Theorem abelthlem9 26773

Description: Lemma for abelth 26774. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥, 𝑧, 𝑛)

Proof of Theorem abelthlem9

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		0nn0 12625	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
4		ffvelcdm 7082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
6		nn0uz 13007	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7		0zd 12709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
9	1	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
10		abelth.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
11	6, 7, 8, 9, 10	isumcl 15933	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
13	5, 12	subcld 11673	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	1	ffvelcdmda 7085	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13, 14	ifcld 4528	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
16	15	fmpttd 7116	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
17	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
18	16	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
19		1e0p1 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
20		1z 12730	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
21	19, 20	eqeltrri 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
23		nnuz 13008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	19	fveq2i 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
25	23, 24	eqtri 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
26	25	eleq2i 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↔ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
27		nnnn0 12617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑖 = 0))
30		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
31	29, 30	ifbieq2d 4508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
32		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))
33		ovex 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ V
34		fvex 6899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴‘𝑖) ∈ V
35	33, 34	ifex 4532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) ∈ V
36	31, 32, 35	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
37	28, 36	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
38		nnne0 12376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ≠ 0)
39	38	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ≠ 0)
40	39	neneqd 2960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ¬ 𝑖 = 0)
41	40	iffalsed 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
42	37, 41	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
43	26, 42	sylan2br 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
44	22, 43	seqfeq 14174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , 𝐴))
45	6, 7, 8, 9, 10	isumclim2 15930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
46	6, 17, 14, 45	clim2ser 15828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)))
47		0z 12708	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
48		seq1 14161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0)
50	49	oveq2i 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0))
51	46, 50	breqtrdi 5145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)))
52	44, 51	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)))
53	6, 17, 18, 52	clim2ser2 15829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)))
54		seq1 14161	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0))
55	47, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0)
56		iftrue 4487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
57	56, 32, 33	fvmpt 6994	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
59	55, 58	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
60	59	oveq2i 7432	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)) = ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
61	1, 2, 4	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
62		npncan2 11589	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℂ) → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = 0)
63	11, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = 0)
64	60, 63	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)) = 0)
65	53, 64	breqtrd 5130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ 0)
66		seqex 14150	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ V
67		c0ex 11304	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
68	66, 67	breldm 5889	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ 0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
69	65, 68	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
70		abelth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
71		abelth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
72		abelth.5	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
73		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
74	16, 69, 70, 71, 72, 73, 65	abelthlem8 26772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅))
75	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem2 26765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
76	75	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
77	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ 𝑆)
78	36	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
79		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑𝑖) = (1↑𝑖))
80		nn0z 12721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℤ)
81		1exp 14238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
82	80, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (1↑𝑖) = 1)
83	79, 82	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑖) = 1)
84	78, 83	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
85	84	sumeq2dv 15875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
86		sumex 15861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) ∈ V
87	85, 73, 86	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
88	77, 87	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
89		0zd 12709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
90	36	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
91	61, 11	subcld 11673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
92	91	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
93	1	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
94	93	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
95	92, 94	ifcld 4528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
96	95	mulridd 11330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
97	90, 96	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
98	96, 95	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) ∈ ℂ)
99		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑𝑛) = (1↑𝑛))
100		nn0z 12721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
101		1exp 14238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
102	100, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
103	99, 102	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) = 1)
104	103	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
105	104	sumeq2dv 15875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · 1))
106		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
107	106	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · 1) = ((𝐴‘𝑚) · 1))
108	107	cbvsumv 15869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1)
109	105, 108	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
110		abelth.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
111		sumex 15861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1) ∈ V
112	109, 110, 111	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ∈ 𝑆 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
113	76, 112	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
114	9	mulridd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑚) · 1) = (𝐴‘𝑚))
115	114	sumeq2dv 15875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
116	113, 115	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
117	116	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
118	11	subidd 11661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = 0)
119	117, 118	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = 0)
120	65, 119	breqtrrd 5132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
121	120	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
122	6, 89, 97, 98, 121	isumclim 15929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
123	88, 122	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
124		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
125	36, 124	oveqan12rd 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
126	125	sumeq2dv 15875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
127		sumex 15861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
128	126, 73, 127	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
129	128	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
130		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑦↑𝑘) = (𝑦↑𝑖))
131	31, 130	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
132		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))
133		ovex 7454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
134	131, 132, 133	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
135	134	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
136	72	ssrab3 4007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
138	137	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
139		expcl 14226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
140	138, 139	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
141	95, 140	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
142	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℕ0)
143	15	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
144		expcl 14226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
145	138, 144	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
146	143, 145	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
147	146	fmpttd 7116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
148	147	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
149	41	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
150	28, 134	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
151	30, 130	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
152		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))
153		ovex 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
154	151, 152, 153	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
155	28, 154	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
156	149, 150, 155	3eqtr4d 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖))
157	26, 156	sylan2br 607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖))
158	22, 157	seqfeq 14174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))))
159	158	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))))
160	14	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
161	160, 145	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
162	161	fmpttd 7116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
163	162	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
164	154	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
165	94, 140	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
166	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem3 26766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
167	6, 89, 164, 165, 166	isumclim2 15930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
168		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑖))
169		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑖))
170	168, 169	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
171	170	cbvsumv 15869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))
172	124	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
173	172	sumeq2sdv 15876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
174	171, 173	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
175		sumex 15861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
176	174, 110, 175	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
177	176	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
178	167, 177	breqtrrd 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ (𝐹‘𝑦))
179	6, 142, 163, 178	clim2ser 15828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0)))
180		seq1 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0))
181	47, 180	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0)
182		fveq2 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
183		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑦↑𝑘) = (𝑦↑0))
184	182, 183	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
185		ovex 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) ∈ V
186	184, 152, 185	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
187	2, 186	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
188	181, 187	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
189	138	exp0d 14287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦↑0) = 1)
190	189	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) · 1))
191	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
192	191	mulridd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
193	190, 192	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = (𝐴‘0))
194	188, 193	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = (𝐴‘0))
195	194	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
196	179, 195	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
197	159, 196	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
198	6, 142, 148, 197	clim2ser2 15829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)))
199		seq1 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0))
200	47, 199	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0)
201	56, 183	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)))
202		ovex 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) ∈ V
203	201, 132, 202	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)))
204	2, 203	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0))
205	200, 204	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0))
206	189	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · 1))
207	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
208	191, 207	subcld 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
209	208	mulridd 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · 1) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
210	206, 209	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
211	205, 210	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
212	211	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))))
213	1, 10, 70, 71, 72, 110	abelthlem4 26767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
214	213	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
215	214, 191, 207	npncand 11697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
216	212, 215	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
217	198, 216	breqtrd 5130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
218	6, 89, 135, 141, 217	isumclim 15929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
219	129, 218	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
220	123, 219	oveq12d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦)) = (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) − ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))))
221	213	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
222	221, 77	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
223	222, 214, 207	nnncan2d 11708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) − ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = ((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦)))
224	220, 223	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦)) = ((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦)))
225	224	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))))
226	225	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅 ↔ (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))
227	226	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
228	227	ralbidva 3183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
229	228	rexbidv 3186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
230	229	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
231	74, 230	mpbid 235	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ifcif 4481  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545  ℕcn 12339  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ℝ⁺crp 13124  seqcseq 14148  ↑cexp 14208  abscabs 15407   ⇝ cli 15657  Σcsu 15859  ballcbl 21671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-xadd 13246  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679

This theorem is used by:  abelth  26774