Theorem geoisum1c 15221

Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisum1c	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10581	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subcl 10871	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
5	3, 2, 4	sylancr 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
6		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
7		1re 10627	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	7	ltnri 10735	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 1
9		abs1 14642	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
10		fveq2 6656	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 𝑅 → (abs‘1) = (abs‘𝑅))
11	9, 10	syl5eqr 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = 𝑅 → 1 = (abs‘𝑅))
12	11	breq1d 5062	. . . . . . 7 ⊢ (1 = 𝑅 → (1 < 1 ↔ (abs‘𝑅) < 1))
13	8, 12	mtbii 328	. . . . . 6 ⊢ (1 = 𝑅 → ¬ (abs‘𝑅) < 1)
14	13	necon2ai 3045	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑅) < 1 → 1 ≠ 𝑅)
15	6, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ≠ 𝑅)
16		subeq0 10898	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑅) = 0 ↔ 1 = 𝑅))
17	16	necon3bid 3060	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑅) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑅))
18	3, 2, 17	sylancr 589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((1 − 𝑅) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑅))
19	15, 18	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ≠ 0)
20	1, 2, 5, 19	divassd 11437	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
21		geoisum1 15220	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
22	21	3adant1 1126	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
23	22	oveq2d 7158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
24		nnuz 12268	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25		1zzd 12000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
26		oveq2 7150	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑅↑𝑛) = (𝑅↑𝑘))
27		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))
28		ovex 7175	. . . . 5 ⊢ (𝑅↑𝑘) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6754	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
30	29	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
31		nnnn0 11891	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
32		expcl 13437	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
33	2, 31, 32	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
34		1nn0 11900	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
36		elnnuz 12269	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
37	36, 30	sylan2br 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
38	2, 6, 35, 37	geolim2 15212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
39		seqex 13361	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ V
40		ovex 7175	. . . . 5 ⊢ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ V
41	39, 40	breldm 5763	. . . 4 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
42	38, 41	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
43	24, 25, 30, 33, 42, 1	isummulc2 15102	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)))
44	20, 23, 43	3eqtr2rd 2863	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  dom cdm 5541  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ℂcc 10521  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528   < clt 10661   − cmin 10856   / cdiv 11283  ℕcn 11624  ℕ₀cn0 11884  ℤ_≥cuz 12230  seqcseq 13359  ↑cexp 13419  abscabs 14578   ⇝ cli 14826  Σcsu 15027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-clim 14830  df-rlim 14831  df-sum 15028

This theorem is referenced by:  0.999...  15222