dvbssntr 25773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) βŠ† ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)))
23 iccntr 24681 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
247, 8, 23syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
2522, 24sseqtrd 4015 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
267adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
278adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
289adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
29 ssidd 3998 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
3011a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
3113adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
32 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
3311, 4sstri 3984 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚
34 ssid 3997 . . . . . . . . . 10 β„‚ βŠ† β„‚
35 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
3620cnfldtopon 24643 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3736toponrestid 22767 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
3820, 35, 37cncfcn 24774 . . . . . . . . . 10 (((𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
3933, 34, 38mp2an 689 . . . . . . . . 9 ((𝐴(,)𝐡)–cnβ†’β„‚) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
4014, 39eleqtrdi 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
4233a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚)
43 resttopon 23009 . . . . . . . . . . 11 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† β„‚) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
4436, 42, 43sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)))
45 toponuni 22760 . . . . . . . . . 10 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
4746eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ 𝑦 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))))
4847biimpa 476 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)))
49 eqid 2724 . . . . . . . 8 βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))
5049cncnpi 23126 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡))) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))
5141, 48, 50syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (𝐴(,)𝐡)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜π‘¦))
526, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 51, 21, 35, 20ftc1 25921 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘¦))
53 vex 3470 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
54 fvex 6895 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘¦) ∈ V
5553, 54breldm 5899 . . . . 5 (𝑦(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘¦) β†’ 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
5652, 55syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
5725, 56eqelssd 3996 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡))
58 df-fn 6537 . . 3 ((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐡) ↔ (Fun (ℝ D 𝐺) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡)))
593, 57, 58sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐡))
6016ffnd 6709 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴(,)𝐡))
613adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Fun (ℝ D 𝐺))
62 funbrfv 6933 . . 3 (Fun (ℝ D 𝐺) β†’ (𝑦(ℝ D 𝐺)(πΉβ€˜π‘¦) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦)))
6361, 52, 62sylc 65 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
6459, 60, 63eqfnfvd 7026 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  βˆͺ cuni 4900   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  dom cdm 5667  ran crn 5668  Fun wfun 6528   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106   ≀ cle 11248  (,)cioo 13325  [,]cicc 13328   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21234  TopOnctopon 22756  intcnt 22865   Cn ccn 23072   CnP ccnp 23073  β€“cnβ†’ccncf 24740  πΏ1cibl 25490  βˆ«citg 25491   D cdv 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-symdif 4235  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-ovol 25337  df-vol 25338  df-mbf 25492  df-itg1 25493  df-itg2 25494  df-ibl 25495  df-itg 25496  df-0p 25543  df-limc 25739  df-dv 25740
This theorem is referenced by:  ftc2  25923  itgsubstlem  25927
  Copyright terms: Public domain W3C validator