MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpi 26683
Description: The Leibniz formula for Ο€. This proof depends on three main facts: (1) the series 𝐹 is convergent, because it is an alternating series (iseralt 15635). (2) Using leibpilem2 26682 to rewrite the series as a power series, it is the π‘₯ = 1 special case of the Taylor series for arctan (atantayl2 26679). (3) Although we cannot directly plug π‘₯ = 1 into atantayl2 26679, Abel's theorem (abelth2 26190) says that the limit along any sequence converging to 1, such as 1 βˆ’ 1 / 𝑛, of the power series converges to the power series extended to 1, and then since arctan is continuous at 1 (atancn 26677) we get the desired result. This is Metamath 100 proof #26. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
leibpi.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
leibpi seq0( + , 𝐹) ⇝ (Ο€ / 4)

Proof of Theorem leibpi
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12868 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12574 . . . . 5 (⊀ β†’ 0 ∈ β„€)
3 eqidd 2731 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
4 0cnd 11211 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ 0 ∈ β„‚)
5 ioran 980 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) ↔ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜))
6 neg1rr 12331 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℝ
7 leibpilem1 26681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
87simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
9 reexpcl 14048 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
106, 8, 9sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
117simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1210, 11nndivred 12270 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ ℝ)
1312recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
145, 13sylan2b 592 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
154, 14ifclda 4562 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
1615adantl 480 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
1716fmpttd 7115 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))):β„•0βŸΆβ„‚)
1817ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
19 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ 2 ∈ β„•0)
21 nn0mulcl 12512 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
2220, 21sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
23 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
2524nnrecred 12267 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
2625fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))):β„•0βŸΆβ„)
27 nn0mulcl 12512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
2820, 27sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
2928nn0red 12537 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
30 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
3130adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
32 nn0mulcl 12512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
3319, 31, 32sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
3433nn0red 12537 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
35 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
36 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3736adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3837lep1d 12149 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1))
39 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
41 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ ℝ)
43 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 < 2)
45 lemul2 12071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1) ↔ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· (π‘˜ + 1))))
4637, 40, 42, 44, 45syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1) ↔ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· (π‘˜ + 1))))
4738, 46mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· (π‘˜ + 1)))
4829, 34, 35, 47leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ≀ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1))
49 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
5028, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
5150nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
5250nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 < ((2 Β· π‘˜) + 1))
53 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ β„•)
5433, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ β„•)
5554nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ ℝ)
5654nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 < ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1))
57 lerec 12101 . . . . . . . . . . . 12 (((((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∧ (((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1))) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ≀ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ↔ (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)) ≀ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
5851, 52, 55, 56, 57syl22anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ≀ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ↔ (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)) ≀ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
5948, 58mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)) ≀ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
60 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· (π‘˜ + 1)))
6160oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1))
6261oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)))
63 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
64 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt 6997 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ + 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) = (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)))
6631, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) = (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)))
67 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
6867oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
6968oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
70 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ V
7169, 63, 70fvmpt 6997 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
7271adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
7359, 66, 723brtr4d 5179 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜))
74 nnuz 12869 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
75 1zzd 12597 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
76 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
77 divcnv 15803 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
79 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 ∈ V
8079mptex 7226 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ V)
82 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
83 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))
84 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / π‘˜) ∈ V
8582, 83, 84fvmpt 6997 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) = (1 / π‘˜))
8685adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) = (1 / π‘˜))
87 nnrecre 12258 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
8887adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
8986, 88eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
90 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
9190adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
9291, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
9390, 50sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
9493nnrecred 12267 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ)
9592, 94eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
96 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
9796adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
9819, 91, 27sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
9998nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
100 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· π‘˜) ∈ ℝ β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
102 nn0addge1 12522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + π‘˜))
10397, 91, 102syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + π‘˜))
10497recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1051042timesd 12459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) = (π‘˜ + π‘˜))
106103, 105breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ≀ (2 Β· π‘˜))
10799lep1d 12149 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1))
10897, 99, 101, 106, 107letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1))
109 nngt0 12247 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < π‘˜)
110109adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 < π‘˜)
11193nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
11293nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 < ((2 Β· π‘˜) + 1))
113 lerec 12101 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜) ∧ (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 Β· π‘˜) + 1))) β†’ (π‘˜ ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1) ↔ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (1 / π‘˜)))
11497, 110, 111, 112, 113syl22anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1) ↔ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (1 / π‘˜)))
115108, 114mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (1 / π‘˜))
116115, 92, 863brtr4d 5179 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜))
11793nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ+)
118117rpreccld 13030 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ+)
119118rpge0d 13024 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
120119, 92breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜))
12174, 75, 78, 81, 89, 95, 116, 120climsqz2 15590 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ⇝ 0)
122 neg1cn 12330 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ -1 ∈ β„‚)
124 expcl 14049 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (-1β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
125123, 124sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (-1β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
12650nncnd 12232 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„‚)
12750nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) β‰  0)
128125, 126, 127divrecd 11997 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
129 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (-1↑𝑛) = (-1β†‘π‘˜))
130129, 68oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
131 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
132 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ V
133130, 131, 132fvmpt 6997 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
134133adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
13572oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((-1β†‘π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜)) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
136128, 134, 1353eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜)))
1371, 2, 26, 73, 121, 136iseralt 15635 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ dom ⇝ )
138 climdm 15502 . . . . . . . 8 (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
139137, 138sylib 217 . . . . . . 7 (⊀ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
140 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
141 fvex 6903 . . . . . . . 8 ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) ∈ V
142131, 140, 141leibpilem2 26682 . . . . . . 7 (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) ↔ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
143139, 142sylib 217 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
144 seqex 13972 . . . . . . 7 seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ∈ V
145144, 141breldm 5907 . . . . . 6 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
146143, 145syl 17 . . . . 5 (⊀ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
1471, 2, 3, 18, 146isumclim2 15708 . . . 4 (⊀ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
148 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)))
14917, 146, 148abelth2 26190 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) ∈ ((0[,]1)–cnβ†’β„‚))
150 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
151150adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
152151rpreccld 13030 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
153152rpred 13020 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
154152rpge0d 13024 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑛))
155 nnge1 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑛)
156155adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑛)
157 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
158157adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
159158recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
160159mulridd 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· 1) = 𝑛)
161156, 160breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (𝑛 Β· 1))
162 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
163 nngt0 12247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑛)
164163adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑛)
165 ledivmul 12094 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) β†’ ((1 / 𝑛) ≀ 1 ↔ 1 ≀ (𝑛 Β· 1)))
166162, 162, 158, 164, 165syl112anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝑛) ≀ 1 ↔ 1 ≀ (𝑛 Β· 1)))
167161, 166mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ≀ 1)
168 elicc01 13447 . . . . . . . . . 10 ((1 / 𝑛) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 𝑛) ∧ (1 / 𝑛) ≀ 1))
169153, 154, 167, 168syl3anbrc 1341 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ (0[,]1))
170 iirev 24670 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑛) ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ (0[,]1))
171169, 170syl 17 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ (0[,]1))
172171fmpttd 7115 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))):β„•βŸΆ(0[,]1))
173 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
174 nnex 12222 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
175174mptex 7226 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ V
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ V)
17789recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
17882oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) = (1 βˆ’ (1 / π‘˜)))
179 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))
180 ovex 7444 . . . . . . . . . . . 12 (1 βˆ’ (1 / π‘˜)) ∈ V
181178, 179, 180fvmpt 6997 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))β€˜π‘˜) = (1 βˆ’ (1 / π‘˜)))
18285oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜)) = (1 βˆ’ (1 / π‘˜)))
183181, 182eqtr4d 2773 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))β€˜π‘˜) = (1 βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜)))
184183adantl 480 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))β€˜π‘˜) = (1 βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜)))
18574, 75, 78, 173, 176, 177, 184climsubc2 15587 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ⇝ (1 βˆ’ 0))
186 1m0e1 12337 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 0) = 1
187185, 186breqtrdi 5188 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ⇝ 1)
188 1elunit 13451 . . . . . . . 8 1 ∈ (0[,]1)
189188a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ (0[,]1))
19074, 75, 149, 172, 187, 189climcncf 24640 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)))β€˜1))
191 eqidd 2731 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
192 eqidd 2731 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))))
193 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) β†’ (π‘₯↑𝑗) = ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))
194193oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
195194sumeq2sdv 15654 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
196171, 191, 192, 195fmptco 7128 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))))
197 0zd 12574 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
1988adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
1996, 198, 9sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
200199recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„‚)
201200adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„‚)
202 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
203 resubcl 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
204202, 153, 203sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
205204ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
206 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
207205, 206reexpcld 14132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
208207recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
209 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
210209ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
21111adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
212211nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ β‰  0)
213201, 208, 210, 212div12d 12030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) = (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) Β· ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
21413adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
215208, 214mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) Β· ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
216213, 215eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) = (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
2175, 216sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) = (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
218217ifeq2da 4559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))))
219204recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ β„‚)
220 expcl 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
221219, 220sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
222221mul02d 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0 Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) = 0)
223222ifeq1d 4546 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), (0 Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)), (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))))
224218, 223eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), (0 Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)), (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))))
225 ovif 7508 . . . . . . . . . . . . . 14 (if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), (0 Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)), (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
226224, 225eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = (if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
227 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
228 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
229 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) ∈ V
230228, 229ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . 14 if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ V
231 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
232231fvmpt2 7008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
233227, 230, 232sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
234 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ V
235228, 234ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ V
236140fvmpt2 7008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
237227, 235, 236sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
238237oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) = (if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
239226, 233, 2383eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
240239ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
241 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))
242 nffvmpt1 6901 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—)
243 nffvmpt1 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—)
244 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ Β·
245 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)
246243, 244, 245nfov 7441 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))
247242, 246nfeq 2914 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))
248 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
249 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
250 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) = ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))
251249, 250oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
252248, 251eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))))
253241, 247, 252cbvralw 3301 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
254240, 253sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
255254r19.21bi 3246 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
256 0cnd 11211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ 0 ∈ β„‚)
257207, 211nndivred 12270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜) ∈ ℝ)
258257recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜) ∈ β„‚)
259201, 258mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) ∈ β„‚)
2605, 259sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) ∈ β„‚)
261256, 260ifclda 4562 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ β„‚)
262261fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))):β„•0βŸΆβ„‚)
263262ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
264255, 263eqeltrrd 2832 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)) ∈ β„‚)
265 0nn0 12491 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
266265a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„•0)
267 0p1e1 12338 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
268 seqeq1 13973 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1) = 1 β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))))
269267, 268ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))
270 1zzd 12597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
271 elnnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• ↔ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
272 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
273272neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
274 biorf 933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ π‘˜ = 0 β†’ (2 βˆ₯ π‘˜ ↔ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)))
275273, 274syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 βˆ₯ π‘˜ ↔ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)))
276275bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) ↔ 2 βˆ₯ π‘˜))
277276ifbid 4550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
27890, 230, 232sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
279228, 229ifex 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ V
280 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
281280fvmpt2 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
282279, 281mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
283277, 278, 2823eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜))
284283rgen 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜)
285284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜))
286 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑗((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜)
287 nffvmpt1 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—)
288242, 287nfeq 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—)
289 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
290248, 289eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) ↔ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—)))
291286, 288, 290cbvralw 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
292285, 291sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
293292r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
294271, 293sylan2br 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
295270, 294seqfeq 13997 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))))
296153, 162, 167abssubge0d 15382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))
297 ltsubrp 13014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) < 1)
298202, 152, 297sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) < 1)
299296, 298eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) < 1)
300280atantayl2 26679 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) < 1) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
301219, 299, 300syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
302295, 301eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
303269, 302eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
3041, 266, 263, 303clim2ser2 15606 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0)))
305 0z 12573 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„€
306 seq1 13983 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜0))
307305, 306ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜0)
308 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = 0)
309308orcs 871 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = 0)
310309, 231, 228fvmpt 6997 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜0) = 0)
311265, 310ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜0) = 0
312307, 311eqtri 2758 . . . . . . . . . . . 12 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0) = 0
313312oveq2i 7422 . . . . . . . . . . 11 ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0)) = ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + 0)
314 atanrecl 26652 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ β†’ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
315204, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
316315recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ β„‚)
317316addridd 11418 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + 0) = (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
318313, 317eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0)) = (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
319304, 318breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
3201, 197, 255, 264, 319isumclim 15707 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)) = (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
321320mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))))
322196, 321eqtrd 2770 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))))
323 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯↑𝑗) = (1↑𝑗))
324 nn0z 12587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
325 1exp 14061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑗) = 1)
326324, 325syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (1↑𝑗) = 1)
327323, 326sylan9eq 2790 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑗) = 1)
328327oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· 1))
32917mptru 1546 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))):β„•0βŸΆβ„‚
330329ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
331330mulridd 11235 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· 1) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
332331adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· 1) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
333328, 332eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
334333sumeq2dv 15653 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
335 sumex 15638 . . . . . . . 8 Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) ∈ V
336334, 148, 335fvmpt 6997 . . . . . . 7 (1 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)))β€˜1) = Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
337188, 336mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)))β€˜1) = Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
338190, 322, 3373brtr3d 5178 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
339 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
340 eqid 2730 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}
341339, 340atancn 26677 . . . . . . . 8 (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}–cnβ†’β„‚)
342341a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}–cnβ†’β„‚))
343 unitssre 13480 . . . . . . . . 9 (0[,]1) βŠ† ℝ
344339, 340ressatans 26675 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}
345343, 344sstri 3990 . . . . . . . 8 (0[,]1) βŠ† {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}
346 fss 6733 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))):β„•βŸΆ(0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))):β„•βŸΆ{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})
347172, 345, 346sylancl 584 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))):β„•βŸΆ{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})
348344, 202sselii 3978 . . . . . . . 8 1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}
349348a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})
35074, 75, 342, 347, 187, 349climcncf 24640 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜1))
351345, 171sselid 3979 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})
352 cncff 24633 . . . . . . . . . 10 ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}–cnβ†’β„‚) β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}):{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}βŸΆβ„‚)
353341, 352mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}):{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}βŸΆβ„‚)
354353feqmptd 6959 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} ↦ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜π‘˜)))
355 fvres 6909 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜π‘˜) = (arctanβ€˜π‘˜))
356355mpteq2ia 5250 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} ↦ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} ↦ (arctanβ€˜π‘˜))
357354, 356eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} ↦ (arctanβ€˜π‘˜)))
358 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘˜ = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) β†’ (arctanβ€˜π‘˜) = (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
359351, 191, 357, 358fmptco 7128 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))))
360 fvres 6909 . . . . . . . 8 (1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜1) = (arctanβ€˜1))
361348, 360mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜1) = (arctanβ€˜1))
362 atan1 26669 . . . . . . 7 (arctanβ€˜1) = (Ο€ / 4)
363361, 362eqtrdi 2786 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜1) = (Ο€ / 4))
364350, 359, 3633brtr3d 5178 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ (Ο€ / 4))
365 climuni 15500 . . . . 5 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ (Ο€ / 4)) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) = (Ο€ / 4))
366338, 364, 365syl2anc 582 . . . 4 (⊀ β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) = (Ο€ / 4))
367147, 366breqtrd 5173 . . 3 (⊀ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ (Ο€ / 4))
368367mptru 1546 . 2 seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ (Ο€ / 4)
369 leibpi.1 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
370 ovex 7444 . . 3 (Ο€ / 4) ∈ V
371369, 140, 370leibpilem2 26682 . 2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ (Ο€ / 4) ↔ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ (Ο€ / 4))
372368, 371mpbir 230 1 seq0( + , 𝐹) ⇝ (Ο€ / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  -∞cmnf 11250   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  (,]cioc 13329  [,]cicc 13331  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  abscabs 15185   ⇝ cli 15432  Ξ£csu 15636  Ο€cpi 16014   βˆ₯ cdvds 16201  β€“cnβ†’ccncf 24616  arctancatan 26605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-t1 23038  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ulm 26125  df-log 26301  df-atan 26608
This theorem is referenced by:  leibpisum  26684
  Copyright terms: Public domain W3C validator