Theorem logtayllem 26904

Description: Lemma for logtayl 26905. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logtayllem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem logtayllem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12929	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12548	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
4		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
6		ovex 7450	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9		abscl 15369	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		reexpcl 14146	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
13	8, 12	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
14		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑘 = 0))
15		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
16	14, 15	ifbieq2d 4512	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) = if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)))
17		oveq2 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
18	16, 17	oveq12d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))
20		ovex 7450	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
22	21	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
23		0cnd 11227	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
25	24	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
26		neqne 2965	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑘 = 0 → 𝑘 ≠ 0)
27		reccl 11907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
29	23, 28	ifclda 4521	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
30		expcl 14147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
31	30	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
32	29, 31	mulcld 11257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
33	22, 32	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
34	10	recnd 11265	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
35		absidm 15415	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
36	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
37		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
38	36, 37	eqbrtrd 5131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) < 1)
39	34, 38, 8	geolim 15963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))))
40		seqex 14071	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ V
41		ovex 7450	. . . 4 ⊢ (1 / (1 − (abs‘𝐴))) ∈ V
42	40, 41	breldm 5896	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
43	39, 42	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
44		1red 11237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
45		elnnuz 12931	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
46		nnrecre 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
47	46	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
49		nnnn0 12539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	49, 31	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
51	48, 50	absmuld 15548	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴↑𝑘))))
52		nnrp 13058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
54	53	rpreccld 13100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
55	54	rpge0d 13094	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
56	47, 55	absidd 15514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
57		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
58		absexp 15395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
59	57, 49, 58	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
60	56, 59	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴↑𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
61	51, 60	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
62		1red 11237	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
63	49, 12	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
64	50	absge0d 15538	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
65	64, 59	breqtrd 5135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
66		nnge1 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
67	66	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
68		0lt1 11764	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 1)
70		nnre 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
71	70	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
72		nngt0 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
73	72	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
74		lerec 12126	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
75	62, 69, 71, 73, 74	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
76	67, 75	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1))
77		1div1e1 11933	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
78	76, 77	breqtrdi 5150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ 1)
79	47, 62, 63, 65, 78	lemul1ad 12182	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
80	61, 79	eqbrtrd 5131	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
81	49, 22	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
82		nnne0 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
83	82	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
84	83	neneqd 2962	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 = 0)
85	84	iffalsed 4496	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
86	85	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) = ((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
87	81, 86	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
88	87	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
89	49, 8	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
90	89	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)) = (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
91	80, 88, 90	3brtr4d 5141	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
92	45, 91	sylan2br 607	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
93	1, 3, 13, 33, 43, 44, 92	cvgcmpce 15909	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469   / cdiv 11899  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ℤ_≥cuz 12891  ℝ⁺crp 13046  seqcseq 14069  ↑cexp 14129  abscabs 15325   ⇝ cli 15575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778

This theorem is used by:  logtayl  26905