Theorem geomcau 38097

Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
geomcau.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
geomcau.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
geomcau.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
geomcau.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
geomcau	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geomcau

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12821	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12552	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		geomcau.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 12982	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3	rpred 12980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	3	rpge0d 12984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
7	5, 6	absidd 15379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
8		geomcau.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
9	7, 8	eqbrtrd 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
10	4, 9	expcnv 15823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚)) ⇝ 0)
11		geomcau.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12		1re 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		resubcl 11452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
14	12, 5, 13	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
15		posdif 11637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
16	5, 12, 15	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
17	8, 16	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐵))
18	14, 17	elrpd 12977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
19	11, 18	rerpdivcld 13011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11167	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
21		nnex 12174	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
22	21	mptex 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V)
24		nnnn0 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26		oveq2 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐵↑𝑚) = (𝐵↑𝑛))
27		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))
28		ovex 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵↑𝑛) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) = (𝐵↑𝑛))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) = (𝐵↑𝑛))
31		nnz 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32		rpexpcl 14036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ+)
33	3, 31, 32	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ+)
34	33	rpcnd 12982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℂ)
35	30, 34	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) ∈ ℂ)
36	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
37	34, 36	mulcomd 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵↑𝑛)))
38	26	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
40		ovex 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ V
41	38, 39, 40	fvmpt 6942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
43	30	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛)) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵↑𝑛)))
44	37, 42, 43	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛)))
45	1, 2, 10, 20, 23, 35, 44	climmulc2 15593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0))
46	20	mul01d 11339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0) = 0)
47	45, 46	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0)
48	33	rpred 12980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ)
49	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
50	48, 49	remulcld 11169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
52	1, 2, 23, 42, 51	clim0c 15463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
53	47, 52	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥)
54		nnz 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
56		uzid 12797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
57		oveq2 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵↑𝑛) = (𝐵↑𝑗))
58	57	fvoveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
59	58	breq1d 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
60	59	rspcv 3561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
61	55, 56, 60	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
62		lmclim2.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
64		lmclim2.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
65		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
66		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
67	64, 65, 66	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
68		eluznn 12862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
69		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
70	64, 68, 69	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
71		metcl 24310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
72	63, 67, 70, 71	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
73		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
74		nnnn0 12438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
75	74	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
76	75	nn0zd 12543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
77		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐵↑𝑚) = (𝐵↑𝑘))
78	77	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐴 · (𝐵↑𝑚)) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
79		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚))) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))
80		ovex 7394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ V
81	78, 79, 80	fvmpt 6942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
83	11	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
84	5	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐵 ∈ ℝ)
85		eluznn0 12861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
86	75, 85	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
87	84, 86	reexpcld 14119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
88	83, 87	remulcld 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
90	11	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℂ)
93	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘𝐵) < 1)
94		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚)) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))
95		ovex 7394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵↑𝑘) ∈ V
96	77, 94, 95	fvmpt 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
98	92, 93, 75, 97	geolim2 15830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))) ⇝ ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵)))
99	87	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
100	97, 99	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
101	97	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘)) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
102	82, 101	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘)))
103	73, 76, 91, 98, 100, 102	isermulc2 15614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))))
104	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
105	104, 76	rpexpcld 14203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
106	105	rpcnd 12982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℂ)
107	14	recnd 11167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
109	18	rpne0d 12985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 − 𝐵) ≠ 0)
111	91, 106, 108, 110	div12d 11961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) = ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
112	103, 111	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
113	73, 76, 82, 89, 112	isumclim 15713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
114		seqex 13959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ V
115		ovex 7394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) ∈ V
116	114, 115	breldm 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
117	103, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
118	73, 76, 82, 88, 117	isumrecl 15721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
119	113, 118	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
120	119	recnd 11167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
121	120	abscld 15395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
122		fzfid 13929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
123		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
124		elfzuz 13468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
125		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ)
126		eluznn 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
127	125, 126	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
128	124, 127	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
129	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
130	64	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
131		peano2nn 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
132		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
133	64, 131, 132	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
134		metcl 24310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
135	129, 130, 133, 134	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
136	123, 128, 135	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
137	122, 136	fsumrecl 15690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
138		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
139		elfzuz 13468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑗...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
140		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
141	140, 127, 130	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
142	139, 141	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
143	63, 138, 142	mettrifi 38095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
144	124, 88	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
145	122, 144	fsumrecl 15690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
146		geomcau.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
147	123, 128, 146	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
148	122, 136, 144, 147	fsumle 15756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
149		fzssuz 13513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑗)
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
151		0red 11141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
152		nnz 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
153		rpexpcl 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
154	3, 152, 153	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
155	135, 154	rerpdivcld 13011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
156	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
157		metge0 24323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
158	129, 130, 133, 157	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
159	135, 154, 158	divge0d 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)))
160	135, 156, 154	ledivmul2d 13034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘))))
161	146, 160	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ≤ 𝐴)
162	151, 155, 156, 159, 161	letrd 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
163	140, 127, 162	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝐴)
164	140, 127, 154	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
165	164	rpge0d 12984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐵↑𝑘))
166	83, 87, 163, 165	mulge0d 11721	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
167	73, 76, 122, 150, 82, 88, 166, 117	isumless 15804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
168	137, 145, 118, 148, 167	letrd 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
169	72, 137, 118, 143, 168	letrd 11297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
170	169, 113	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
171	119	leabsd 15371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
172	72, 119, 121, 170, 171	letrd 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
173	172	adantlr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
174	72	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
175	121	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
176		rpre 12945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
177	176	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
178		lelttr 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
179	174, 175, 177, 178	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
180	173, 179	mpand 696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
181	180	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
182	181	ralrimdva 3138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
183	61, 182	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
184	183	reximdva 3151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
185	184	ralimdva 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
186	53, 185	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
187		metxmet 24312	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
188	62, 187	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
189		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
190		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
191	1, 188, 2, 189, 190, 64	iscauf 25260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
192	186, 191	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371   / cdiv 11801  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782  ℝ⁺crp 12936  ...cfz 13455  seqcseq 13957  ↑cexp 14017  abscabs 15190   ⇝ cli 15440  Σcsu 15642  ∞Metcxmet 21332  Metcmet 21333  Cauccau 25233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ico 13298  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-cau 25236

This theorem is referenced by:  bfplem1  38160