MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eftlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eftlub 16142
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
eftlub (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 eftl.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12585 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 eftl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
54eftlcl 16140 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
61, 3, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
76abscld 15472 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
81abscld 15472 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 eftl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109reeftlcl 16141 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
118, 3, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
128, 3reexpcld 14200 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13 peano2nn0 12564 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
143, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
1514nn0red 12586 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
163faccld 14320 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716, 2nnmulcld 12317 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
1815, 17nndivred 12318 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 11289 . 2 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
20 eqid 2735 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
212nnzd 12638 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
22 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
23 eluznn0 12957 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
243, 23sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
254eftval 16109 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
27 eftcl 16106 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
281, 27sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2926, 28eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3024, 29syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
314eftlcvg 16139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
321, 3, 31syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3320, 21, 22, 30, 32isumclim2 15791 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘))
34 eqidd 2736 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
359eftval 16109 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3635adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37 reeftcl 16107 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
388, 37sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4024, 39syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4140recnd 11287 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
428recnd 11287 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
439eftlcvg 16139 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4442, 3, 43syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4520, 21, 34, 41, 44isumclim2 15791 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
46 eftabs 16108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
471, 46sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4826fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
4947, 48, 363eqtr4rd 2786 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5024, 49syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5120, 33, 45, 21, 30, 50iserabs 15848 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
52 nn0uz 12918 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
53 0zd 12623 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
542nncnd 12280 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
55 nn0cn 12534 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
56 nn0ex 12530 . . . . . . . 8 0 ∈ V
5756mptex 7243 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
589, 57eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐺 ∈ V
5958shftval4 15113 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
6054, 55, 59syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
61 nn0addcl 12559 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
623, 61sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
639eftval 16109 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
658adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
66 reeftcl 16107 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6765, 62, 66syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6864, 67eqeltrd 2839 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
69 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
7069oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
71 eftl.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
72 ovex 7464 . . . . . 6 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 7016 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
7473adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
7512, 16nndivred 12318 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
772peano2nnd 12281 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
7877nnrecred 12315 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
79 reexpcl 14116 . . . . . 6 (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
8078, 79sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
8176, 80remulcld 11289 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
8265, 62reexpcld 14200 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
8462faccld 14320 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
8584nnred 12279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8685, 81remulcld 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
873adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
88 uzid 12891 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8921, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
90 uzaddcl 12944 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
9189, 90sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
921absge0d 15480 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
9392adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
94 eftl.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9594adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9665, 87, 91, 93, 95leexp2rd 14291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
9716adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
98 nnexpcl 14112 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
9977, 98sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
10097, 99nnmulcld 12317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
101100nnred 12279 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
1028, 3, 92expge0d 14201 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
10312, 102jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
104103adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
105 faclbnd6 14335 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
1063, 105sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
107 lemul1a 12119 . . . . . . . . . 10 (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
108101, 85, 104, 106, 107syl31anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
10985, 83remulcld 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
110100nnrpd 13073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
11183, 109, 110lemuldiv2d 13125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
112108, 111mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
11384nncnd 12280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
11412recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
115114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
116100nncnd 12280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
117100nnne0d 12314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≠ 0)
118113, 115, 116, 117divassd 12076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
11977nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
12177adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
122121nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ≠ 0)
123 nn0z 12636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
125120, 122, 124exprecd 14191 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
126125oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
12775recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
12999nncnd 12280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
13099nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ≠ 0)
131128, 129, 130divrecd 12044 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
13216nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
134 facne0 14322 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≠ 0)
1353, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑀) ≠ 0)
136135adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≠ 0)
137115, 133, 129, 136, 130divdiv1d 12072 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
138126, 131, 1373eqtr2rd 2782 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
139138oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
140118, 139eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
141112, 140breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14282, 83, 86, 96, 141letrd 11416 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14384nngt0d 12313 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
144 ledivmul 12142 . . . . . . 7 ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
14582, 81, 85, 143, 144syl112anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
146142, 145mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
14764, 146eqbrtrd 5170 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
148 0z 12622 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
14921znegcld 12722 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
15058seqshft 15121 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
151148, 149, 150sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
152 0cn 11251 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
153 subneg 11556 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
154152, 153mpan 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
155 addlid 11442 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
156154, 155eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
15754, 156syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
158157seqeq1d 14045 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
159158, 45eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
160 seqex 14041 . . . . . . . 8 seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
161 climshft 15609 . . . . . . . 8 ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
162149, 160, 161sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
163159, 162mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
164 ovex 7464 . . . . . . 7 (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V
165 sumex 15721 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ V
166164, 165breldm 5922 . . . . . 6 ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
167163, 166syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
168151, 167eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
1692nnge1d 12312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
170 1nn 12275 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
171 nnleltp1 12671 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
172170, 2, 171sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
173169, 172mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
17414nn0ge0d 12588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
17515, 174absidd 15458 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
176173, 175breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
177 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
178 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ V
17969, 177, 178fvmpt 7016 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
180179adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
181119, 176, 180georeclim 15905 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
18280recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
183180, 182eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
184180oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
18574, 184eqtr4d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
18652, 53, 127, 181, 183, 185isermulc2 15691 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
187 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
188 pncan 11512 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
18954, 187, 188sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
190189oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
191190oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
19215, 2nndivred 12318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
193192recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
194114, 193, 132, 135div23d 12078 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
195191, 194eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
196114, 193, 132, 135divassd 12076 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
1972nnne0d 12314 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
198119, 54, 132, 197, 135divdiv1d 12072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
19954, 132mulcomd 11280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
200199oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
201198, 200eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
202201oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
203195, 196, 2023eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
204186, 203breqtrd 5174 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
205 seqex 14041 . . . . . 6 seq0( + , 𝐻) ∈ V
206 ovex 7464 . . . . . 6 (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ V
207205, 206breldm 5922 . . . . 5 (seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
208204, 207syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
20952, 53, 60, 68, 74, 81, 147, 168, 208isumle 15877 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
210 eqid 2735 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ‘(0 + 𝑀))
211 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
21254addlidd 11460 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
213212fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
214213eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
215214biimpa 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
216215, 41syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
21752, 210, 211, 21, 53, 216isumshft 15872 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
218213sumeq1d 15733 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
219217, 218eqtr3d 2777 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
22081recnd 11287 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
22152, 53, 74, 220, 204isumclim 15790 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
222209, 219, 2213brtr3d 5179 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
2237, 11, 19, 51, 222letrd 11416 1 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  seqcseq 14039  cexp 14099  !cfa 14309   shift cshi 15102  abscabs 15270  cli 15517  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16217  eirrlem  16237  dveflem  26032  subfaclim  35173
  Copyright terms: Public domain W3C validator