MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisum1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoisum1c 15913
Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1c ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp2 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 11211 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 subcl 11505 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
53, 2, 4sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
6 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
7 1re 11259 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
87ltnri 11368 . . . . . . 7 ¬ 1 < 1
9 abs1 15333 . . . . . . . . 9 (abs‘1) = 1
10 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (1 = 𝑅 → (abs‘1) = (abs‘𝑅))
119, 10eqtr3id 2789 . . . . . . . 8 (1 = 𝑅 → 1 = (abs‘𝑅))
1211breq1d 5158 . . . . . . 7 (1 = 𝑅 → (1 < 1 ↔ (abs‘𝑅) < 1))
138, 12mtbii 326 . . . . . 6 (1 = 𝑅 → ¬ (abs‘𝑅) < 1)
1413necon2ai 2968 . . . . 5 ((abs‘𝑅) < 1 → 1 ≠ 𝑅)
156, 14syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ≠ 𝑅)
16 subeq0 11533 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑅) = 0 ↔ 1 = 𝑅))
1716necon3bid 2983 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑅) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑅))
183, 2, 17sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((1 − 𝑅) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑅))
1915, 18mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ≠ 0)
201, 2, 5, 19divassd 12076 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
21 geoisum1 15912 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
22213adant1 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
2322oveq2d 7447 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
24 nnuz 12919 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
25 1zzd 12646 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
26 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑅𝑛) = (𝑅𝑘))
27 eqid 2735 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))
28 ovex 7464 . . . . 5 (𝑅𝑘) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 7016 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
3029adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
31 nnnn0 12531 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
32 expcl 14117 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
332, 31, 32syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
34 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3534a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
36 elnnuz 12920 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3736, 30sylan2br 595 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
382, 6, 35, 37geolim2 15904 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
39 seqex 14041 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ V
40 ovex 7464 . . . . 5 ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ V
4139, 40breldm 5922 . . . 4 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ dom ⇝ )
4238, 41syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ dom ⇝ )
4324, 25, 30, 33, 42, 1isummulc2 15795 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)))
4420, 23, 433eqtr2rd 2782 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cuz 12876  seqcseq 14039  cexp 14099  abscabs 15270  cli 15517  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  0.999...  15914
  Copyright terms: Public domain W3C validator