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Theorem abelthlem9 24485
Description: Lemma for abelth 24486. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
Assertion
Ref Expression
abelthlem9 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem9
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2 0nn0 11555 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
4 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
51, 3, 4syl2an 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
6 nn0uz 11922 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
7 0zd 11636 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8 eqidd 2766 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑚))
91ffvelrnda 6549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
10 abelth.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
116, 7, 8, 9, 10isumcl 14777 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
1211adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
135, 12subcld 10646 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ ℂ)
141ffvelrnda 6549 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1513, 14ifcld 4288 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
1615fmpttd 6575 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
172a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
1816ffvelrnda 6549 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
19 1e0p1 11783 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
20 1z 11654 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
2119, 20eqeltrri 2841 . . . . . . . . 9 (0 + 1) ∈ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
23 nnuz 11923 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
2419fveq2i 6378 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
2523, 24eqtri 2787 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
2625eleq2i 2836 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℕ ↔ 𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
27 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
2827adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29 eqeq1 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑖 = 0))
30 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑖))
3129, 30ifbieq2d 4268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
32 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))
33 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ V
34 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑖) ∈ V
3533, 34ifex 4291 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) ∈ V
3631, 32, 35fvmpt 6471 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
3728, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
38 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ≠ 0)
3938adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ≠ 0)
4039neneqd 2942 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ¬ 𝑖 = 0)
4140iffalsed 4254 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
4237, 41eqtrd 2799 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = (𝐴𝑖))
4326, 42sylan2br 588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = (𝐴𝑖))
4422, 43seqfeq 13033 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , 𝐴))
456, 7, 8, 9, 10isumclim2 14774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
466, 17, 14, 45clim2ser 14670 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)))
47 0z 11635 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
48 seq1 13021 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0)
5049oveq2i 6853 . . . . . . . 8 𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0))
5146, 50syl6breq 4850 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)))
5244, 51eqbrtrd 4831 . . . . . 6 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)))
536, 17, 18, 52clim2ser2 14671 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0)))
54 seq1 13021 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘0))
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘0)
56 iftrue 4249 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
5756, 32, 33fvmpt 6471 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
582, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
5955, 58eqtri 2787 . . . . . . 7 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
6059oveq2i 6853 . . . . . 6 ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0)) = ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
611, 2, 4sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
62 npncan2 10562 . . . . . . 7 ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℂ) → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))) = 0)
6311, 61, 62syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))) = 0)
6460, 63syl5eq 2811 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘))))‘0)) = 0)
6553, 64breqtrd 4835 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ 0)
66 seqex 13010 . . . . 5 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ∈ V
67 c0ex 10287 . . . . 5 0 ∈ V
6866, 67breldm 5497 . . . 4 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ 0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
6965, 68syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
70 abelth.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
71 abelth.4 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
72 abelth.5 . . 3 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
73 eqid 2765 . . 3 (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖))) = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))
7416, 69, 70, 71, 72, 73, 65abelthlem8 24484 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅))
751, 10, 70, 71, 72abelthlem2 24477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
7675simpld 488 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
7776adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 1 ∈ 𝑆)
7836adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
79 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑖) = (1↑𝑖))
80 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ)
81 1exp 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℕ0 → (1↑𝑖) = 1)
8379, 82sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑖) = 1)
8478, 83oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
8584sumeq2dv 14718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
86 sumex 14703 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1) ∈ V
8785, 73, 86fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ 𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
8877, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
89 0zd 11636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℤ)
9036adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
9161, 11subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ ℂ)
9291ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ ℂ)
931ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
9493adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
9592, 94ifcld 4288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) ∈ ℂ)
9695mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)))
9790, 96eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1))
9896, 95eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1) ∈ ℂ)
99 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑛) = (1↑𝑛))
100 nn0z 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
101 1exp 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
10399, 102sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑛) = 1)
104103oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑛) · 1))
105104sumeq2dv 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1))
106 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
107106oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) · 1) = ((𝐴𝑚) · 1))
108107cbvsumv 14711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1)
109105, 108syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1))
110 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
111 sumex 14703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1) ∈ V
112109, 110, 111fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ 𝑆 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1))
11376, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1))
1149mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑚) · 1) = (𝐴𝑚))
115114sumeq2dv 14718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑚) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
116113, 115eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))
117116oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
11811subidd 10634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) = 0)
119117, 118eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) = 0)
12065, 119breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
121120adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
1226, 89, 97, 98, 121isumclim 14773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · 1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
12388, 122eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
124 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑖) = (𝑦𝑖))
12536, 124oveqan12rd 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑦𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
126125sumeq2dv 14718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
127 sumex 14703 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) ∈ V
128126, 73, 127fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑆 → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
129128adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
130 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦𝑘) = (𝑦𝑖))
13131, 130oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
132 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))
133 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) ∈ V
134131, 132, 133fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
135134adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
136 ssrab2 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ℂ
13772, 136eqsstri 3795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 ⊆ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
139138sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
140 expcl 13085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
141139, 140sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
14295, 141mulcld 10314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
1432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → 0 ∈ ℕ0)
14415adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
145 expcl 13085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
146139, 145sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
147144, 146mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
148147fmpttd 6575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
149148ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
15041oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
15128, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)))
15230, 130oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
153 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))
154 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ V
155152, 153, 154fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
15628, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
157150, 151, 1563eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖))
15826, 157sylan2br 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖))
15922, 158seqfeq 13033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))))
160159adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))))
16114adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
162161, 146mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
163162fmpttd 6575 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
164163ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
165155adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
16694, 141mulcld 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
1671, 10, 70, 71, 72abelthlem3 24478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
1686, 89, 165, 166, 167isumclim2 14774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ⇝ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
169 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑖))
170 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑖))
171169, 170oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
172171cbvsumv 14711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖))
173124oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
174173sumeq2sdv 14720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
175172, 174syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
176 sumex 14703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ V
177175, 110, 176fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑆 → (𝐹𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
178177adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
179168, 178breqtrrd 4837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ⇝ (𝐹𝑦))
1806, 143, 164, 179clim2ser 14670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ⇝ ((𝐹𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0)))
181 seq1 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘0))
18247, 181ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘0)
183 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → (𝐴𝑘) = (𝐴‘0))
184 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → (𝑦𝑘) = (𝑦↑0))
185183, 184oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 0 → ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
186 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) ∈ V
187185, 153, 186fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
1882, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
189182, 188eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
190139exp0d 13209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦↑0) = 1)
191190oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) · 1))
19261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
193192mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
194191, 193eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = (𝐴‘0))
195189, 194syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0) = (𝐴‘0))
196195oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐹𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘))))‘0)) = ((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)))
197180, 196breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑦𝑘)))) ⇝ ((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)))
198160, 197eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ⇝ ((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)))
1996, 143, 149, 198clim2ser2 14671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ⇝ (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0)))
200 seq1 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘0))
20147, 200ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘0)
20256, 184oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)))
203 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)) ∈ V
204202, 132, 203fvmpt 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)))
2052, 204ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0))
206201, 205eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0))
207190oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · 1))
20811adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚) ∈ ℂ)
209192, 208subcld 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) ∈ ℂ)
210209mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · 1) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
211207, 210eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
212206, 211syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
213212oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0)) = (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))))
2141, 10, 70, 71, 72, 110abelthlem4 24479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
215214ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
216215, 192, 208npncand 10670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))) = ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
217213, 216eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐹𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘))))‘0)) = ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
218199, 217breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)) · (𝑦𝑘)))) ⇝ ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
2196, 89, 135, 142, 218isumclim 14773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑖)) · (𝑦𝑖)) = ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
220129, 219eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦) = ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)))
221123, 220oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦)) = (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) − ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))))
222214adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
223222, 77ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
224223, 215, 208nnncan2d 10681 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)) − ((𝐹𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚))) = ((𝐹‘1) − (𝐹𝑦)))
225221, 224eqtrd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑆) → (((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦)) = ((𝐹‘1) − (𝐹𝑦)))
226225fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑆) → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))))
227226breq1d 4819 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → ((abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅 ↔ (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
228227imbi2d 331 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)))
229228ralbidva 3132 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)))
230229rexbidv 3199 . . 3 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)))
231230adantr 472 . 2 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘1) − ((𝑥𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴𝑚)), (𝐴𝑘)))‘𝑖) · (𝑥𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅)))
23274, 231mpbid 223 1 ((𝜑𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑦𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹𝑦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cdif 3729  wss 3732  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  ccom 5281  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14259  cli 14500  Σcsu 14701  ballcbl 20006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014
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