MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayllem 26174
Description: Lemma for logtayl 26175. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
logtayllem ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem logtayllem
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12866 . 2 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 1nn0 12490 . . 3 1 โˆˆ โ„•0
32a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
4 oveq2 7419 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
5 eqid 2732 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))
6 ovex 7444 . . . . 5 ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ V
74, 5, 6fvmpt 6998 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
87adantl 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
9 abscl 15227 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
109adantr 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
11 reexpcl 14046 . . . 4 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
1210, 11sylan 580 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
138, 12eqeltrd 2833 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
14 eqeq1 2736 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› = 0 โ†” ๐‘˜ = 0))
15 oveq2 7419 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / ๐‘›) = (1 / ๐‘˜))
1614, 15ifbieq2d 4554 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) = if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)))
17 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘›) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
1816, 17oveq12d 7429 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)) = (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
19 eqid 2732 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))
20 ovex 7444 . . . . 5 (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ V
2118, 19, 20fvmpt 6998 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
2221adantl 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
23 0cnd 11209 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
24 nn0cn 12484 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
2524adantl 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
26 neqne 2948 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘˜ = 0 โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
27 reccl 11881 . . . . . 6 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โ‰  0) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2825, 26, 27syl2an 596 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ยฌ ๐‘˜ = 0) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2923, 28ifclda 4563 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
30 expcl 14047 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3130adantlr 713 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3229, 31mulcld 11236 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
3322, 32eqeltrd 2833 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3410recnd 11244 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
35 absidm 15272 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐ด)) = (absโ€˜๐ด))
3635adantr 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐ด)) = (absโ€˜๐ด))
37 simpr 485 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)
3836, 37eqbrtrd 5170 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ (absโ€˜(absโ€˜๐ด)) < 1)
3934, 38, 8geolim 15818 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (absโ€˜๐ด))))
40 seqex 13970 . . . 4 seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
41 ovex 7444 . . . 4 (1 / (1 โˆ’ (absโ€˜๐ด))) โˆˆ V
4240, 41breldm 5908 . . 3 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โ‡ (1 / (1 โˆ’ (absโ€˜๐ด))) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
4339, 42syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
44 1red 11217 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
45 elnnuz 12868 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
46 nnrecre 12256 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4746adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„)
4847recnd 11244 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
49 nnnn0 12481 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
5049, 31sylan2 593 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
5148, 50absmuld 15403 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((absโ€˜(1 / ๐‘˜)) ยท (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜))))
52 nnrp 12987 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
5352adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„+)
5453rpreccld 13028 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โˆˆ โ„+)
5554rpge0d 13022 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐‘˜))
5647, 55absidd 15371 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(1 / ๐‘˜)) = (1 / ๐‘˜))
57 simpl 483 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
58 absexp 15253 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
5957, 49, 58syl2an 596 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
6056, 59oveq12d 7429 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜(1 / ๐‘˜)) ยท (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((1 / ๐‘˜) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
6151, 60eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) = ((1 / ๐‘˜) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
62 1red 11217 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6349, 12sylan2 593 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
6450absge0d 15393 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
6564, 59breqtrd 5174 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
66 nnge1 12242 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘˜)
6766adantl 482 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘˜)
68 0lt1 11738 . . . . . . . . . 10 0 < 1
6968a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < 1)
70 nnre 12221 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
7170adantl 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
72 nngt0 12245 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘˜)
7372adantl 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘˜)
74 lerec 12099 . . . . . . . . 9 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘˜)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 / 1)))
7562, 69, 71, 73, 74syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘˜ โ†” (1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 / 1)))
7667, 75mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โ‰ค (1 / 1))
77 1div1e1 11906 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
7876, 77breqtrdi 5189 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐‘˜) โ‰ค 1)
7947, 62, 63, 65, 78lemul1ad 12155 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ๐‘˜) ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8061, 79eqbrtrd 5170 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))) โ‰ค (1 ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
8149, 22sylan2 593 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
82 nnne0 12248 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
8382adantl 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
8483neneqd 2945 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘˜ = 0)
8584iffalsed 4539 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) = (1 / ๐‘˜))
8685oveq1d 7426 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (if(๐‘˜ = 0, 0, (1 / ๐‘˜)) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
8781, 86eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜) = ((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
8887fveq2d 6895 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜((1 / ๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜))))
8949, 8sylan2 593 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
9089oveq2d 7427 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (1 ยท ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)))
9180, 88, 903brtr4d 5180 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
9245, 91sylan2br 595 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ (absโ€˜((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
931, 3, 13, 33, 43, 44, 92cvgcmpce 15766 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (if(๐‘› = 0, 0, (1 / ๐‘›)) ยท (๐ดโ†‘๐‘›)))) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  ifcif 4528   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  dom cdm 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  seqcseq 13968  โ†‘cexp 14029  abscabs 15183   โ‡ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635
This theorem is referenced by:  logtayl  26175
  Copyright terms: Public domain W3C validator