Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  geomcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geomcau 34905
Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
geomcau.4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
geomcau.5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
geomcau.6 (𝜑𝐵 < 1)
geomcau.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
geomcau (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geomcau
Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12273 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12005 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 geomcau.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
43rpcnd 12426 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
53rpred 12424 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
63rpge0d 12428 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75, 6absidd 14775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
8 geomcau.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 < 1)
97, 8eqbrtrd 5084 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
104, 9expcnv 15212 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚)) ⇝ 0)
11 geomcau.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
12 1re 10633 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
13 resubcl 10942 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
1412, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
15 posdif 11125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
165, 12, 15sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
178, 16mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐵))
1814, 17elrpd 12421 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
1911, 18rerpdivcld 12455 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
2019recnd 10661 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
21 nnex 11636 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
2221mptex 6984 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V)
24 nnnn0 11896 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26 oveq2 7159 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑛))
27 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))
28 ovex 7184 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑛) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6764 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) = (𝐵𝑛))
3025, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) = (𝐵𝑛))
31 nnz 11996 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32 rpexpcl 13441 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ+)
333, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ+)
3433rpcnd 12426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
3530, 34eqeltrd 2917 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛) ∈ ℂ)
3620adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
3734, 36mulcomd 10654 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵𝑛)))
3826oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
39 eqid 2825 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
40 ovex 7184 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 6764 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
4241adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
4330oveq2d 7167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛)) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵𝑛)))
4437, 42, 433eqtr4d 2870 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑚))‘𝑛)))
451, 2, 10, 20, 23, 35, 44climmulc2 14986 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0))
4620mul01d 10831 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0) = 0)
4745, 46breqtrd 5088 . . . 4 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0)
4833rpred 12424 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
4919adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
5150recnd 10661 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
521, 2, 23, 42, 51clim0c 14857 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
5347, 52mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥)
54 nnz 11996 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
5554adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
56 uzid 12250 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
57 oveq2 7159 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑗))
5857fvoveq1d 7173 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
5958breq1d 5072 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
6059rspcv 3621 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
6155, 56, 603syl 18 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
62 lmclim2.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
64 lmclim2.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
65 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
66 ffvelrn 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
6764, 65, 66syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
68 eluznn 12310 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
69 ffvelrn 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
7064, 68, 69syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
71 metcl 22860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
7263, 67, 70, 71syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
73 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
74 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
7574ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
7675nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
77 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑘 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑘))
7877oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → (𝐴 · (𝐵𝑚)) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
79 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚))) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))
80 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ V
8178, 79, 80fvmpt 6764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
8311ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
845ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐵 ∈ ℝ)
85 eluznn0 12309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8675, 85sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8784, 86reexpcld 13520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
8883, 87remulcld 10663 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
8988recnd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℂ)
9011recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴 ∈ ℂ)
924adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℂ)
939adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘𝐵) < 1)
94 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))
95 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑘) ∈ V
9677, 94, 95fvmpt 6764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) = (𝐵𝑘))
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) = (𝐵𝑘))
9892, 93, 75, 97geolim2 15220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))) ⇝ ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵)))
9987recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
10097, 99eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
10197oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘)) = (𝐴 · (𝐵𝑘)))
10282, 101eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐵𝑚))‘𝑘)))
10373, 76, 91, 98, 100, 102isermulc2 15007 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))))
1043adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
105104, 76rpexpcld 13601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℝ+)
106105rpcnd 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝑗) ∈ ℂ)
10714recnd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
10918rpne0d 12429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (1 − 𝐵) ≠ 0)
11191, 106, 108, 110div12d 11444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) = ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
112103, 111breqtrd 5088 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
11373, 76, 82, 89, 112isumclim 15105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)) = ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
114 seqex 13364 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ V
115 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) ∈ V
116114, 115breldm 5775 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵𝑗) / (1 − 𝐵))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
117103, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
11873, 76, 82, 88, 117isumrecl 15113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
119113, 118eqeltrrd 2918 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
120119recnd 10661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
121120abscld 14789 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
122 fzfid 13334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
123 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
124 elfzuz 12897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
125 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ)
126 eluznn 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
127125, 126sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
128124, 127sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
12962adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
13064ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
131 peano2nn 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
132 ffvelrn 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
13364, 131, 132syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
134 metcl 22860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
135129, 130, 133, 134syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
136123, 128, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
137122, 136fsumrecl 15084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
138 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))
139 elfzuz 12897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝑗...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
140 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
141140, 127, 130syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
142139, 141sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
14363, 138, 142mettrifi 34903 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
144124, 88sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → (𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
145122, 144fsumrecl 15084 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
146 geomcau.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
147123, 128, 146syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
148122, 136, 144, 147fsumle 15147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)))
149 fzssuz 12941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ𝑗)
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ𝑗))
151 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
152 nnz 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
153 rpexpcl 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
1543, 152, 153syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
155135, 154rerpdivcld 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ∈ ℝ)
15611adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
157 metge0 22873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
158129, 130, 133, 157syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
159135, 154, 158divge0d 12464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)))
160135, 156, 154ledivmul2d 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘))))
161146, 160mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵𝑘)) ≤ 𝐴)
162151, 155, 156, 159, 161letrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
163140, 127, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ 𝐴)
164140, 127, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ+)
165164rpge0d 12428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (𝐵𝑘))
16683, 87, 163, 165mulge0d 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (𝐴 · (𝐵𝑘)))
16773, 76, 122, 150, 82, 88, 166, 117isumless 15193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
168137, 145, 118, 148, 167letrd 10789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
16972, 137, 118, 143, 168letrd 10789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · (𝐵𝑘)))
170169, 113breqtrd 5088 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
171119leabsd 14767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
17272, 119, 121, 170, 171letrd 10789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
173172adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
17472adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
175121adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
176 rpre 12390 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
177176ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
178 lelttr 10723 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
179174, 175, 177, 178syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
180173, 179mpand 691 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
181180anassrs 468 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
182181ralrimdva 3193 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐵𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
18361, 182syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
184183reximdva 3278 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
185184ralimdva 3181 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐵𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
18653, 185mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥)
187 metxmet 22862 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18862, 187syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
189 eqidd 2826 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑛))
190 eqidd 2826 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
1911, 188, 2, 189, 190, 64iscauf 23801 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑛)) < 𝑥))
192186, 191mpbird 258 1 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  wss 3939   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382  ...cfz 12885  seqcseq 13362  cexp 13422  abscabs 14586  cli 14834  Σcsu 15035  ∞Metcxmet 20449  Metcmet 20450  Cauccau 23774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ico 12737  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-cau 23777
This theorem is referenced by:  bfplem1  34971
  Copyright terms: Public domain W3C validator