MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem9 26185
Description: Lemma for abelth 26186. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
abelth.6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
Assertion
Ref Expression
abelthlem9 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑛,π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑀,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem9
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abelth.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
2 0nn0 12492 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
32a1i 11 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ β„•0)
4 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
51, 3, 4syl2an 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
6 nn0uz 12869 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
7 0zd 12575 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
8 eqidd 2732 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘š) = (π΄β€˜π‘š))
91ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
10 abelth.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
116, 7, 8, 9, 10isumcl 15712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
135, 12subcld 11576 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) ∈ β„‚)
141ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1513, 14ifcld 4575 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
1615fmpttd 7117 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜))):β„•0βŸΆβ„‚)
172a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
1816ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
19 1e0p1 12724 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
20 1z 12597 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
2119, 20eqeltrri 2829 . . . . . . . . 9 (0 + 1) ∈ β„€
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 + 1) ∈ β„€)
23 nnuz 12870 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2419fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
2523, 24eqtri 2759 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
2625eleq2i 2824 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ β„• ↔ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
27 nnnn0 12484 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ β„• β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
29 eqeq1 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘˜ = 0 ↔ 𝑖 = 0))
30 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘–))
3129, 30ifbieq2d 4555 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑖 β†’ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) = if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)))
32 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))
33 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . 13 ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) ∈ V
34 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (π΄β€˜π‘–) ∈ V
3533, 34ifex 4579 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) ∈ V
3631, 32, 35fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) = if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)))
3728, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) = if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)))
38 nnne0 12251 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ β„• β†’ 𝑖 β‰  0)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 β‰  0)
4039neneqd 2944 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
4140iffalsed 4540 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) = (π΄β€˜π‘–))
4237, 41eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘–))
4326, 42sylan2br 594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) = (π΄β€˜π‘–))
4422, 43seqfeq 13998 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) = seq(0 + 1)( + , 𝐴))
456, 7, 8, 9, 10isumclim2 15709 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ⇝ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))
466, 17, 14, 45clim2ser 15606 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐴)β€˜0)))
47 0z 12574 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„€
48 seq1 13984 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0( + , 𝐴)β€˜0) = (π΄β€˜0))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (seq0( + , 𝐴)β€˜0) = (π΄β€˜0)
5049oveq2i 7423 . . . . . . . 8 (Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐴)β€˜0)) = (Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0))
5146, 50breqtrdi 5190 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0)))
5244, 51eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ⇝ (Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0)))
536, 17, 18, 52clim2ser2 15607 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ⇝ ((Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0)) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜))))β€˜0)))
54 seq1 13984 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜0))
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . 8 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜0)
56 iftrue 4535 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 0 β†’ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
5756, 32, 33fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜0) = ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
582, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜0) = ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))
5955, 58eqtri 2759 . . . . . . 7 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜))))β€˜0) = ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))
6059oveq2i 7423 . . . . . 6 ((Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0)) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜))))β€˜0)) = ((Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0)) + ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
611, 2, 4sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
62 npncan2 11492 . . . . . . 7 ((Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (π΄β€˜0) ∈ β„‚) β†’ ((Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0)) + ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))) = 0)
6311, 61, 62syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0)) + ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))) = 0)
6460, 63eqtrid 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ (π΄β€˜0)) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜))))β€˜0)) = 0)
6553, 64breqtrd 5175 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ⇝ 0)
66 seqex 13973 . . . . 5 seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ∈ V
67 c0ex 11213 . . . . 5 0 ∈ V
6866, 67breldm 5909 . . . 4 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ⇝ 0 β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
6965, 68syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
70 abelth.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
71 abelth.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
72 abelth.5 . . 3 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
73 eqid 2731 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖))) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))
7416, 69, 70, 71, 72, 73, 65abelthlem8 26184 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦))) < 𝑅))
751, 10, 70, 71, 72abelthlem2 26177 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 βˆ– {1}) βŠ† (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))1)))
7675simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝑆)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 1 ∈ 𝑆)
7836adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) = if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)))
79 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯↑𝑖) = (1↑𝑖))
80 nn0z 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ 𝑖 ∈ β„€)
81 1exp 14062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑖) = 1)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ (1↑𝑖) = 1)
8379, 82sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑖) = 1)
8478, 83oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1))
8584sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 1 β†’ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1))
86 sumex 15639 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1) ∈ V
8785, 73, 86fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) = Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1))
8877, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) = Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1))
89 0zd 12575 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
9036adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) = if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)))
9161, 11subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) ∈ β„‚)
9291ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) ∈ β„‚)
931ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ β„‚)
9493adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘–) ∈ β„‚)
9592, 94ifcld 4575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) ∈ β„‚)
9695mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1) = if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)))
9790, 96eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) = (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1))
9896, 95eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1) ∈ β„‚)
99 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯↑𝑛) = (1↑𝑛))
100 nn0z 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„€)
101 1exp 14062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑛) = 1)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (1↑𝑛) = 1)
10399, 102sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑛) = 1)
104103oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
105104sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 1 β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· 1))
106 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = π‘š β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘š))
107106oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) = ((π΄β€˜π‘š) Β· 1))
108107cbvsumv 15647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· 1) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘š) Β· 1)
109105, 108eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 1 β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘š) Β· 1))
110 abelth.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
111 sumex 15639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘š) Β· 1) ∈ V
112109, 110, 111fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜1) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘š) Β· 1))
11376, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘š) Β· 1))
1149mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘š) Β· 1) = (π΄β€˜π‘š))
115114sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘š) Β· 1) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))
116113, 115eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) = Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))
117116oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) = (Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
11811subidd 11564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) = 0)
119117, 118eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) = 0)
12065, 119breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ⇝ ((πΉβ€˜1) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))) ⇝ ((πΉβ€˜1) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
1226, 89, 97, 98, 121isumclim 15708 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· 1) = ((πΉβ€˜1) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
12388, 122eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) = ((πΉβ€˜1) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
124 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
12536, 124oveqan12rd 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = 𝑦 ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)))
126125sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)))
127 sumex 15639 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)) ∈ V
128126, 73, 127fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦) = Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)))
129128adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦) = Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)))
130 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) = (𝑦↑𝑖))
13131, 130oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)))
132 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
133 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)) ∈ V
134131, 132, 133fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)))
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)))
13672ssrab3 4081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 βŠ† β„‚
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
138137sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
139 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑𝑖) ∈ β„‚)
140138, 139sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝑦↑𝑖) ∈ β„‚)
14195, 140mulcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)) ∈ β„‚)
1422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„•0)
14315adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
144 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
145138, 144sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
146143, 145mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
147146fmpttd 7117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))):β„•0βŸΆβ„‚)
148147ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
14941oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)) = ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
15028, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)))
15130, 130oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
152 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))
153 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)) ∈ V
154151, 152, 153fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
15528, 154syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
156149, 150, 1553eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–))
15726, 156sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–))
15822, 157seqfeq 13998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) = seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))))
159158adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) = seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))))
16014adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
161160, 145mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
162161fmpttd 7117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))):β„•0βŸΆβ„‚)
163162ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
164154adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜π‘–) = ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
16594, 140mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)) ∈ β„‚)
1661, 10, 70, 71, 72abelthlem3 26178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
1676, 89, 164, 165, 166isumclim2 15709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ⇝ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
168 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘–))
169 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π‘₯↑𝑛) = (π‘₯↑𝑖))
170168, 169oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑖 β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))
171170cbvsumv 15647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖))
172124oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π΄β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)) = ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
173172sumeq2sdv 15655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ Σ𝑖 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
174171, 173eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
175 sumex 15639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ𝑖 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)) ∈ V
176174, 110, 175fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = Σ𝑖 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
177176adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = Σ𝑖 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘–) Β· (𝑦↑𝑖)))
178167, 177breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
1796, 142, 163, 178clim2ser 15606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ⇝ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0)))
180 seq1 13984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜0))
18147, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜0)
182 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = 0 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜0))
183 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘¦β†‘π‘˜) = (𝑦↑0))
184182, 183oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 0 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜0) Β· (𝑦↑0)))
185 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π΄β€˜0) Β· (𝑦↑0)) ∈ V
186184, 152, 185fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜0) = ((π΄β€˜0) Β· (𝑦↑0)))
1872, 186ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜0) = ((π΄β€˜0) Β· (𝑦↑0))
188181, 187eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0) = ((π΄β€˜0) Β· (𝑦↑0))
189138exp0d 14110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑦↑0) = 1)
190189oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π΄β€˜0) Β· (𝑦↑0)) = ((π΄β€˜0) Β· 1))
19161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π΄β€˜0) ∈ β„‚)
192191mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π΄β€˜0) Β· 1) = (π΄β€˜0))
193190, 192eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π΄β€˜0) Β· (𝑦↑0)) = (π΄β€˜0))
194188, 193eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0) = (π΄β€˜0))
195194oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0)) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π΄β€˜0)))
196179, 195breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ⇝ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π΄β€˜0)))
197159, 196eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ⇝ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π΄β€˜0)))
1986, 142, 148, 197clim2ser2 15607 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ⇝ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π΄β€˜0)) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0)))
199 seq1 13984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜0))
20047, 199ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜0)
20156, 183oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 0 β†’ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)) = (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑦↑0)))
202 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑦↑0)) ∈ V
203201, 132, 202fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜0) = (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑦↑0)))
2042, 203ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))β€˜0) = (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑦↑0))
205200, 204eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0) = (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑦↑0))
206189oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑦↑0)) = (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· 1))
20711adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š) ∈ β„‚)
208191, 207subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) ∈ β„‚)
209208mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· 1) = ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
210206, 209eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) Β· (𝑦↑0)) = ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
211205, 210eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0) = ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
212211oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π΄β€˜0)) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0)) = (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π΄β€˜0)) + ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))))
2131, 10, 70, 71, 72, 110abelthlem4 26179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
214213ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
215214, 191, 207npncand 11600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π΄β€˜0)) + ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
216212, 215eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (π΄β€˜0)) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜))))β€˜0)) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
217198, 216breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘¦β†‘π‘˜)))) ⇝ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
2186, 89, 135, 141, 217isumclim 15708 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑖 ∈ β„•0 (if(𝑖 = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘–)) Β· (𝑦↑𝑖)) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
219129, 218eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)))
220123, 219oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦)) = (((πΉβ€˜1) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))))
221213adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
222221, 77ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ β„‚)
223222, 214, 207nnncan2d 11611 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((πΉβ€˜1) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š))) = ((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)))
224220, 223eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦)))
225224fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦))) = (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))))
226225breq1d 5159 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦))) < 𝑅 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
227226imbi2d 339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦))) < 𝑅) ↔ ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅)))
228227ralbidva 3174 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦))) < 𝑅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅)))
229228rexbidv 3177 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦))) < 𝑅) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅)))
230229adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜1) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if(π‘˜ = 0, ((π΄β€˜0) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ β„•0 (π΄β€˜π‘š)), (π΄β€˜π‘˜)))β€˜π‘–) Β· (π‘₯↑𝑖)))β€˜π‘¦))) < 𝑅) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅)))
23174, 230mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ((absβ€˜(1 βˆ’ 𝑦)) < 𝑀 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜1) βˆ’ (πΉβ€˜π‘¦))) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   ⇝ cli 15433  Ξ£csu 15637  ballcbl 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140
This theorem is referenced by:  abelth  26186
  Copyright terms: Public domain W3C validator