MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpi 26447
Description: The Leibniz formula for Ο€. This proof depends on three main facts: (1) the series 𝐹 is convergent, because it is an alternating series (iseralt 15631). (2) Using leibpilem2 26446 to rewrite the series as a power series, it is the π‘₯ = 1 special case of the Taylor series for arctan (atantayl2 26443). (3) Although we cannot directly plug π‘₯ = 1 into atantayl2 26443, Abel's theorem (abelth2 25954) says that the limit along any sequence converging to 1, such as 1 βˆ’ 1 / 𝑛, of the power series converges to the power series extended to 1, and then since arctan is continuous at 1 (atancn 26441) we get the desired result. This is Metamath 100 proof #26. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
leibpi.1 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
leibpi seq0( + , 𝐹) ⇝ (Ο€ / 4)

Proof of Theorem leibpi
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12864 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12570 . . . . 5 (⊀ β†’ 0 ∈ β„€)
3 eqidd 2734 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
4 0cnd 11207 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ 0 ∈ β„‚)
5 ioran 983 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) ↔ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜))
6 neg1rr 12327 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ ℝ
7 leibpilem1 26445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (π‘˜ ∈ β„• ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0))
87simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
9 reexpcl 14044 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℝ ∧ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
106, 8, 9sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
117simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1210, 11nndivred 12266 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ ℝ)
1312recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
145, 13sylan2b 595 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
154, 14ifclda 4564 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
1615adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
1716fmpttd 7115 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))):β„•0βŸΆβ„‚)
1817ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((⊀ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
19 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„•0
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ 2 ∈ β„•0)
21 nn0mulcl 12508 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„•0 ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
2220, 21sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„•0)
23 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) ∈ β„•)
2524nnrecred 12263 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
2625fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))):β„•0βŸΆβ„)
27 nn0mulcl 12508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
2820, 27sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
2928nn0red 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
30 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
3130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
32 nn0mulcl 12508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ β„•0 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
3319, 31, 32sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ β„•0)
3433nn0red 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
35 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ ℝ)
36 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
3837lep1d 12145 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1))
39 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ)
41 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 2 ∈ ℝ)
43 2pos 12315 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 < 2)
45 lemul2 12067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1) ↔ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· (π‘˜ + 1))))
4637, 40, 42, 44, 45syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ≀ (π‘˜ + 1) ↔ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· (π‘˜ + 1))))
4738, 46mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (2 Β· π‘˜) ≀ (2 Β· (π‘˜ + 1)))
4829, 34, 35, 47leadd1dd 11828 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ≀ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1))
49 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· π‘˜) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
5028, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
5150nnred 12227 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
5250nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 < ((2 Β· π‘˜) + 1))
53 nn0p1nn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· (π‘˜ + 1)) ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ β„•)
5433, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ β„•)
5554nnred 12227 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ ℝ)
5654nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 0 < ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1))
57 lerec 12097 . . . . . . . . . . . 12 (((((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∧ (((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1))) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ≀ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ↔ (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)) ≀ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
5851, 52, 55, 56, 57syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· π‘˜) + 1) ≀ ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1) ↔ (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)) ≀ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
5948, 58mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)) ≀ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
60 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· (π‘˜ + 1)))
6160oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1))
6261oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)))
63 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
64 ovex 7442 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ + 1) ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) = (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)))
6631, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) = (1 / ((2 Β· (π‘˜ + 1)) + 1)))
67 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
6867oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· π‘˜) + 1))
6968oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
70 ovex 7442 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ V
7169, 63, 70fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
7271adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
7359, 66, 723brtr4d 5181 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜(π‘˜ + 1)) ≀ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜))
74 nnuz 12865 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
75 1zzd 12593 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
76 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„‚
77 divcnv 15799 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
79 nn0ex 12478 . . . . . . . . . . . 12 β„•0 ∈ V
8079mptex 7225 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ∈ V)
82 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
83 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))
84 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / π‘˜) ∈ V
8582, 83, 84fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) = (1 / π‘˜))
8685adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) = (1 / π‘˜))
87 nnrecre 12254 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
8887adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
8986, 88eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
90 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
9190adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
9291, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
9390, 50sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„•)
9493nnrecred 12263 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ)
9592, 94eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
96 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
9819, 91, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„•0)
9998nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
100 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· π‘˜) ∈ ℝ β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
102 nn0addge1 12518 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + π‘˜))
10397, 91, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ≀ (π‘˜ + π‘˜))
10497recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
1051042timesd 12455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) = (π‘˜ + π‘˜))
106103, 105breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ≀ (2 Β· π‘˜))
10799lep1d 12145 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘˜) ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1))
10897, 99, 101, 106, 107letrd 11371 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1))
109 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < π‘˜)
110109adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 < π‘˜)
11193nnred 12227 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ)
11293nngt0d 12261 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 < ((2 Β· π‘˜) + 1))
113 lerec 12097 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜) ∧ (((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 Β· π‘˜) + 1))) β†’ (π‘˜ ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1) ↔ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (1 / π‘˜)))
11497, 110, 111, 112, 113syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ≀ ((2 Β· π‘˜) + 1) ↔ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (1 / π‘˜)))
115108, 114mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ≀ (1 / π‘˜))
116115, 92, 863brtr4d 5181 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜))
11793nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ ℝ+)
118117rpreccld 13026 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ ℝ+)
119118rpge0d 13020 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
120119, 92breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜))
12174, 75, 78, 81, 89, 95, 116, 120climsqz2 15586 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1))) ⇝ 0)
122 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ∈ β„‚
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊀ β†’ -1 ∈ β„‚)
124 expcl 14045 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (-1β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
125123, 124sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (-1β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
12650nncnd 12228 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) ∈ β„‚)
12750nnne0d 12262 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((2 Β· π‘˜) + 1) β‰  0)
128125, 126, 127divrecd 11993 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
129 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (-1↑𝑛) = (-1β†‘π‘˜))
130129, 68oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)) = ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
131 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
132 ovex 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)) ∈ V
133130, 131, 132fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
134133adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) / ((2 Β· π‘˜) + 1)))
13572oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((-1β†‘π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜)) = ((-1β†‘π‘˜) Β· (1 / ((2 Β· π‘˜) + 1))))
136128, 134, 1353eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜) = ((-1β†‘π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (1 / ((2 Β· 𝑛) + 1)))β€˜π‘˜)))
1371, 2, 26, 73, 121, 136iseralt 15631 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ dom ⇝ )
138 climdm 15498 . . . . . . . 8 (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
139137, 138sylib 217 . . . . . . 7 (⊀ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
140 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
141 fvex 6905 . . . . . . . 8 ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) ∈ V
142131, 140, 141leibpilem2 26446 . . . . . . 7 (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) ↔ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
143139, 142sylib 217 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))))
144 seqex 13968 . . . . . . 7 seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ∈ V
145144, 141breldm 5909 . . . . . 6 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1))))) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
146143, 145syl 17 . . . . 5 (⊀ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ∈ dom ⇝ )
1471, 2, 3, 18, 146isumclim2 15704 . . . 4 (⊀ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
148 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)))
14917, 146, 148abelth2 25954 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) ∈ ((0[,]1)–cnβ†’β„‚))
150 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
151150adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
152151rpreccld 13026 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
153152rpred 13016 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
154152rpge0d 13020 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑛))
155 nnge1 12240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑛)
156155adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ 𝑛)
157 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
158157adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
159158recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
160159mulridd 11231 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· 1) = 𝑛)
161156, 160breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (𝑛 Β· 1))
162 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
163 nngt0 12243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑛)
164163adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑛)
165 ledivmul 12090 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) β†’ ((1 / 𝑛) ≀ 1 ↔ 1 ≀ (𝑛 Β· 1)))
166162, 162, 158, 164, 165syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝑛) ≀ 1 ↔ 1 ≀ (𝑛 Β· 1)))
167161, 166mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ≀ 1)
168 elicc01 13443 . . . . . . . . . 10 ((1 / 𝑛) ∈ (0[,]1) ↔ ((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / 𝑛) ∧ (1 / 𝑛) ≀ 1))
169153, 154, 167, 168syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 / 𝑛) ∈ (0[,]1))
170 iirev 24445 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑛) ∈ (0[,]1) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ (0[,]1))
171169, 170syl 17 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ (0[,]1))
172171fmpttd 7115 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))):β„•βŸΆ(0[,]1))
173 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
174 nnex 12218 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
175174mptex 7225 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ V
176175a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ V)
17789recnd 11242 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
17882oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) = (1 βˆ’ (1 / π‘˜)))
179 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))
180 ovex 7442 . . . . . . . . . . . 12 (1 βˆ’ (1 / π‘˜)) ∈ V
181178, 179, 180fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))β€˜π‘˜) = (1 βˆ’ (1 / π‘˜)))
18285oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜)) = (1 βˆ’ (1 / π‘˜)))
183181, 182eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))β€˜π‘˜) = (1 βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜)))
184183adantl 483 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))β€˜π‘˜) = (1 βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜)))
18574, 75, 78, 173, 176, 177, 184climsubc2 15583 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ⇝ (1 βˆ’ 0))
186 1m0e1 12333 . . . . . . . 8 (1 βˆ’ 0) = 1
187185, 186breqtrdi 5190 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ⇝ 1)
188 1elunit 13447 . . . . . . . 8 1 ∈ (0[,]1)
189188a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ (0[,]1))
19074, 75, 149, 172, 187, 189climcncf 24416 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)))β€˜1))
191 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
192 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))))
193 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) β†’ (π‘₯↑𝑗) = ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))
194193oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
195194sumeq2sdv 15650 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
196171, 191, 192, 195fmptco 7127 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))))
197 0zd 12570 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
1988adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((π‘˜ βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
1996, 198, 9sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ ℝ)
200199recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„‚)
201200adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„‚)
202 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
203 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
204202, 153, 203sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
205204ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
206 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
207205, 206reexpcld 14128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
208207recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
209 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
210209ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
21111adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
212211nnne0d 12262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ π‘˜ β‰  0)
213201, 208, 210, 212div12d 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) = (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) Β· ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
21413adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ β„‚)
215208, 214mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) Β· ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) = (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
216213, 215eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) = (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
2175, 216sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) = (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
218217ifeq2da 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))))
219204recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ β„‚)
220 expcl 14045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
221219, 220sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
222221mul02d 11412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0 Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) = 0)
223222ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), (0 Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)), (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))))
224218, 223eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), (0 Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)), (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))))
225 ovif 7506 . . . . . . . . . . . . . 14 (if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), (0 Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)), (((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
226224, 225eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = (if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
227 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
228 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
229 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) ∈ V
230228, 229ifex 4579 . . . . . . . . . . . . . 14 if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ V
231 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
232231fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
233227, 230, 232sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
234 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜) ∈ V
235228, 234ifex 4579 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ V
236140fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
237227, 235, 236sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))
238237oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) = (if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
239226, 233, 2383eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
240239ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)))
241 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜))
242 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—)
243 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—)
244 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ Β·
245 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)
246243, 244, 245nfov 7439 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))
247242, 246nfeq 2917 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))
248 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
249 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
250 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) = ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))
251249, 250oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
252248, 251eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))))
253241, 247, 252cbvralw 3304 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘˜) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜)) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
254240, 253sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
255254r19.21bi 3249 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)))
256 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ 0 ∈ β„‚)
257207, 211nndivred 12266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜) ∈ ℝ)
258257recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜) ∈ β„‚)
259201, 258mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ (Β¬ π‘˜ = 0 ∧ Β¬ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) ∈ β„‚)
2605, 259sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ Β¬ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)) β†’ ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)) ∈ β„‚)
261256, 260ifclda 4564 . . . . . . . . . . . 12 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ β„‚)
262261fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))):β„•0βŸΆβ„‚)
263262ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
264255, 263eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)) ∈ β„‚)
265 0nn0 12487 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
266265a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„•0)
267 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
268 seqeq1 13969 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1) = 1 β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))))
269267, 268ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))
270 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
271 elnnuz 12866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• ↔ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
272 nnne0 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
273272neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ π‘˜ = 0)
274 biorf 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ π‘˜ = 0 β†’ (2 βˆ₯ π‘˜ ↔ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)))
275273, 274syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 βˆ₯ π‘˜ ↔ (π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜)))
276275bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) ↔ 2 βˆ₯ π‘˜))
277276ifbid 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
27890, 230, 232sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
279228, 229ifex 4579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ V
280 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
281280fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
282279, 281mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))
283277, 278, 2823eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜))
284283rgen 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜)
285284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜))
286 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑗((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜)
287 nffvmpt1 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—)
288242, 287nfeq 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—)
289 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
290248, 289eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) ↔ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—)))
291286, 288, 290cbvralw 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
292285, 291sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
293292r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
294271, 293sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜π‘—))
295270, 294seqfeq 13993 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) = seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))))
296153, 162, 167abssubge0d 15378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))
297 ltsubrp 13010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) < 1)
298202, 152, 297sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) < 1)
299296, 298eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) < 1)
300280atantayl2 26443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) < 1) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
301219, 299, 300syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
302295, 301eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
303269, 302eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq(0 + 1)( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
3041, 266, 263, 303clim2ser2 15602 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0)))
305 0z 12569 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„€
306 seq1 13979 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ β„€ β†’ (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜0))
307305, 306ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜0)
308 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜) β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = 0)
309308orcs 874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))) = 0)
310309, 231, 228fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜0) = 0)
311265, 310ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))β€˜0) = 0
312307, 311eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0) = 0
313312oveq2i 7420 . . . . . . . . . . 11 ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0)) = ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + 0)
314 atanrecl 26416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ β†’ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
315204, 314syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ ℝ)
316315recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ β„‚)
317316addridd 11414 . . . . . . . . . . 11 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + 0) = (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
318313, 317eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))) + (seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜)))))β€˜0)) = (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
319304, 318breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) Β· (((1 βˆ’ (1 / 𝑛))β†‘π‘˜) / π‘˜))))) ⇝ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
3201, 197, 255, 264, 319isumclim 15703 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗)) = (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
321320mpteq2dva 5249 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· ((1 βˆ’ (1 / 𝑛))↑𝑗))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))))
322196, 321eqtrd 2773 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗))) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))))
323 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯↑𝑗) = (1↑𝑗))
324 nn0z 12583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ 𝑗 ∈ β„€)
325 1exp 14057 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑗) = 1)
326324, 325syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (1↑𝑗) = 1)
327323, 326sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑗) = 1)
328327oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· 1))
32917mptru 1549 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜))):β„•0βŸΆβ„‚
330329ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
331330mulridd 11231 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· 1) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
332331adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· 1) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
333328, 332eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
334333sumeq2dv 15649 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 1 β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)) = Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
335 sumex 15634 . . . . . . . 8 Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) ∈ V
336334, 148, 335fvmpt 6999 . . . . . . 7 (1 ∈ (0[,]1) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)))β€˜1) = Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
337188, 336mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑗 ∈ β„•0 (((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) Β· (π‘₯↑𝑗)))β€˜1) = Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
338190, 322, 3373brtr3d 5180 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—))
339 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
340 eqid 2733 . . . . . . . . 9 {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} = {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}
341339, 340atancn 26441 . . . . . . . 8 (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}–cnβ†’β„‚)
342341a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}–cnβ†’β„‚))
343 unitssre 13476 . . . . . . . . 9 (0[,]1) βŠ† ℝ
344339, 340ressatans 26439 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}
345343, 344sstri 3992 . . . . . . . 8 (0[,]1) βŠ† {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}
346 fss 6735 . . . . . . . 8 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))):β„•βŸΆ(0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))):β„•βŸΆ{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})
347172, 345, 346sylancl 587 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛))):β„•βŸΆ{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})
348344, 202sselii 3980 . . . . . . . 8 1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}
349348a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})
35074, 75, 342, 347, 187, 349climcncf 24416 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜1))
351345, 171sselid 3981 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})
352 cncff 24409 . . . . . . . . . 10 ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∈ ({π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}–cnβ†’β„‚) β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}):{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}βŸΆβ„‚)
353341, 352mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}):{π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}βŸΆβ„‚)
354353feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} ↦ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜π‘˜)))
355 fvres 6911 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜π‘˜) = (arctanβ€˜π‘˜))
356355mpteq2ia 5252 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} ↦ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} ↦ (arctanβ€˜π‘˜))
357354, 356eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} ↦ (arctanβ€˜π‘˜)))
358 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = (1 βˆ’ (1 / 𝑛)) β†’ (arctanβ€˜π‘˜) = (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛))))
359351, 191, 357, 358fmptco 7127 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))}) ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))))
360 fvres 6911 . . . . . . . 8 (1 ∈ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))} β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜1) = (arctanβ€˜1))
361348, 360mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜1) = (arctanβ€˜1))
362 atan1 26433 . . . . . . 7 (arctanβ€˜1) = (Ο€ / 4)
363361, 362eqtrdi 2789 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((arctan β†Ύ {π‘₯ ∈ β„‚ ∣ (1 + (π‘₯↑2)) ∈ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))})β€˜1) = (Ο€ / 4))
364350, 359, 3633brtr3d 5180 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ (Ο€ / 4))
365 climuni 15496 . . . . 5 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (arctanβ€˜(1 βˆ’ (1 / 𝑛)))) ⇝ (Ο€ / 4)) β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) = (Ο€ / 4))
366338, 364, 365syl2anc 585 . . . 4 (⊀ β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 ((π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))β€˜π‘—) = (Ο€ / 4))
367147, 366breqtrd 5175 . . 3 (⊀ β†’ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ (Ο€ / 4))
368367mptru 1549 . 2 seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ (Ο€ / 4)
369 leibpi.1 . . 3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((-1↑𝑛) / ((2 Β· 𝑛) + 1)))
370 ovex 7442 . . 3 (Ο€ / 4) ∈ V
371369, 140, 370leibpilem2 26446 . 2 (seq0( + , 𝐹) ⇝ (Ο€ / 4) ↔ seq0( + , (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ if((π‘˜ = 0 ∨ 2 βˆ₯ π‘˜), 0, ((-1↑((π‘˜ βˆ’ 1) / 2)) / π‘˜)))) ⇝ (Ο€ / 4))
372368, 371mpbir 230 1 seq0( + , 𝐹) ⇝ (Ο€ / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  -∞cmnf 11246   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  (,]cioc 13325  [,]cicc 13327  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  abscabs 15181   ⇝ cli 15428  Ξ£csu 15632  Ο€cpi 16010   βˆ₯ cdvds 16197  β€“cnβ†’ccncf 24392  arctancatan 26369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-tan 16015  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-ulm 25889  df-log 26065  df-atan 26372
This theorem is referenced by:  leibpisum  26448
  Copyright terms: Public domain W3C validator