Theorem geoisum1c 15969

Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisum1c	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11183	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		subcl 11481	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
5	3, 2, 4	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
6		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
7		1re 11233	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8	7	ltnri 11344	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 < 1
9		abs1 15384	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
10		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 𝑅 → (abs‘1) = (abs‘𝑅))
11	9, 10	eqtr3id 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (1 = 𝑅 → 1 = (abs‘𝑅))
12	11	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (1 = 𝑅 → (1 < 1 ↔ (abs‘𝑅) < 1))
13	8, 12	mtbii 329	. . . . . 6 ⊢ (1 = 𝑅 → ¬ (abs‘𝑅) < 1)
14	13	necon2ai 2986	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑅) < 1 → 1 ≠ 𝑅)
15	6, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ≠ 𝑅)
16		subeq0 11509	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑅) = 0 ↔ 1 = 𝑅))
17	16	necon3bid 3001	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑅) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑅))
18	3, 2, 17	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((1 − 𝑅) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 𝑅))
19	15, 18	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ≠ 0)
20	1, 2, 5, 19	divassd 12051	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
21		geoisum1 15968	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
22	21	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
23	22	oveq2d 7432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
24		nnuz 12927	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25		1zzd 12650	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
26		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑅↑𝑛) = (𝑅↑𝑘))
27		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))
28		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑅↑𝑘) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
30	29	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
31		nnnn0 12536	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
32		expcl 14143	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
33	2, 31, 32	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
34		1nn0 12545	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
36		elnnuz 12928	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
37	36, 30	sylan2br 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
38	2, 6, 35, 37	geolim2 15960	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
39		seqex 14067	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ V
40		ovex 7449	. . . . 5 ⊢ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ V
41	39, 40	breldm 5896	. . . 4 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
42	38, 41	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
43	24, 25, 30, 33, 42, 1	isummulc2 15848	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)))
44	20, 23, 43	3eqtr2rd 2804	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11123  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130   < clt 11268   − cmin 11466   / cdiv 11896  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ℤ_≥cuz 12888  seqcseq 14065  ↑cexp 14125  abscabs 15321   ⇝ cli 15571  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774

This theorem is used by:  0.999...  15970