Theorem geoisum1c 15321

Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisum1c	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10666	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subcl 10956	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
5	3, 2, 4	sylancr 590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
6		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
7		1re 10712	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	7	ltnri 10820	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 1
9		abs1 14740	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
10		fveq2 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 𝑅 → (abs‘1) = (abs‘𝑅))
11	9, 10	eqtr3id 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = 𝑅 → 1 = (abs‘𝑅))
12	11	breq1d 5037	. . . . . . 7 ⊢ (1 = 𝑅 → (1 < 1 ↔ (abs‘𝑅) < 1))
13	8, 12	mtbii 329	. . . . . 6 ⊢ (1 = 𝑅 → ¬ (abs‘𝑅) < 1)
14	13	necon2ai 2963	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑅) < 1 → 1 ≠ 𝑅)
15	6, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ≠ 𝑅)
16		subeq0 10983	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑅) = 0 ↔ 1 = 𝑅))
17	16	necon3bid 2978	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑅) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑅))
18	3, 2, 17	sylancr 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((1 − 𝑅) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑅))
19	15, 18	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ≠ 0)
20	1, 2, 5, 19	divassd 11522	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
21		geoisum1 15320	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
22	21	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
23	22	oveq2d 7180	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
24		nnuz 12356	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25		1zzd 12087	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
26		oveq2 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑅↑𝑛) = (𝑅↑𝑘))
27		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))
28		ovex 7197	. . . . 5 ⊢ (𝑅↑𝑘) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6769	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
30	29	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
31		nnnn0 11976	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
32		expcl 13532	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
33	2, 31, 32	syl2an 599	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
34		1nn0 11985	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
36		elnnuz 12357	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
37	36, 30	sylan2br 598	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
38	2, 6, 35, 37	geolim2 15312	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
39		seqex 13455	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ V
40		ovex 7197	. . . . 5 ⊢ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ V
41	39, 40	breldm 5745	. . . 4 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
42	38, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
43	24, 25, 30, 33, 42, 1	isummulc2 15203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)))
44	20, 23, 43	3eqtr2rd 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934   class class class wbr 5027   ↦ cmpt 5107  dom cdm 5519  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613   < clt 10746   − cmin 10941   / cdiv 11368  ℕcn 11709  ℕ₀cn0 11969  ℤ_≥cuz 12317  seqcseq 13453  ↑cexp 13514  abscabs 14676   ⇝ cli 14924  Σcsu 15128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129

This theorem is referenced by:  0.999...  15322