abelthlem9 - Metamath Proof Explorer

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Theorem abelthlem9 25944

Description: Lemma for abelth 25945. By adjusting the constant term, we can assume that the entire series converges to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

**Assertion**
Ref	Expression
abelthlem9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑤 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧,𝑀 𝑅,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧 𝐴,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧 𝜑,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦 𝑤,𝐹,𝑦 𝑆,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑧) 𝑆(𝑧) 𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem9 Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abelth.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ₀⟶ℂ)
2		0nn0 12484	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ → 0 ∈ ℕ₀)
4		ffvelcdm 7081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:ℕ₀⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
5	1, 3, 4	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
6		nn0uz 12861	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
7		0zd 12567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑚))
9	1	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
10		abelth.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
11	6, 7, 8, 9, 10	isumcl 15704	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
12	11	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
13	5, 12	subcld 11568	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
14	1	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
15	13, 14	ifcld 4574	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
16	15	fmpttd 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))):ℕ₀⟶ℂ)
17	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ₀)
18	16	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
19		1e0p1 12716	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
20		1z 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
21	19, 20	eqeltrri 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 1) ∈ ℤ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℤ)
23		nnuz 12862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
24	19	fveq2i 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘1) = (ℤ_≥‘(0 + 1))
25	23, 24	eqtri 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘(0 + 1))
26	25	eleq2i 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↔ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
27		nnnn0 12476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ₀)
28	27	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ₀)
29		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 0 ↔ 𝑖 = 0))
30		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑖))
31	29, 30	ifbieq2d 4554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
32		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))
33		ovex 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) ∈ V
34		fvex 6902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴‘𝑖) ∈ V
35	33, 34	ifex 4578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) ∈ V
36	31, 32, 35	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
37	28, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
38		nnne0 12243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ≠ 0)
39	38	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ≠ 0)
40	39	neneqd 2946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ¬ 𝑖 = 0)
41	40	iffalsed 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) = (𝐴‘𝑖))
42	37, 41	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
43	26, 42	sylan2br 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
44	22, 43	seqfeq 13990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , 𝐴))
45	6, 7, 8, 9, 10	isumclim2 15701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))
46	6, 17, 14, 45	clim2ser 15598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)))
47		0z 12566	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
48		seq1 13976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( + , 𝐴)‘0) = (𝐴‘0)
50	49	oveq2i 7417	. . . . . . . 8 ⊢ (Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (seq0( + , 𝐴)‘0)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0))
51	46, 50	breqtrdi 5189	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , 𝐴) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)))
52	44, 51	eqbrtrd 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ (Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)))
53	6, 17, 18, 52	clim2ser2 15599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)))
54		seq1 13976	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0))
55	47, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0)
56		iftrue 4534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
57	56, 32, 33	fvmpt 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))
59	55, 58	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))
60	59	oveq2i 7417	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)) = ((Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
61	1, 2, 4	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
62		npncan2 11484	. . . . . . 7 ⊢ ((Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝐴‘0) ∈ ℂ) → ((Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))) = 0)
63	11, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))) = 0)
64	60, 63	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘))))‘0)) = 0)
65	53, 64	breqtrd 5174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ 0)
66		seqex 13965	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ V
67		c0ex 11205	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
68	66, 67	breldm 5907	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ 0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
69	65, 68	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
70		abelth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
71		abelth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
72		abelth.5	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
73		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
74	16, 69, 70, 71, 72, 73, 65	abelthlem8 25943	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑤 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅))
75	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem2 25936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ 𝑆 ∧ (𝑆 ∖ {1}) ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)))
76	75	simpld 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
77	76	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 1 ∈ 𝑆)
78	36	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
79		oveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑𝑖) = (1↑𝑖))
80		nn0z 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → 𝑖 ∈ ℤ)
81		1exp 14054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1↑𝑖) = 1)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → (1↑𝑖) = 1)
83	79, 82	sylan9eq 2793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (𝑥↑𝑖) = 1)
84	78, 83	oveq12d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
85	84	sumeq2dv 15646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
86		sumex 15631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) ∈ V
87	85, 73, 86	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
88	77, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
89		0zd 12567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
90	36	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
91	61, 11	subcld 11568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
92	91	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
93	1	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
94	93	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑖) ∈ ℂ)
95	92, 94	ifcld 4574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) ∈ ℂ)
96	95	mulridd 11228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) = if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)))
97	90, 96	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1))
98	96, 95	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) ∈ ℂ)
99		oveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑𝑛) = (1↑𝑛))
100		nn0z 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → 𝑛 ∈ ℤ)
101		1exp 14054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ → (1↑𝑛) = 1)
103	99, 102	sylan9eq 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → (𝑥↑𝑛) = 1)
104	103	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑛) · 1))
105	104	sumeq2dv 15646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · 1))
106		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
107	106	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · 1) = ((𝐴‘𝑚) · 1))
108	107	cbvsumv 15639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑚) · 1)
109	105, 108	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑚 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑚) · 1))
110		abelth.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
111		sumex 15631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Σ𝑚 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑚) · 1) ∈ V
112	109, 110, 111	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 ∈ 𝑆 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑚) · 1))
113	76, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑚) · 1))
114	9	mulridd 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → ((𝐴‘𝑚) · 1) = (𝐴‘𝑚))
115	114	sumeq2dv 15646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑚) · 1) = Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))
116	113, 115	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))
117	116	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) = (Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
118	11	subidd 11556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) = 0)
119	117, 118	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) = 0)
120	65, 119	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
121	120	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
122	6, 89, 97, 98, 121	isumclim 15700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · 1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
123	88, 122	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) = ((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
124		oveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑𝑖) = (𝑦↑𝑖))
125	36, 124	oveqan12rd 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
126	125	sumeq2dv 15646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
127		sumex 15631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
128	126, 73, 127	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
129	128	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
130		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑦↑𝑘) = (𝑦↑𝑖))
131	31, 130	oveq12d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
132		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))
133		ovex 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
134	131, 132, 133	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
135	134	adantl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
136	72	ssrab3 4080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
138	137	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ ℂ)
139		expcl 14042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
140	138, 139	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (𝑦↑𝑖) ∈ ℂ)
141	95, 140	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
142	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℕ₀)
143	15	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℂ)
144		expcl 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
145	138, 144	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝑦↑𝑘) ∈ ℂ)
146	143, 145	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
147	146	fmpttd 7112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))):ℕ₀⟶ℂ)
148	147	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
149	41	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
150	28, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)))
151	30, 130	oveq12d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
152		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))
153		ovex 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
154	151, 152, 153	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
155	28, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
156	149, 150, 155	3eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖))
157	26, 156	sylan2br 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1))) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖))
158	22, 157	seqfeq 13990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))))
159	158	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) = seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))))
160	14	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℂ)
161	160, 145	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) ∈ ℂ)
162	161	fmpttd 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))):ℕ₀⟶ℂ)
163	162	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
164	154	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘𝑖) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
165	94, 140	mulcld 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀) → ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ ℂ)
166	1, 10, 70, 71, 72	abelthlem3 25937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
167	6, 89, 164, 165, 166	isumclim2 15701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
168		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑖))
169		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑖))
170	168, 169	oveq12d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))
171	170	cbvsumv 15639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖))
172	124	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
173	172	sumeq2sdv 15647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
174	171, 173	eqtrid 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑛 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
175		sumex 15631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)) ∈ V
176	174, 110, 175	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
177	176	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑦) = Σ𝑖 ∈ ℕ₀ ((𝐴‘𝑖) · (𝑦↑𝑖)))
178	167, 177	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ (𝐹‘𝑦))
179	6, 142, 163, 178	clim2ser 15598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0)))
180		seq1 13976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0))
181	47, 180	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0)
182		fveq2 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘0))
183		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑦↑𝑘) = (𝑦↑0))
184	182, 183	oveq12d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
185		ovex 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) ∈ V
186	184, 152, 185	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)))
187	2, 186	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
188	181, 187	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) · (𝑦↑0))
189	138	exp0d 14102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑦↑0) = 1)
190	189	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) · 1))
191	61	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
192	191	mulridd 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · 1) = (𝐴‘0))
193	190, 192	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) · (𝑦↑0)) = (𝐴‘0))
194	188, 193	eqtrid 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = (𝐴‘0))
195	194	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑦) − (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
196	179, 195	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
197	159, 196	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq(0 + 1)( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)))
198	6, 142, 148, 197	clim2ser2 15599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)))
199		seq1 13976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℤ → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0))
200	47, 199	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0)
201	56, 183	oveq12d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)))
202		ovex 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) ∈ V
203	201, 132, 202	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℕ₀ → ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)))
204	2, 203	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0))
205	200, 204	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0))
206	189	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) = (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · 1))
207	11	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚) ∈ ℂ)
208	191, 207	subcld 11568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) ∈ ℂ)
209	208	mulridd 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · 1) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
210	206, 209	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) · (𝑦↑0)) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
211	205, 210	eqtrid 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0) = ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
212	211	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))))
213	1, 10, 70, 71, 72, 110	abelthlem4 25938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
214	213	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
215	214, 191, 207	npncand 11592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
216	212, 215	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐴‘0)) + (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘))))‘0)) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
217	198, 216	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ (if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)) · (𝑦↑𝑘)))) ⇝ ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
218	6, 89, 135, 141, 217	isumclim 15700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (if(𝑖 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑖)) · (𝑦↑𝑖)) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
219	129, 218	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)))
220	123, 219	oveq12d 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦)) = (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) − ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))))
221	213	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
222	221, 77	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝐹‘1) ∈ ℂ)
223	222, 214, 207	nnncan2d 11603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝐹‘1) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)) − ((𝐹‘𝑦) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚))) = ((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦)))
224	220, 223	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦)) = ((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦)))
225	224	fveq2d 6893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) = (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))))
226	225	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅 ↔ (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))
227	226	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
228	227	ralbidva 3176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
229	228	rexbidv 3179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
230	229	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑤 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘1) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ₀ (((𝑘 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑘 = 0, ((𝐴‘0) − Σ𝑚 ∈ ℕ₀ (𝐴‘𝑚)), (𝐴‘𝑘)))‘𝑖) · (𝑥↑𝑖)))‘𝑦))) < 𝑅) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅)))
231	74, 230	mpbid 231	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑤 ∈ ℝ⁺ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ((abs‘(1 − 𝑦)) < 𝑤 → (abs‘((𝐹‘1) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑅))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ∀wral 3062 ∃wrex 3071 {crab 3433 ∖ cdif 3945 ⊆ wss 3948 ifcif 4528 {csn 4628 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 dom cdm 5676 ∘ ccom 5680 ⟶wf 6537 ‘cfv 6541 (class class class)co 7406 ℂcc 11105 ℝcr 11106 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 · cmul 11112 < clt 11245 ≤ cle 11246 − cmin 11441 ℕcn 12209 ℕ₀cn0 12469 ℤcz 12555 ℤ_≥cuz 12819 ℝ⁺crp 12971 seqcseq 13963 ↑cexp 14024 abscabs 15178 ⇝ cli 15425 Σcsu 15629 ballcbl 20924

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7722 ax-inf2 9633 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6298 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-isom 6550 df-riota 7362 df-ov 7409 df-oprab 7410 df-mpo 7411 df-om 7853 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8368 df-rdg 8407 df-1o 8463 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-sup 9434 df-inf 9435 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-n0 12470 df-z 12556 df-uz 12820 df-rp 12972 df-xadd 13090 df-ico 13327 df-icc 13328 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-fl 13754 df-seq 13964 df-exp 14025 df-hash 14288 df-shft 15011 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-limsup 15412 df-clim 15429 df-rlim 15430 df-sum 15630 df-psmet 20929 df-xmet 20930 df-met 20931 df-bl 20932

This theorem is referenced by: abelth 25945

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