MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayllem 26701
Description: Lemma for logtayl 26702. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logtayllem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem logtayllem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12920 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 12542 . . 3 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
4 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5 eqid 2737 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
6 ovex 7464 . . . . 5 ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7016 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
87adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9 abscl 15317 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11 reexpcl 14119 . . . 4 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 580 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
138, 12eqeltrd 2841 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
14 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑘 = 0))
15 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
1614, 15ifbieq2d 4552 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) = if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)))
17 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
1816, 17oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)))
19 eqid 2737 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))
20 ovex 7464 . . . . 5 (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 7016 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)))
2221adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)))
23 0cnd 11254 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
24 nn0cn 12536 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
2524adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
26 neqne 2948 . . . . . 6 𝑘 = 0 → 𝑘 ≠ 0)
27 reccl 11929 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2an 596 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
2923, 28ifclda 4561 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
30 expcl 14120 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3130adantlr 715 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3229, 31mulcld 11281 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
3322, 32eqeltrd 2841 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
3410recnd 11289 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
35 absidm 15362 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
3635adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
37 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
3836, 37eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) < 1)
3934, 38, 8geolim 15906 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))))
40 seqex 14044 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ V
41 ovex 7464 . . . 4 (1 / (1 − (abs‘𝐴))) ∈ V
4240, 41breldm 5919 . . 3 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
4339, 42syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
44 1red 11262 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
45 elnnuz 12922 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
46 nnrecre 12308 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
4746adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
4847recnd 11289 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
49 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
5049, 31sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5148, 50absmuld 15493 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴𝑘))))
52 nnrp 13046 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
5352adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
5453rpreccld 13087 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
5554rpge0d 13081 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
5647, 55absidd 15461 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
57 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
58 absexp 15343 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5957, 49, 58syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
6056, 59oveq12d 7449 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6151, 60eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
62 1red 11262 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6349, 12sylan2 593 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
6450absge0d 15483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
6564, 59breqtrd 5169 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
66 nnge1 12294 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
6766adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
68 0lt1 11785 . . . . . . . . . 10 0 < 1
6968a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 1)
70 nnre 12273 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
7170adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
72 nngt0 12297 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
7372adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
74 lerec 12151 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
7562, 69, 71, 73, 74syl22anc 839 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
7667, 75mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1))
77 1div1e1 11958 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
7876, 77breqtrdi 5184 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ 1)
7947, 62, 63, 65, 78lemul1ad 12207 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8061, 79eqbrtrd 5165 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘))) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8149, 22sylan2 593 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)))
82 nnne0 12300 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
8382adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
8483neneqd 2945 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 = 0)
8584iffalsed 4536 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
8685oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘)))
8781, 86eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘)))
8887fveq2d 6910 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘))))
8949, 8sylan2 593 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9089oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)) = (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
9180, 88, 903brtr4d 5175 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
9245, 91sylan2br 595 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
931, 3, 13, 33, 43, 44, 92cvgcmpce 15854 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cuz 12878  +crp 13034  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  logtayl  26702
  Copyright terms: Public domain W3C validator