MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayllem 26167
Description: Lemma for logtayl 26168. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logtayllem ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem logtayllem
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12864 . 2 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 1nn0 12488 . . 3 1 โˆˆ โ„•0
32a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
4 oveq2 7417 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
5 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))
6 ovex 7442 . . . . 5 ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6999 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
87adantl 483 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
9 abscl 15225 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
11 reexpcl 14044 . . . 4 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
1210, 11sylan 581 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
138, 12eqeltrd 2834 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
14 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› = 0 โ†” ๐‘˜ = 0))
15 oveq2 7417 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘˜))
1614, 15ifbieq2d 4555 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) = if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)))
17 oveq2 7417 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
1816, 17oveq12d 7427 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)) = (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
19 eqid 2733 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
20 ovex 7442 . . . . 5 (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ V
2118, 19, 20fvmpt 6999 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
2221adantl 483 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
23 0cnd 11207 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
24 nn0cn 12482 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
2524adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
26 neqne 2949 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
27 reccl 11879 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2825, 26, 27syl2an 597 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐‘˜ = 0) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2923, 28ifclda 4564 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
30 expcl 14045 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3130adantlr 714 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3229, 31mulcld 11234 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3322, 32eqeltrd 2834 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3410recnd 11242 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
35 absidm 15270 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐ด)) = (absโ€˜๐ด))
3635adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐ด)) = (absโ€˜๐ด))
37 simpr 486 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
3836, 37eqbrtrd 5171 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐ด)) < 1)
3934, 38, 8geolim 15816 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (absโ€˜๐ด))))
40 seqex 13968 . . . 4 seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
41 ovex 7442 . . . 4 (1 / (1 โˆ’ (absโ€˜๐ด))) โˆˆ V
4240, 41breldm 5909 . . 3 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (absโ€˜๐ด))) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
4339, 42syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
44 1red 11215 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
45 elnnuz 12866 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
46 nnrecre 12254 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4746adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4847recnd 11242 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
49 nnnn0 12479 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
5049, 31sylan2 594 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
5148, 50absmuld 15401 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(1 / ๐‘˜)) ยท (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜))))
52 nnrp 12985 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
5352adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
5453rpreccld 13026 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5554rpge0d 13020 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘˜))
5647, 55absidd 15369 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(1 / ๐‘˜)) = (1 / ๐‘˜))
57 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
58 absexp 15251 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
5957, 49, 58syl2an 597 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
6056, 59oveq12d 7427 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜(1 / ๐‘˜)) ยท (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((1 / ๐‘˜) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6151, 60eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((1 / ๐‘˜) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
62 1red 11215 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6349, 12sylan2 594 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
6450absge0d 15391 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
6564, 59breqtrd 5175 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
66 nnge1 12240 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘˜)
6766adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘˜)
68 0lt1 11736 . . . . . . . . . 10 0 < 1
6968a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < 1)
70 nnre 12219 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7170adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
72 nngt0 12243 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
7372adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘˜)
74 lerec 12097 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 / 1)))
7562, 69, 71, 73, 74syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 / 1)))
7667, 75mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 / 1))
77 1div1e1 11904 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
7876, 77breqtrdi 5190 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โ‰ค 1)
7947, 62, 63, 65, 78lemul1ad 12153 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ๐‘˜) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8061, 79eqbrtrd 5171 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8149, 22sylan2 594 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
82 nnne0 12246 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
8382adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
8483neneqd 2946 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘˜ = 0)
8584iffalsed 4540 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) = (1 / ๐‘˜))
8685oveq1d 7424 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
8781, 86eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
8887fveq2d 6896 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
8949, 8sylan2 594 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
9089oveq2d 7425 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (1 ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
9180, 88, 903brtr4d 5181 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
9245, 91sylan2br 596 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
931, 3, 13, 33, 43, 44, 92cvgcmpce 15764 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  ifcif 4529   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181   โ‡ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  logtayl  26168
  Copyright terms: Public domain W3C validator