Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  geomcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geomcau 36218
Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
geomcau.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
geomcau.5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
geomcau.6 (𝜑𝐵 < 1)
geomcau.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
geomcau (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geomcau
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 geomcau.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
43rpcnd 12959 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53rpred 12957 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
63rpge0d 12961 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75, 6absidd 15307 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
8 geomcau.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 < 1)
97, 8eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
104, 9expcnv 15749 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚)) ⇝ 0)
11 geomcau.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
12 1re 11155 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
13 resubcl 11465 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
1412, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
15 posdif 11648 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
165, 12, 15sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
178, 16mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐵))
1814, 17elrpd 12954 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
1911, 18rerpdivcld 12988 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
2019recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
21 nnex 12159 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
2221mptex 7173 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V)
24 nnnn0 12420 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑛))
27 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))
28 ovex 7390 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑛) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) = (𝐵𝑛))
3025, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) = (𝐵𝑛))
31 nnz 12520 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32 rpexpcl 13986 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ+)
333, 31, 32syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ+)
3433rpcnd 12959 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
3530, 34eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) ∈ ℂ)
3620adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
3734, 36mulcomd 11176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵𝑛)))
3826oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
39 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
40 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
4241adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
4330oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛)) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵𝑛)))
4437, 42, 433eqtr4d 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛)))
451, 2, 10, 20, 23, 35, 44climmulc2 15519 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0))
4620mul01d 11354 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0) = 0)
4745, 46breqtrd 5131 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0)
4833rpred 12957 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
4919adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 11185 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
5150recnd 11183 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
521, 2, 23, 42, 51clim0c 15389 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
5347, 52mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥)
54 nnz 12520 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
5554adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 uzid 12778 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
57 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑗))
5857fvoveq1d 7379 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
5958breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
6059rspcv 3577 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
6155, 56, 603syl 18 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
62 lmclim2.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
64 lmclim2.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
65 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
66 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
6764, 65, 66syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
68 eluznn 12843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
69 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
7064, 68, 69syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
71 metcl 23685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7263, 67, 70, 71syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
73 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
74 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
7574ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
7675nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
77 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑘 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑘))
7877oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → (𝐴 · (𝐵𝑚)) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
79 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚))) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))
80 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ V
8178, 79, 80fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
8311ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
845ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐵 ∈ ℝ)
85 eluznn0 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8675, 85sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8784, 86reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
8883, 87remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
8988recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
9011recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℂ)
924adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℂ)
939adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘𝐵) < 1)
94 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))
95 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑘) ∈ V
9677, 94, 95fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) = (𝐵𝑘))
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) = (𝐵𝑘))
9892, 93, 75, 97geolim2 15756 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))) ⇝ ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵)))
9987recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
10097, 99eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
10197oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘)) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
10282, 101eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘)))
10373, 76, 91, 98, 100, 102isermulc2 15542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))))
1043adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
105104, 76rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
106105rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
10714recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
10918rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 − 𝐵) ≠ 0)
11191, 106, 108, 110div12d 11967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) = ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
112103, 111breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
11373, 76, 82, 89, 112isumclim 15642 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)) = ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
114 seqex 13908 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ V
115 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) ∈ V
116114, 115breldm 5864 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
117103, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
11873, 76, 82, 88, 117isumrecl 15650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
119113, 118eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
120119recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
121120abscld 15321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
122 fzfid 13878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
123 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
124 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
125 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ)
126 eluznn 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
127125, 126sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
128124, 127sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
12962adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
13064ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
131 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
132 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
13364, 131, 132syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
134 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
135129, 130, 133, 134syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
136123, 128, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
137122, 136fsumrecl 15619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
138 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))
139 elfzuz 13437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝑗...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
140 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
141140, 127, 130syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
142139, 141sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
14363, 138, 142mettrifi 36216 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
144124, 88sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
145122, 144fsumrecl 15619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
146 geomcau.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
147123, 128, 146syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
148122, 136, 144, 147fsumle 15684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)))
149 fzssuz 13482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ𝑗)
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ𝑗))
151 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
152 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
153 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
1543, 152, 153syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
155135, 154rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
15611adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
157 metge0 23698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
158129, 130, 133, 157syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
159135, 154, 158divge0d 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)))
160135, 156, 154ledivmul2d 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘))))
161146, 160mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ≤ 𝐴)
162151, 155, 156, 159, 161letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
163140, 127, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ 𝐴)
164140, 127, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
165164rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (𝐵𝑘))
16683, 87, 163, 165mulge0d 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
16773, 76, 122, 150, 82, 88, 166, 117isumless 15730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
168137, 145, 118, 148, 167letrd 11312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
16972, 137, 118, 143, 168letrd 11312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
170169, 113breqtrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
171119leabsd 15299 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
17272, 119, 121, 170, 171letrd 11312 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
173172adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
17472adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
175121adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
176 rpre 12923 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
177176ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
178 lelttr 11245 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
179174, 175, 177, 178syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
180173, 179mpand 693 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
181180anassrs 468 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
182181ralrimdva 3151 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
18361, 182syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
184183reximdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
185184ralimdva 3164 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
18653, 185mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
187 metxmet 23687 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18862, 187syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
189 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
190 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
1911, 188, 2, 189, 190, 64iscauf 24644 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
192186, 191mpbird 256 1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  Cauccau 24617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-cau 24620
This theorem is referenced by:  bfplem1  36281
  Copyright terms: Public domain W3C validator