Theorem logtayllem 26861

Description: Lemma for logtayl 26862. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logtayllem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem logtayllem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12918	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12538	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
4		oveq2 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
6		ovex 7456	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6996	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
8	7	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9		abscl 15355	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		reexpcl 14134	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
13	8, 12	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
14		eqeq1 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑘 = 0))
15		oveq2 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
16	14, 15	ifbieq2d 4519	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) = if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)))
17		oveq2 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
18	16, 17	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
19		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))
20		ovex 7456	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6996	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
22	21	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
23		0cnd 11217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
25	24	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
26		neqne 2969	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑘 = 0 → 𝑘 ≠ 0)
27		reccl 11897	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
29	23, 28	ifclda 4528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
30		expcl 14135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
31	30	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
32	29, 31	mulcld 11247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
33	22, 32	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
34	10	recnd 11255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
35		absidm 15401	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
36	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
37		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
38	36, 37	eqbrtrd 5138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) < 1)
39	34, 38, 8	geolim 15950	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))))
40		seqex 14059	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ V
41		ovex 7456	. . . 4 ⊢ (1 / (1 − (abs‘𝐴))) ∈ V
42	40, 41	breldm 5903	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
43	39, 42	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
44		1red 11227	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
45		elnnuz 12920	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
46		nnrecre 12296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
47	46	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
49		nnnn0 12529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	49, 31	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
51	48, 50	absmuld 15534	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴↑𝑘))))
52		nnrp 13046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
54	53	rpreccld 13088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
55	54	rpge0d 13082	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
56	47, 55	absidd 15500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
57		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
58		absexp 15381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
59	57, 49, 58	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
60	56, 59	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴↑𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
61	51, 60	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
62		1red 11227	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
63	49, 12	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
64	50	absge0d 15524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
65	64, 59	breqtrd 5142	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
66		nnge1 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
67	66	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
68		0lt1 11754	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 1)
70		nnre 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
71	70	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
72		nngt0 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
73	72	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
74		lerec 12116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
75	62, 69, 71, 73, 74	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
76	67, 75	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1))
77		1div1e1 11923	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
78	76, 77	breqtrdi 5157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ 1)
79	47, 62, 63, 65, 78	lemul1ad 12172	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
80	61, 79	eqbrtrd 5138	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
81	49, 22	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
82		nnne0 12288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
83	82	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
84	83	neneqd 2966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 = 0)
85	84	iffalsed 4503	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
86	85	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) = ((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
87	81, 86	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
88	87	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
89	49, 8	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
90	89	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)) = (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
91	80, 88, 90	3brtr4d 5148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
92	45, 91	sylan2br 607	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
93	1, 3, 13, 33, 43, 44, 92	cvgcmpce 15896	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ifcif 4492   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  seqcseq 14057  ↑cexp 14117  abscabs 15311   ⇝ cli 15561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764

This theorem is used by:  logtayl  26862