Theorem geomcau 37760

Description: If the distance between consecutive points in a sequence is bounded by a geometric sequence, then the sequence is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmclim2.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
geomcau.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
geomcau.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
geomcau.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
geomcau.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
geomcau	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑋   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geomcau

Dummy variables 𝑗 𝑛 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12928	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		geomcau.5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
4	3	rpcnd 13086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3	rpred 13084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	3	rpge0d 13088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
7	5, 6	absidd 15467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) = 𝐵)
8		geomcau.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
9	7, 8	eqbrtrd 5173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
10	4, 9	expcnv 15906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚)) ⇝ 0)
11		geomcau.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12		1re 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		resubcl 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
14	12, 5, 13	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
15		posdif 11763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
16	5, 12, 15	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐵)))
17	8, 16	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐵))
18	14, 17	elrpd 13081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
19	11, 18	rerpdivcld 13115	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
21		nnex 12279	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
22	21	mptex 7250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ V)
24		nnnn0 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
26		oveq2 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐵↑𝑚) = (𝐵↑𝑛))
27		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))
28		ovex 7471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵↑𝑛) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) = (𝐵↑𝑛))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) = (𝐵↑𝑛))
31		nnz 12641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32		rpexpcl 14127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ+)
33	3, 31, 32	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ+)
34	33	rpcnd 13086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℂ)
35	30, 34	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛) ∈ ℂ)
36	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℂ)
37	34, 36	mulcomd 11289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵↑𝑛)))
38	26	oveq1d 7453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
40		ovex 7471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ V
41	38, 39, 40	fvmpt 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
43	30	oveq2d 7454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛)) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · (𝐵↑𝑛)))
44	37, 42, 43	3eqtr4d 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))‘𝑛) = ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑛)))
45	1, 2, 10, 20, 23, 35, 44	climmulc2 15679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0))
46	20	mul01d 11467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (1 − 𝐵)) · 0) = 0)
47	45, 46	breqtrd 5177	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0)
48	33	rpred 13084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑛) ∈ ℝ)
49	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 / (1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
50	48, 49	remulcld 11298	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11296	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
52	1, 2, 23, 42, 51	clim0c 15549	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐵↑𝑚) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
53	47, 52	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥)
54		nnz 12641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
56		uzid 12900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
57		oveq2 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝐵↑𝑛) = (𝐵↑𝑗))
58	57	fvoveq1d 7460	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) = (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
59	58	breq1d 5161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
60	59	rspcv 3621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
61	55, 56, 60	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥))
62		lmclim2.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
64		lmclim2.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
65		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
66		ffvelcdm 7108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
67	64, 65, 66	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
68		eluznn 12967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑛 ∈ ℕ)
69		ffvelcdm 7108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
70	64, 68, 69	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋)
71		metcl 24367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
72	63, 67, 70, 71	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
73		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑗)
74		nnnn0 12540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
75	74	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
76	75	nn0zd 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℤ)
77		oveq2 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐵↑𝑚) = (𝐵↑𝑘))
78	77	oveq2d 7454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐴 · (𝐵↑𝑚)) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
79		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚))) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))
80		ovex 7471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ V
81	78, 79, 80	fvmpt 7023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
83	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
84	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐵 ∈ ℝ)
85		eluznn0 12966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
86	75, 85	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
87	84, 86	reexpcld 14209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
88	83, 87	remulcld 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℂ)
90	11	recnd 11296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ ℂ)
92	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℂ)
93	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘𝐵) < 1)
94		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚)) = (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))
95		ovex 7471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵↑𝑘) ∈ V
96	77, 94, 95	fvmpt 7023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
98	92, 93, 75, 97	geolim2 15913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))) ⇝ ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵)))
99	87	recnd 11296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
100	97, 99	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℂ)
101	97	oveq2d 7454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘)) = (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
102	82, 101	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 · ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐵↑𝑚))‘𝑘)))
103	73, 76, 91, 98, 100, 102	isermulc2 15700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))))
104	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
105	104, 76	rpexpcld 14292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℝ+)
106	105	rpcnd 13086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵↑𝑗) ∈ ℂ)
107	14	recnd 11296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
109	18	rpne0d 13089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ≠ 0)
110	109	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (1 − 𝐵) ≠ 0)
111	91, 106, 108, 110	div12d 12086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) = ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
112	103, 111	breqtrd 5177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
113	73, 76, 82, 89, 112	isumclim 15799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) = ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
114		seqex 14050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ V
115		ovex 7471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) ∈ V
116	114, 115	breldm 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ⇝ (𝐴 · ((𝐵↑𝑗) / (1 − 𝐵))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
117	103, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑗( + , (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ↦ (𝐴 · (𝐵↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
118	73, 76, 82, 88, 117	isumrecl 15807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
119	113, 118	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℝ)
120	119	recnd 11296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ∈ ℂ)
121	120	abscld 15481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
122		fzfid 14020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
123		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝜑)
124		elfzuz 13566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
125		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℕ)
126		eluznn 12967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
127	125, 126	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
128	124, 127	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
129	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
130	64	ffvelcdmda 7111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
131		peano2nn 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
132		ffvelcdm 7108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
133	64, 131, 132	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
134		metcl 24367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
135	129, 130, 133, 134	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
136	123, 128, 135	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
137	122, 136	fsumrecl 15776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
138		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
139		elfzuz 13566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑗...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
140		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝜑)
141	140, 127, 130	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
142	139, 141	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
143	63, 138, 142	mettrifi 37758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
144	124, 88	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → (𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
145	122, 144	fsumrecl 15776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
146		geomcau.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
147	123, 128, 146	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
148	122, 136, 144, 147	fsumle 15841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
149		fzssuz 13611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑗)
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑗...(𝑛 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
151		0red 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
152		nnz 12641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
153		rpexpcl 14127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
154	3, 152, 153	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
155	135, 154	rerpdivcld 13115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ∈ ℝ)
156	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
157		metge0 24380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
158	129, 130, 133, 157	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
159	135, 154, 158	divge0d 13124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)))
160	135, 156, 154	ledivmul2d 13138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘))))
161	146, 160	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) / (𝐵↑𝑘)) ≤ 𝐴)
162	151, 155, 156, 159, 161	letrd 11425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
163	140, 127, 162	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝐴)
164	140, 127, 154	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ+)
165	164	rpge0d 13088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐵↑𝑘))
166	83, 87, 163, 165	mulge0d 11847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ (𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
167	73, 76, 122, 150, 82, 88, 166, 117	isumless 15887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))(𝐴 · (𝐵↑𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
168	137, 145, 118, 148, 167	letrd 11425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑗...(𝑛 − 1))((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
169	72, 137, 118, 143, 168	letrd 11425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐴 · (𝐵↑𝑘)))
170	169, 113	breqtrd 5177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))))
171	119	leabsd 15459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵))) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
172	72, 119, 121, 170, 171	letrd 11425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
173	172	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))))
174	72	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
175	121	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ)
176		rpre 13050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
177	176	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑥 ∈ ℝ)
178		lelttr 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
179	174, 175, 177, 178	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) ≤ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) ∧ (abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
180	173, 179	mpand 695	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
181	180	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
182	181	ralrimdva 3154	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐵↑𝑗) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
183	61, 182	syld 47	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
184	183	reximdva 3168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
185	184	ralimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐵↑𝑛) · (𝐴 / (1 − 𝐵)))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
186	53, 185	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥)
187		metxmet 24369	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
188	62, 187	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
189		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑛))
190		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
191	1, 188, 2, 189, 190, 64	iscauf 25339	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑛)) < 𝑥))
192	186, 191	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3481   ⊆ wss 3966   class class class wbr 5151   ↦ cmpt 5234  dom cdm 5693  ⟶wf 6565  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  ℂcc 11160  ℝcr 11161  0cc0 11162  1c1 11163   + caddc 11165   · cmul 11167   < clt 11302   ≤ cle 11303   − cmin 11499   / cdiv 11927  ℕcn 12273  ℕ₀cn0 12533  ℤcz 12620  ℤ_≥cuz 12885  ℝ⁺crp 13041  ...cfz 13553  seqcseq 14048  ↑cexp 14108  abscabs 15279   ⇝ cli 15526  Σcsu 15728  ∞Metcxmet 21376  Metcmet 21377  Cauccau 25312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-inf2 9688  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-pre-sup 11240

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-se 5646  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-isom 6578  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-pm 8877  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-sup 9489  df-inf 9490  df-oi 9557  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-rp 13042  df-xneg 13161  df-xadd 13162  df-xmul 13163  df-ico 13399  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-fl 13838  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14376  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-clim 15530  df-rlim 15531  df-sum 15729  df-psmet 21383  df-xmet 21384  df-met 21385  df-bl 21386  df-cau 25315

This theorem is referenced by:  bfplem1  37823