Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  geomcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geomcau 36615
Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
lmclim2.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
geomcau.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
geomcau.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
geomcau.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 1)
geomcau.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
geomcau (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑋   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem geomcau
Dummy variables 𝑗 𝑛 π‘₯ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12861 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12589 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 geomcau.5 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
43rpcnd 13014 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
53rpred 13012 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
63rpge0d 13016 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐡)
75, 6absidd 15365 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) = 𝐡)
8 geomcau.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 1)
97, 8eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < 1)
104, 9expcnv 15806 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π΅β†‘π‘š)) ⇝ 0)
11 geomcau.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
12 1re 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
13 resubcl 11520 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
1412, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ)
15 posdif 11703 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ 𝐡)))
165, 12, 15sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 < 1 ↔ 0 < (1 βˆ’ 𝐡)))
178, 16mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (1 βˆ’ 𝐡))
1814, 17elrpd 13009 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐡) ∈ ℝ+)
1911, 18rerpdivcld 13043 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
2019recnd 11238 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
21 nnex 12214 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
2221mptex 7221 . . . . . . 7 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ∈ V)
24 nnnn0 12475 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
2524adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
26 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ (π΅β†‘π‘š) = (𝐡↑𝑛))
27 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π΅β†‘π‘š)) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (π΅β†‘π‘š))
28 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝐡↑𝑛) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6995 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘›) = (𝐡↑𝑛))
3025, 29syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘›) = (𝐡↑𝑛))
31 nnz 12575 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
32 rpexpcl 14042 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝐡↑𝑛) ∈ ℝ+)
333, 31, 32syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡↑𝑛) ∈ ℝ+)
3433rpcnd 13014 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡↑𝑛) ∈ β„‚)
3530, 34eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘›) ∈ β„‚)
3620adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) ∈ β„‚)
3734, 36mulcomd 11231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))) = ((𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) Β· (𝐡↑𝑛)))
3826oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))) = ((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))
39 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))
40 ovex 7438 . . . . . . . . 9 ((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))) ∈ V
4138, 39, 40fvmpt 6995 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))β€˜π‘›) = ((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))
4241adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))β€˜π‘›) = ((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))
4330oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘›)) = ((𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) Β· (𝐡↑𝑛)))
4437, 42, 433eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))β€˜π‘›) = ((𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) Β· ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘›)))
451, 2, 10, 20, 23, 35, 44climmulc2 15577 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ⇝ ((𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) Β· 0))
4620mul01d 11409 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) Β· 0) = 0)
4745, 46breqtrd 5173 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ⇝ 0)
4833rpred 13012 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐡↑𝑛) ∈ ℝ)
4919adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)) ∈ ℝ)
5048, 49remulcld 11240 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))) ∈ ℝ)
5150recnd 11238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))) ∈ β„‚)
521, 2, 23, 42, 51clim0c 15447 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ β„• ↦ ((π΅β†‘π‘š) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ⇝ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯))
5347, 52mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯)
54 nnz 12575 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
5554adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
56 uzid 12833 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
57 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ (𝐡↑𝑛) = (𝐡↑𝑗))
5857fvoveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) = (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))))
5958breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯))
6059rspcv 3608 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯))
6155, 56, 603syl 18 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯))
62 lmclim2.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
64 lmclim2.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
65 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
66 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
6764, 65, 66syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
68 eluznn 12898 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
69 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
7064, 68, 69syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
71 metcl 23829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
7263, 67, 70, 71syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
73 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘—)
74 nnnn0 12475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
7574ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
7675nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
77 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = π‘˜ β†’ (π΅β†‘π‘š) = (π΅β†‘π‘˜))
7877oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = π‘˜ β†’ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)) = (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
79 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š))) = (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))
80 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ V
8178, 79, 80fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
8311ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
845ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
85 eluznn0 12897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8675, 85sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8784, 86reexpcld 14124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
8883, 87remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
8988recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
9011recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
924adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
939adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜π΅) < 1)
94 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (π΅β†‘π‘š)) = (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (π΅β†‘π‘š))
95 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π΅β†‘π‘˜) ∈ V
9677, 94, 95fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘˜) = (π΅β†‘π‘˜))
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘˜) = (π΅β†‘π‘˜))
9892, 93, 75, 97geolim2 15813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ seq𝑗( + , (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (π΅β†‘π‘š))) ⇝ ((𝐡↑𝑗) / (1 βˆ’ 𝐡)))
9987recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
10097, 99eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
10197oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (𝐴 Β· ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘˜)) = (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
10282, 101eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))β€˜π‘˜) = (𝐴 Β· ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (π΅β†‘π‘š))β€˜π‘˜)))
10373, 76, 91, 98, 100, 102isermulc2 15600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ seq𝑗( + , (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))) ⇝ (𝐴 Β· ((𝐡↑𝑗) / (1 βˆ’ 𝐡))))
1043adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
105104, 76rpexpcld 14206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝐡↑𝑗) ∈ ℝ+)
106105rpcnd 13014 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝐡↑𝑗) ∈ β„‚)
10714recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (1 βˆ’ 𝐡) ∈ β„‚)
10918rpne0d 13017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1 βˆ’ 𝐡) β‰  0)
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (1 βˆ’ 𝐡) β‰  0)
11191, 106, 108, 110div12d 12022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝐴 Β· ((𝐡↑𝑗) / (1 βˆ’ 𝐡))) = ((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))
112103, 111breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ seq𝑗( + , (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))) ⇝ ((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))
11373, 76, 82, 89, 112isumclim 15699 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)) = ((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))
114 seqex 13964 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq𝑗( + , (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))) ∈ V
115 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 Β· ((𝐡↑𝑗) / (1 βˆ’ 𝐡))) ∈ V
116114, 115breldm 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq𝑗( + , (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))) ⇝ (𝐴 Β· ((𝐡↑𝑗) / (1 βˆ’ 𝐡))) β†’ seq𝑗( + , (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
117103, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ seq𝑗( + , (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ↦ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
11873, 76, 82, 88, 117isumrecl 15707 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
119113, 118eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))) ∈ ℝ)
120119recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))) ∈ β„‚)
121120abscld 15379 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ∈ ℝ)
122 fzfid 13934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
123 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ πœ‘)
124 elfzuz 13493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
125 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
126 eluznn 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
127125, 126sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
128124, 127sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
12962adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
13064ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
131 peano2nn 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
132 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋)
13364, 131, 132syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋)
134 metcl 23829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
135129, 130, 133, 134syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
136123, 128, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
137122, 136fsumrecl 15676 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
138 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
139 elfzuz 13493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝑗...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
140 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
141140, 127, 130syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
142139, 141sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑗...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
14363, 138, 142mettrifi 36613 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
144124, 88sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
145122, 144fsumrecl 15676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))(𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
146 geomcau.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
147123, 128, 146syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
148122, 136, 144, 147fsumle 15741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))(𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
149 fzssuz 13538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—)
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘—))
151 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
152 nnz 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„€)
153 rpexpcl 14042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐡 ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
1543, 152, 153syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
155135, 154rerpdivcld 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) / (π΅β†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
15611adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
157 metge0 23842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
158129, 130, 133, 157syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
159135, 154, 158divge0d 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) / (π΅β†‘π‘˜)))
160135, 156, 154ledivmul2d 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) / (π΅β†‘π‘˜)) ≀ 𝐴 ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜))))
161146, 160mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) / (π΅β†‘π‘˜)) ≀ 𝐴)
162151, 155, 156, 159, 161letrd 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ 𝐴)
163140, 127, 162syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ 𝐴)
164140, 127, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ ℝ+)
165164rpge0d 13016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (π΅β†‘π‘˜))
16683, 87, 163, 165mulge0d 11787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 0 ≀ (𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
16773, 76, 122, 150, 82, 88, 166, 117isumless 15787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))(𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
168137, 145, 118, 148, 167letrd 11367 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑗...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
16972, 137, 118, 143, 168letrd 11367 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐴 Β· (π΅β†‘π‘˜)))
170169, 113breqtrd 5173 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ ((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))))
171119leabsd 15357 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡))) ≀ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))))
17272, 119, 121, 170, 171letrd 11367 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))))
173172adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))))
17472adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
175121adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ∈ ℝ)
176 rpre 12978 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
177176ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
178 lelttr 11300 . . . . . . . . . 10 ((((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ∧ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
179174, 175, 177, 178syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) ∧ (absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
180173, 179mpand 693 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
181180anassrs 468 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
182181ralrimdva 3154 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑗) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
18361, 182syld 47 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
184183reximdva 3168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
185184ralimdva 3167 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((𝐡↑𝑛) Β· (𝐴 / (1 βˆ’ 𝐡)))) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
18653, 185mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯)
187 metxmet 23831 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
18862, 187syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
189 eqidd 2733 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘›))
190 eqidd 2733 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘—))
1911, 188, 2, 189, 190, 64iscauf 24788 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) < π‘₯))
192186, 191mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  ...cfz 13480  seqcseq 13962  β†‘cexp 14023  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  Ξ£csu 15628  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  Cauccau 24761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-cau 24764
This theorem is referenced by:  bfplem1  36678
  Copyright terms: Public domain W3C validator