MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayllem 24804
Description: Lemma for logtayl 24805. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logtayllem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem logtayllem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12004 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 11636 . . 3 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
4 oveq2 6913 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5 eqid 2825 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
6 ovex 6937 . . . . 5 ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6529 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
87adantl 475 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9 abscl 14395 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11 reexpcl 13171 . . . 4 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 577 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
138, 12eqeltrd 2906 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
14 eqeq1 2829 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑘 = 0))
15 oveq2 6913 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
1614, 15ifbieq2d 4331 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) = if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)))
17 oveq2 6913 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
1816, 17oveq12d 6923 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)))
19 eqid 2825 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))
20 ovex 6937 . . . . 5 (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6529 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)))
2221adantl 475 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)))
23 0cnd 10349 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
24 nn0cn 11629 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
2524adantl 475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
26 df-ne 3000 . . . . . . 7 (𝑘 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑘 = 0)
2726biimpri 220 . . . . . 6 𝑘 = 0 → 𝑘 ≠ 0)
28 reccl 11017 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
2925, 27, 28syl2an 591 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
3023, 29ifclda 4340 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
31 expcl 13172 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3231adantlr 708 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3330, 32mulcld 10377 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
3422, 33eqeltrd 2906 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
3510recnd 10385 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
36 absidm 14440 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
3736adantr 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
38 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
3937, 38eqbrtrd 4895 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) < 1)
4035, 39, 8geolim 14975 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))))
41 seqex 13097 . . . 4 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ V
42 ovex 6937 . . . 4 (1 / (1 − (abs‘𝐴))) ∈ V
4341, 42breldm 5561 . . 3 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
4440, 43syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
45 1red 10357 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
46 elnnuz 12006 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
47 nnrecre 11393 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
4847adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
4948recnd 10385 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
50 nnnn0 11626 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
5150, 32sylan2 588 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
5249, 51absmuld 14570 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴𝑘))))
53 nnrp 12125 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
5453adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
5554rpreccld 12166 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
5655rpge0d 12160 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
5748, 56absidd 14538 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
58 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
59 absexp 14421 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
6058, 50, 59syl2an 591 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
6157, 60oveq12d 6923 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
6252, 61eqtrd 2861 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
63 1red 10357 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6450, 12sylan2 588 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
6551absge0d 14560 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
6665, 60breqtrd 4899 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
67 nnge1 11380 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
6867adantl 475 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
69 0lt1 10874 . . . . . . . . . 10 0 < 1
7069a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 1)
71 nnre 11358 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
7271adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
73 nngt0 11383 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
7473adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
75 lerec 11236 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
7663, 70, 72, 74, 75syl22anc 874 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
7768, 76mpbid 224 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1))
78 1div1e1 11042 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
7977, 78syl6breq 4914 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ 1)
8048, 63, 64, 66, 79lemul1ad 11293 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8162, 80eqbrtrd 4895 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘))) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
8250, 22sylan2 588 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)))
83 nnne0 11386 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
8483adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
8584neneqd 3004 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 = 0)
8685iffalsed 4317 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
8786oveq1d 6920 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴𝑘)) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘)))
8882, 87eqtrd 2861 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘)))
8988fveq2d 6437 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴𝑘))))
9050, 8sylan2 588 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9190oveq2d 6921 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)) = (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
9281, 89, 913brtr4d 4905 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
9346, 92sylan2br 590 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
941, 3, 13, 34, 44, 45, 93cvgcmpce 14924 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  ifcif 4306   class class class wbr 4873  cmpt 4952  dom cdm 5342  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257   < clt 10391  cle 10392  cmin 10585   / cdiv 11009  cn 11350  0cn0 11618  cuz 11968  +crp 12112  seqcseq 13095  cexp 13154  abscabs 14351  cli 14592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-ico 12469  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794
This theorem is referenced by:  logtayl  24805
  Copyright terms: Public domain W3C validator