Theorem geomcau 37746

Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
geomcau.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
geomcau.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
geomcau.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
geomcau.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
geomcau	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geomcau

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12812	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12540	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		geomcau.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 12973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3	rpred 12971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	3	rpge0d 12975	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
7	5, 6	absidd 15365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
8		geomcau.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
9	7, 8	eqbrtrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
10	4, 9	expcnv 15806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚)) ⇝ 0)
11		geomcau.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12		1re 11150	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		resubcl 11462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
14	12, 5, 13	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
15		posdif 11647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
16	5, 12, 15	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
17	8, 16	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐵))
18	14, 17	elrpd 12968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
19	11, 18	rerpdivcld 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
21		nnex 12168	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
22	21	mptex 7179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V)
24		nnnn0 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐵↑𝑚) = (𝐵↑𝑛))
27		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))
28		ovex 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵↑𝑛) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) = (𝐵↑𝑛))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) = (𝐵↑𝑛))
31		nnz 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32		rpexpcl 14021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ+)
33	3, 31, 32	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ+)
34	33	rpcnd 12973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℂ)
35	30, 34	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) ∈ ℂ)
36	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
37	34, 36	mulcomd 11171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵↑𝑛)))
38	26	oveq1d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
39		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
40		ovex 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ V
41	38, 39, 40	fvmpt 6950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
43	30	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛)) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵↑𝑛)))
44	37, 42, 43	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛)))
45	1, 2, 10, 20, 23, 35, 44	climmulc2 15579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0))
46	20	mul01d 11349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0) = 0)
47	45, 46	breqtrd 5128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0)
48	33	rpred 12971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ)
49	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
50	48, 49	remulcld 11180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
52	1, 2, 23, 42, 51	clim0c 15449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
53	47, 52	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥)
54		nnz 12526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
56		uzid 12784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
57		oveq2 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵↑𝑛) = (𝐵↑𝑗))
58	57	fvoveq1d 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
59	58	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
60	59	rspcv 3581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
61	55, 56, 60	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
62		lmclim2.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
64		lmclim2.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
65		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
66		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
67	64, 65, 66	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
68		eluznn 12853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
69		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
70	64, 68, 69	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
71		metcl 24253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
72	63, 67, 70, 71	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
73		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
74		nnnn0 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
75	74	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
76	75	nn0zd 12531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
77		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐵↑𝑚) = (𝐵↑𝑘))
78	77	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐴 · (𝐵↑𝑚)) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
79		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚))) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))
80		ovex 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ V
81	78, 79, 80	fvmpt 6950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
83	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
84	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐵 ∈ ℝ)
85		eluznn0 12852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
86	75, 85	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
87	84, 86	reexpcld 14104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
88	83, 87	remulcld 11180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
90	11	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℂ)
93	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘𝐵) < 1)
94		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚)) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))
95		ovex 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵↑𝑘) ∈ V
96	77, 94, 95	fvmpt 6950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
98	92, 93, 75, 97	geolim2 15813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))) ⇝ ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵)))
99	87	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
100	97, 99	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
101	97	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘)) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
102	82, 101	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘)))
103	73, 76, 91, 98, 100, 102	isermulc2 15600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))))
104	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
105	104, 76	rpexpcld 14188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
106	105	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℂ)
107	14	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
109	18	rpne0d 12976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 − 𝐵) ≠ 0)
111	91, 106, 108, 110	div12d 11970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) = ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
112	103, 111	breqtrd 5128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
113	73, 76, 82, 89, 112	isumclim 15699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
114		seqex 13944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ V
115		ovex 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) ∈ V
116	114, 115	breldm 5862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
117	103, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
118	73, 76, 82, 88, 117	isumrecl 15707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
119	113, 118	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
120	119	recnd 11178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
121	120	abscld 15381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
122		fzfid 13914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
123		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
124		elfzuz 13457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
125		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ)
126		eluznn 12853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
127	125, 126	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
128	124, 127	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
129	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
130	64	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
131		peano2nn 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
132		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
133	64, 131, 132	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
134		metcl 24253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
135	129, 130, 133, 134	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
136	123, 128, 135	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
137	122, 136	fsumrecl 15676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
138		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
139		elfzuz 13457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑗...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
140		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
141	140, 127, 130	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
142	139, 141	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
143	63, 138, 142	mettrifi 37744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
144	124, 88	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
145	122, 144	fsumrecl 15676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
146		geomcau.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
147	123, 128, 146	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
148	122, 136, 144, 147	fsumle 15741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
149		fzssuz 13502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑗)
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
151		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
152		nnz 12526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
153		rpexpcl 14021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
154	3, 152, 153	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
155	135, 154	rerpdivcld 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
156	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
157		metge0 24266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
158	129, 130, 133, 157	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
159	135, 154, 158	divge0d 13011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)))
160	135, 156, 154	ledivmul2d 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘))))
161	146, 160	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ≤ 𝐴)
162	151, 155, 156, 159, 161	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
163	140, 127, 162	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝐴)
164	140, 127, 154	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
165	164	rpge0d 12975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐵↑𝑘))
166	83, 87, 163, 165	mulge0d 11731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
167	73, 76, 122, 150, 82, 88, 166, 117	isumless 15787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
168	137, 145, 118, 148, 167	letrd 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
169	72, 137, 118, 143, 168	letrd 11307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
170	169, 113	breqtrd 5128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
171	119	leabsd 15357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
172	72, 119, 121, 170, 171	letrd 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
173	172	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
174	72	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
175	121	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
176		rpre 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
177	176	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
178		lelttr 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
179	174, 175, 177, 178	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
180	173, 179	mpand 695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
181	180	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
182	181	ralrimdva 3133	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
183	61, 182	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
184	183	reximdva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
185	184	ralimdva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
186	53, 185	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
187		metxmet 24255	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
188	62, 187	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
189		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
190		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
191	1, 188, 2, 189, 190, 64	iscauf 25213	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
192	186, 191	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  ...cfz 13444  seqcseq 13942  ↑cexp 14002  abscabs 15176   ⇝ cli 15426  Σcsu 15628  ∞Metcxmet 21281  Metcmet 21282  Cauccau 25186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-cau 25189

This theorem is referenced by:  bfplem1  37809