MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1cn 24026
Description: Strengthen the assumptions of ftc1 24025 to when the function 𝐹 is continuous on the entire interval (𝐴, 𝐵); in this case we can calculate D 𝐺 exactly. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cn.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1cn.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cn.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1cn.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cn.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ftc1cn (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐴   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 23891 . . . . 5 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ)
3 ffun 6188 . . . 4 ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐺))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐺))
5 ax-resscn 10195 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7 ftc1cn.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
8 ftc1cn.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 ftc1cn.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 ftc1cn.le . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
11 ssid 3773 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
13 ioossre 12440 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
15 ftc1cn.i . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
16 ftc1cn.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
17 cncff 22916 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 24019 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
20 iccssre 12460 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
218, 9, 20syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22 eqid 2771 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2322tgioo2 22826 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 23884 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
25 iccntr 22844 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
268, 9, 25syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2724, 26sseqtrd 3790 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
288adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
299adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3010adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝐵)
3111a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3213a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
3315adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
34 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3513, 5sstri 3761 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
36 ssid 3773 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
37 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
3822cnfldtopon 22806 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3938toponrestid 20946 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4022, 37, 39cncfcn 22932 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4135, 36, 40mp2an 672 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4216, 41syl6eleq 2860 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4342adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4435a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
45 resttopon 21186 . . . . . . . . . . . . 13 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
4638, 44, 45sylancr 575 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
47 toponuni 20939 . . . . . . . . . . . 12 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
4948eleq2d 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑦 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))))
5049biimpa 462 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
51 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
5251cncnpi 21303 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ 𝑦 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
5343, 50, 52syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑦))
547, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 53, 23, 37, 22ftc1 24025 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑦))
55 vex 3354 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
56 fvex 6342 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ∈ V
5755, 56breldm 5467 . . . . . . 7 (𝑦(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑦) → 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
5854, 57syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
5958ex 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ∈ dom (ℝ D 𝐺)))
6059ssrdv 3758 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
6127, 60eqssd 3769 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
62 df-fn 6034 . . 3 ((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ↔ (Fun (ℝ D 𝐺) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)))
634, 61, 62sylanbrc 572 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
64 ffn 6185 . . 3 (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴(,)𝐵))
6518, 64syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn (𝐴(,)𝐵))
664adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → Fun (ℝ D 𝐺))
67 funbrfv 6375 . . 3 (Fun (ℝ D 𝐺) → (𝑦(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑦) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑦) = (𝐹𝑦)))
6866, 54, 67sylc 65 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
6963, 65, 68eqfnfvd 6457 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723   cuni 4574   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  cle 10277  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  fldccnfld 19961  TopOnctopon 20935  intcnt 21042   Cn ccn 21249   CnP ccnp 21250  cnccncf 22899  𝐿1cibl 23605  citg 23606   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-ovol 23452  df-vol 23453  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23657  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  ftc2  24027  itgsubstlem  24031
  Copyright terms: Public domain W3C validator