Theorem logtayllem 26014

Description: Lemma for logtayl 26015. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logtayllem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem logtayllem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12805	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		1nn0 12429	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
4		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑛) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))
6		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6948	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
8	7	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
9		abscl 15163	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11		reexpcl 13984	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
13	8, 12	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
14		eqeq1 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑘 = 0))
15		oveq2 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
16	14, 15	ifbieq2d 4512	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) = if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)))
17		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
18	16, 17	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))
20		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ V
21	18, 19, 20	fvmpt 6948	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
22	21	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
23		0cnd 11148	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
24		nn0cn 12423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
25	24	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
26		neqne 2951	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑘 = 0 → 𝑘 ≠ 0)
27		reccl 11820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
29	23, 28	ifclda 4521	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
30		expcl 13985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
31	30	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
32	29, 31	mulcld 11175	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) ∈ ℂ)
33	22, 32	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
34	10	recnd 11183	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
35		absidm 15208	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
36	35	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
37		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
38	36, 37	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(abs‘𝐴)) < 1)
39	34, 38, 8	geolim 15755	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))))
40		seqex 13908	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ V
41		ovex 7390	. . . 4 ⊢ (1 / (1 − (abs‘𝐴))) ∈ V
42	40, 41	breldm 5864	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐴))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
43	39, 42	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
44		1red 11156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℝ)
45		elnnuz 12807	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
46		nnrecre 12195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
49		nnnn0 12420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
50	49, 31	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
51	48, 50	absmuld 15339	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴↑𝑘))))
52		nnrp 12926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
54	53	rpreccld 12967	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
55	54	rpge0d 12961	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑘))
56	47, 55	absidd 15307	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
57		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
58		absexp 15189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
59	57, 49, 58	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
60	56, 59	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(1 / 𝑘)) · (abs‘(𝐴↑𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
61	51, 60	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) = ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
62		1red 11156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
63	49, 12	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
64	50	absge0d 15329	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
65	64, 59	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
66		nnge1 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
67	66	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
68		0lt1 11677	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 1)
70		nnre 12160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
71	70	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
72		nngt0 12184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
73	72	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
74		lerec 12038	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
75	62, 69, 71, 73, 74	syl22anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1)))
76	67, 75	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ (1 / 1))
77		1div1e1 11845	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
78	76, 77	breqtrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ≤ 1)
79	47, 62, 63, 65, 78	lemul1ad 12094	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑘) · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
80	61, 79	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))) ≤ (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
81	49, 22	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)))
82		nnne0 12187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
83	82	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
84	83	neneqd 2948	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ 𝑘 = 0)
85	84	iffalsed 4497	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) = (1 / 𝑘))
86	85	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (if(𝑘 = 0, 0, (1 / 𝑘)) · (𝐴↑𝑘)) = ((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
87	81, 86	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘) = ((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘)))
88	87	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) = (abs‘((1 / 𝑘) · (𝐴↑𝑘))))
89	49, 8	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
90	89	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)) = (1 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
91	80, 88, 90	3brtr4d 5137	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
92	45, 91	sylan2br 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))‘𝑘)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐴)↑𝑛))‘𝑘)))
93	1, 3, 13, 33, 43, 44, 92	cvgcmpce 15703	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (if(𝑛 = 0, 0, (1 / 𝑛)) · (𝐴↑𝑛)))) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  abscabs 15119   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571

This theorem is referenced by:  logtayl  26015