Theorem abelthlem9 25504

Description: Lemma for abelth 25505. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑅,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑦   𝑆,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem9

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2		0nn0 12178	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
4		ffvelrn 6941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
6		nn0uz 12549	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7		0zd 12261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
9	1	ffvelrnda 6943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
10		abelth.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
11	6, 7, 8, 9, 10	isumcl 15401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
13	5, 12	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	1	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13, 14	ifcld 4502	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
16	15	fmpttd 6971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
17	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
18	16	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
19		1e0p1 12408	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
20		1z 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
21	19, 20	eqeltrri 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
23		nnuz 12550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
24	19	fveq2i 6759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
25	23, 24	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
26	25	eleq2i 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↔ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
27		nnnn0 12170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
29		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑖 = 0))
30		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
31	29, 30	ifbieq2d 4482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
32		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))
33		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ V
34		fvex 6769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴‘𝑖) ∈ V
35	33, 34	ifex 4506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) ∈ V
36	31, 32, 35	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
37	28, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
38		nnne0 11937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ≠ 0)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ≠ 0)
40	39	neneqd 2947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ¬ 𝑖 = 0)
41	40	iffalsed 4467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
42	37, 41	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
43	26, 42	sylan2br 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
44	22, 43	seqfeq 13676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , 𝐴))
45	6, 7, 8, 9, 10	isumclim2 15398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
46	6, 17, 14, 45	clim2ser 15294	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)))
47		0z 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
48		seq1 13662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0)
50	49	oveq2i 7266	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0))
51	46, 50	breqtrdi 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)))
52	44, 51	eqbrtrd 5092	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)))
53	6, 17, 18, 52	clim2ser2 15295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)))
54		seq1 13662	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0))
55	47, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0)
56		iftrue 4462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
57	56, 32, 33	fvmpt 6857	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
59	55, 58	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
60	59	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)) = ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
61	1, 2, 4	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
62		npncan2 11178	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℂ) → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = 0)
63	11, 61, 62	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = 0)
64	60, 63	syl5eq 2791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)) = 0)
65	53, 64	breqtrd 5096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ 0)
66		seqex 13651	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ V
67		c0ex 10900	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
68	66, 67	breldm 5806	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ 0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
69	65, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
70		abelth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
71		abelth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
72		abelth.5	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
73		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
74	16, 69, 70, 71, 72, 73, 65	abelthlem8 25503	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅))
75	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem2 25496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
76	75	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ 𝑆)
78	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
79		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑𝑖) = (1↑𝑖))
80		nn0z 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℤ)
81		1exp 13740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (1↑𝑖) = 1)
83	79, 82	sylan9eq 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑖) = 1)
84	78, 83	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
85	84	sumeq2dv 15343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
86		sumex 15327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) ∈ V
87	85, 73, 86	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
88	77, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
89		0zd 12261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
90	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
91	61, 11	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
92	91	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
93	1	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
94	93	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
95	92, 94	ifcld 4502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
96	95	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
97	90, 96	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
98	96, 95	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) ∈ ℂ)
99		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑𝑛) = (1↑𝑛))
100		nn0z 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
101		1exp 13740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
103	99, 102	sylan9eq 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) = 1)
104	103	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
105	104	sumeq2dv 15343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · 1))
106		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
107	106	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · 1) = ((𝐴‘𝑚) · 1))
108	107	cbvsumv 15336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1)
109	105, 108	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
110		abelth.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
111		sumex 15327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1) ∈ V
112	109, 110, 111	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ∈ 𝑆 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
113	76, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1))
114	9	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑚) · 1) = (𝐴‘𝑚))
115	114	sumeq2dv 15343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑚) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
116	113, 115	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))
117	116	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
118	11	subidd 11250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = 0)
119	117, 118	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) = 0)
120	65, 119	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
122	6, 89, 97, 98, 121	isumclim 15397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
123	88, 122	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
124		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
125	36, 124	oveqan12rd 7275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
126	125	sumeq2dv 15343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
127		sumex 15327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
128	126, 73, 127	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
129	128	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
130		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑦↑𝑘) = (𝑦↑𝑖))
131	31, 130	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
132		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))
133		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
134	131, 132, 133	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
135	134	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
136	72	ssrab3 4011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
138	137	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
139		expcl 13728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
140	138, 139	sylan 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
141	95, 140	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
142	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℕ0)
143	15	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
144		expcl 13728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
145	138, 144	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
146	143, 145	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
147	146	fmpttd 6971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
148	147	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
149	41	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
150	28, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
151	30, 130	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
152		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))
153		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
154	151, 152, 153	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
155	28, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
156	149, 150, 155	3eqtr4d 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖))
157	26, 156	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖))
158	22, 157	seqfeq 13676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))))
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))))
160	14	adantlr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
161	160, 145	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
162	161	fmpttd 6971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))):ℕ0⟶ℂ)
163	162	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
164	154	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
165	94, 140	mulcld 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
166	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem3 25497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
167	6, 89, 164, 165, 166	isumclim2 15398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
168		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑖))
169		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑖))
170	168, 169	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
171	170	cbvsumv 15336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))
172	124	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
173	172	sumeq2sdv 15344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
174	171, 173	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
175		sumex 15327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
176	174, 110, 175	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
177	176	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
178	167, 177	breqtrrd 5098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ (𝐹‘𝑦))
179	6, 142, 163, 178	clim2ser 15294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0)))
180		seq1 13662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0))
181	47, 180	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0)
182		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
183		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑦↑𝑘) = (𝑦↑0))
184	182, 183	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
185		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) ∈ V
186	184, 152, 185	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
187	2, 186	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
188	181, 187	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
189	138	exp0d 13786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦↑0) = 1)
190	189	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) · 1))
191	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
192	191	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
193	190, 192	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = (𝐴‘0))
194	188, 193	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = (𝐴‘0))
195	194	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
196	179, 195	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
197	159, 196	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
198	6, 142, 148, 197	clim2ser2 15295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)))
199		seq1 13662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0))
200	47, 199	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0)
201	56, 183	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)))
202		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) ∈ V
203	201, 132, 202	fvmpt 6857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)))
204	2, 203	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0))
205	200, 204	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0))
206	189	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · 1))
207	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
208	191, 207	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
209	208	mulid1d 10923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · 1) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
210	206, 209	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
211	205, 210	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
212	211	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))))
213	1, 10, 70, 71, 72, 110	abelthlem4 25498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
214	213	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
215	214, 191, 207	npncand 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
216	212, 215	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
217	198, 216	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
218	6, 89, 135, 141, 217	isumclim 15397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
219	129, 218	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)))
220	123, 219	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦)) = (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) − ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))))
221	213	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
222	221, 77	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
223	222, 214, 207	nnncan2d 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)) − ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚))) = ((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦)))
224	220, 223	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦)) = ((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦)))
225	224	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))))
226	225	breq1d 5080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅 ↔ (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))
227	226	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
228	227	ralbidva 3119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
229	228	rexbidv 3225	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
230	229	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ0 (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
231	74, 230	mpbid 231	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  seqcseq 13649  ↑cexp 13710  abscabs 14873   ⇝ cli 15121  Σcsu 15325  ballcbl 20497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505

This theorem is referenced by:  abelth  25505