MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eftlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eftlub 15991
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
Assertion
Ref Expression
eftlub (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 eftl.4 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 12473 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 eftl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
54eftlcl 15989 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
61, 3, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
76abscld 15321 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
81abscld 15321 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 eftl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
109reeftlcl 15990 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
118, 3, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ ℝ)
128, 3reexpcld 14068 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13 peano2nn0 12453 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
143, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
1514nn0red 12474 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
163faccld 14184 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716, 2nnmulcld 12206 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
1815, 17nndivred 12207 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
1912, 18remulcld 11185 . 2 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
20 eqid 2736 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
212nnzd 12526 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
22 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
23 eluznn0 12842 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
243, 23sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
254eftval 15959 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
27 eftcl 15956 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
281, 27sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2926, 28eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3024, 29syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
314eftlcvg 15988 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
321, 3, 31syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3320, 21, 22, 30, 32isumclim2 15643 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘))
34 eqidd 2737 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
359eftval 15959 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
3635adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37 reeftcl 15957 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
388, 37sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4024, 39syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
4140recnd 11183 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
428recnd 11183 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
439eftlcvg 15988 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4442, 3, 43syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4520, 21, 34, 41, 44isumclim2 15643 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
46 eftabs 15958 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
471, 46sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4826fveq2d 6846 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
4947, 48, 363eqtr4rd 2787 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5024, 49syldan 591 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑘) = (abs‘(𝐹𝑘)))
5120, 33, 45, 21, 30, 50iserabs 15700 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
52 nn0uz 12805 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
53 0zd 12511 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
542nncnd 12169 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
55 nn0cn 12423 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℂ)
56 nn0ex 12419 . . . . . . . 8 0 ∈ V
5756mptex 7173 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
589, 57eqeltri 2834 . . . . . 6 𝐺 ∈ V
5958shftval4 14962 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
6054, 55, 59syl2an 596 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
61 nn0addcl 12448 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
623, 61sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
639eftval 15959 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
6462, 63syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
658adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
66 reeftcl 15957 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6765, 62, 66syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
6864, 67eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
69 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
7069oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
71 eftl.3 . . . . . 6 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
72 ovex 7390 . . . . . 6 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ V
7370, 71, 72fvmpt 6948 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
7473adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
7512, 16nndivred 12207 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
7675adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
772peano2nnd 12170 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
7877nnrecred 12204 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
79 reexpcl 13984 . . . . . 6 (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
8078, 79sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
8176, 80remulcld 11185 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
8265, 62reexpcld 14068 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
8462faccld 14184 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
8584nnred 12168 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
8685, 81remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
873adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
88 uzid 12778 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8921, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
90 uzaddcl 12829 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
9189, 90sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀))
921absge0d 15329 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
9392adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
94 eftl.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9594adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
9665, 87, 91, 93, 95leexp2rd 14158 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
9716adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
98 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
9977, 98sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
10097, 99nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
101100nnred 12168 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
1028, 3, 92expge0d 14069 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
10312, 102jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
104103adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
105 faclbnd6 14199 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
1063, 105sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
107 lemul1a 12009 . . . . . . . . . 10 (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
108101, 85, 104, 106, 107syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
10985, 83remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
110100nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
11183, 109, 110lemuldiv2d 13007 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
112108, 111mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
11384nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
11412recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
115114adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
116100nncnd 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
117100nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≠ 0)
118113, 115, 116, 117divassd 11966 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
11977nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
12177adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
122121nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ≠ 0)
123 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
124123adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
125120, 122, 124exprecd 14059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
126125oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
12775recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
128127adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
12999nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
13099nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ≠ 0)
131128, 129, 130divrecd 11934 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
13216nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
134 facne0 14186 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≠ 0)
1353, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (!‘𝑀) ≠ 0)
136135adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≠ 0)
137115, 133, 129, 136, 130divdiv1d 11962 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
138126, 131, 1373eqtr2rd 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
139138oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
140118, 139eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
141112, 140breqtrd 5131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14282, 83, 86, 96, 141letrd 11312 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
14384nngt0d 12202 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
144 ledivmul 12031 . . . . . . 7 ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
14582, 81, 85, 143, 144syl112anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
146142, 145mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
14764, 146eqbrtrd 5127 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
148 0z 12510 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
14921znegcld 12609 . . . . . 6 (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
15058seqshft 14970 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
151148, 149, 150sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
152 0cn 11147 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
153 subneg 11450 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
154152, 153mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
155 addid2 11338 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
156154, 155eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
15754, 156syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
158157seqeq1d 13912 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
159158, 45eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
160 seqex 13908 . . . . . . . 8 seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
161 climshft 15458 . . . . . . . 8 ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
162149, 160, 161sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘)))
163159, 162mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
164 ovex 7390 . . . . . . 7 (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V
165 sumex 15572 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ∈ V
166164, 165breldm 5864 . . . . . 6 ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
167163, 166syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
168151, 167eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
1692nnge1d 12201 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
170 1nn 12164 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
171 nnleltp1 12558 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
172170, 2, 171sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
173169, 172mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
17414nn0ge0d 12476 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
17515, 174absidd 15307 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
176173, 175breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
177 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
178 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ V
17969, 177, 178fvmpt 6948 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
180179adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
181119, 176, 180georeclim 15757 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
18280recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
183180, 182eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
184180oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
18574, 184eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
18652, 53, 127, 181, 183, 185isermulc2 15542 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
187 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
188 pncan 11407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
18954, 187, 188sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
190189oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
191190oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
19215, 2nndivred 12207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
193192recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
194114, 193, 132, 135div23d 11968 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
195191, 194eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
196114, 193, 132, 135divassd 11966 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
1972nnne0d 12203 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ≠ 0)
198119, 54, 132, 197, 135divdiv1d 11962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
19954, 132mulcomd 11176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
200199oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
201198, 200eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
202201oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
203195, 196, 2023eqtrd 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
204186, 203breqtrd 5131 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
205 seqex 13908 . . . . . 6 seq0( + , 𝐻) ∈ V
206 ovex 7390 . . . . . 6 (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ V
207205, 206breldm 5864 . . . . 5 (seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
208204, 207syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
20952, 53, 60, 68, 74, 81, 147, 168, 208isumle 15729 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
210 eqid 2736 . . . . 5 (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ‘(0 + 𝑀))
211 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
21254addid2d 11356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
213212fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
214213eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)))
215214biimpa 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
216215, 41syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
21752, 210, 211, 21, 53, 216isumshft 15724 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
218213sumeq1d 15586 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
219217, 218eqtr3d 2778 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘))
22081recnd 11183 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
22152, 53, 74, 220, 204isumclim 15642 . . 3 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
222209, 219, 2213brtr3d 5136 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
2237, 11, 19, 51, 222letrd 11312 1 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  seqcseq 13906  cexp 13967  !cfa 14173   shift cshi 14951  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  16066  eirrlem  16086  dveflem  25343  subfaclim  33782
  Copyright terms: Public domain W3C validator