Theorem eftlub 15456

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
eftl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
eftl.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
eftl.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eftl.6	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
eftlub	⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀,𝑛   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		eftl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnnn0d 11949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4		eftl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5	4	eftlcl 15454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
7	6	abscld 14790	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
8	1	abscld 14790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		eftl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
10	9	reeftlcl 15455	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
11	8, 3, 10	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
12	8, 3	reexpcld 13521	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
13		peano2nn0 11931	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
14	3, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 11950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
16	3	faccld 13638	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
17	16, 2	nnmulcld 11684	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑀) · 𝑀) ∈ ℕ)
18	15, 17	nndivred 11685	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)) ∈ ℝ)
19	12, 18	remulcld 10665	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ ℝ)
20		eqid 2821	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
21	2	nnzd 12080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
22		eqidd 2822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
23		eluznn0 12311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	3, 23	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	4	eftval 15424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
26	25	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
27		eftcl 15421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
28	1, 27	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
29	26, 28	eqeltrd 2913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
30	24, 29	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
31	4	eftlcvg 15453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
32	1, 3, 31	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
33	20, 21, 22, 30, 32	isumclim2 15107	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘))
34		eqidd 2822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
35	9	eftval 15424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36	35	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37		reeftcl 15422	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
38	8, 37	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
39	36, 38	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
40	24, 39	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
41	40	recnd 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
42	8	recnd 10663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
43	9	eftlcvg 15453	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
44	42, 3, 43	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
45	20, 21, 34, 41, 44	isumclim2 15107	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
46		eftabs 15423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
47	1, 46	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
48	26	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
49	47, 48, 36	3eqtr4rd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
50	24, 49	syldan 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
51	20, 33, 45, 21, 30, 50	iserabs 15164	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
52		nn0uz 12274	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
53		0zd 11987	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
54	2	nncnd 11648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
55		nn0cn 11901	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℂ)
56		nn0ex 11897	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
57	56	mptex 6980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
58	9, 57	eqeltri 2909	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ V
59	58	shftval4 14430	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
60	54, 55, 59	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺 shift -𝑀)‘𝑗) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
61		nn0addcl 11926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
62	3, 61	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0)
63	9	eftval 15424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0 → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))))
65	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
66		reeftcl 15422	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑗) ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
67	65, 62, 66	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ∈ ℝ)
68	64, 67	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
69		oveq2 7158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
70	69	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
71		eftl.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)))
72		ovex 7183	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ V
73	70, 71, 72	fvmpt 6762	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
74	73	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
75	12, 16	nndivred 11685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
76	75	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℝ)
77	2	peano2nnd 11649	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
78	77	nnrecred 11682	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
79		reexpcl 13440	. . . . . 6 ⊢ (((1 / (𝑀 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
80	78, 79	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℝ)
81	76, 80	remulcld 10665	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ)
82	65, 62	reexpcld 13521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
83	12	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ)
84	62	faccld 13638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℕ)
85	84	nnred 11647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ)
86	85, 81	remulcld 10665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))) ∈ ℝ)
87	3	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
88		uzid 12252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
89	21, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
90		uzaddcl 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
91	89, 90	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑗) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
92	1	absge0d 14798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
93	92	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
94		eftl.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 1)
95	94	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≤ 1)
96	65, 87, 91, 93, 95	leexp2rd 13612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
97	16	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
98		nnexpcl 13436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
99	77, 98	sylan 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℕ)
100	97, 99	nnmulcld 11684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℕ)
101	100	nnred 11647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ)
102	8, 3, 92	expge0d 13522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))
103	12, 102	jca 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
104	103	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
105		faclbnd6 13653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
106	3, 105	sylan 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗)))
107		lemul1a 11488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑀))) ∧ ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≤ (!‘(𝑀 + 𝑗))) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
108	101, 85, 104, 106, 107	syl31anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)))
109	85, 83	remulcld 10665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ∈ ℝ)
110	100	nnrpd 12423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℝ+)
111	83, 109, 110	lemuldiv2d 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) ↔ ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
112	108, 111	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
113	84	nncnd 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℂ)
114	12	recnd 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
115	114	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ∈ ℂ)
116	100	nncnd 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ∈ ℂ)
117	100	nnne0d 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)) ≠ 0)
118	113, 115, 116, 117	divassd 11445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))))
119	77	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
120	119	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
121	77	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
122	121	nnne0d 11681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ≠ 0)
123		nn0z 11999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → 𝑗 ∈ ℤ)
124	123	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℤ)
125	120, 122, 124	exprecd 13512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) = (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗)))
126	125	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
127	75	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
128	127	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) ∈ ℂ)
129	99	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ∈ ℂ)
130	99	nnne0d 11681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 1)↑𝑗) ≠ 0)
131	128, 129, 130	divrecd 11413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · (1 / ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
132	16	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
133	132	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℂ)
134		facne0 13640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≠ 0)
135	3, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ≠ 0)
136	135	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ≠ 0)
137	115, 133, 129, 136, 130	divdiv1d 11441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) / ((𝑀 + 1)↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))))
138	126, 131, 137	3eqtr2rd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
139	138	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · (((abs‘𝐴)↑𝑀) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗)))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
140	118, 139	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((abs‘𝐴)↑𝑀)) / ((!‘𝑀) · ((𝑀 + 1)↑𝑗))) = ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
141	112, 140	breqtrd 5084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑀) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
142	82, 83, 86, 96, 141	letrd 10791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))))
143	84	nngt0d 11680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))
144		ledivmul 11510	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘(𝑀 + 𝑗)))) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
145	82, 81, 85, 143, 144	syl112anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ↔ ((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((!‘(𝑀 + 𝑗)) · ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))))
146	142, 145	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴)↑(𝑀 + 𝑗)) / (!‘(𝑀 + 𝑗))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
147	64, 146	eqbrtrd 5080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
148		0z 11986	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
149	21	znegcld 12083	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝑀 ∈ ℤ)
150	58	seqshft 14438	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
151	148, 149, 150	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) = (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀))
152		0cn 10627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
153		subneg 10929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
154	152, 153	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = (0 + 𝑀))
155		addid2 10817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
156	154, 155	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (0 − -𝑀) = 𝑀)
157	54, 156	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − -𝑀) = 𝑀)
158	157	seqeq1d 13369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) = seq𝑀( + , 𝐺))
159	158, 45	eqbrtrd 5080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
160		seqex 13365	. . . . . . . 8 ⊢ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V
161		climshft 14927	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ∈ V) → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)))
162	149, 160, 161	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ↔ seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘)))
163	159, 162	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
164		ovex 7183	. . . . . . 7 ⊢ (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ V
165		sumex 15038	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ∈ V
166	164, 165	breldm 5771	. . . . . 6 ⊢ ((seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ⇝ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
167	163, 166	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq(0 − -𝑀)( + , 𝐺) shift -𝑀) ∈ dom ⇝ )
168	151, 167	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐺 shift -𝑀)) ∈ dom ⇝ )
169	2	nnge1d 11679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
170		1nn 11643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
171		nnleltp1 12031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
172	170, 2, 171	sylancr 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
173	169, 172	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑀 + 1))
174	14	nn0ge0d 11952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 + 1))
175	15, 174	absidd 14776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
176	173, 175	breqtrrd 5086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (abs‘(𝑀 + 1)))
177		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))
178		ovex 7183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ V
179	69, 177, 178	fvmpt 6762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
180	179	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) = ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗))
181	119, 176, 180	georeclim 15222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))) ⇝ ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)))
182	80	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗) ∈ ℂ)
183	180, 182	eqeltrd 2913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗) ∈ ℂ)
184	180	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
185	74, 184	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐻‘𝑗) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑛))‘𝑗)))
186	52, 53, 127, 181, 183, 185	isermulc2 15008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))))
187		ax-1cn 10589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
188		pncan 10886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
189	54, 187, 188	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
190	189	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1)) = ((𝑀 + 1) / 𝑀))
191	190	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
192	15, 2	nndivred 11685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℝ)
193	192	recnd 10663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / 𝑀) ∈ ℂ)
194	114, 193, 132, 135	div23d 11447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)))
195	191, 194	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)))
196	114, 193, 132, 135	divassd 11445	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / 𝑀)) / (!‘𝑀)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))))
197	2	nnne0d 11681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
198	119, 54, 132, 197, 135	divdiv1d 11441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))))
199	54, 132	mulcomd 10656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (!‘𝑀)) = ((!‘𝑀) · 𝑀))
200	199	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) / (𝑀 · (!‘𝑀))) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
201	198, 200	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀)) = ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀)))
202	201	oveq2d 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴)↑𝑀) · (((𝑀 + 1) / 𝑀) / (!‘𝑀))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
203	195, 196, 202	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((𝑀 + 1) / ((𝑀 + 1) − 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
204	186, 203	breqtrd 5084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
205		seqex 13365	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , 𝐻) ∈ V
206		ovex 7183	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) ∈ V
207	205, 206	breldm 5771	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , 𝐻) ⇝ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))) → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
208	204, 207	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
209	52, 53, 60, 68, 74, 81, 147, 168, 208	isumle 15193	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)))
210		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘(0 + 𝑀))
211		fveq2 6664	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑀 + 𝑗) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
212	54	addid2d 10835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
213	212	fveq2d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) = (ℤ≥‘𝑀))
214	213	eleq2d 2898	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
215	214	biimpa 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
216	215, 41	syldan 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
217	52, 210, 211, 21, 53, 216	isumshft 15188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)))
218	213	sumeq1d 15052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(0 + 𝑀))(𝐺‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
219	217, 218	eqtr3d 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐺‘(𝑀 + 𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘))
220	81	recnd 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) ∈ ℂ)
221	52, 53, 74, 220, 204	isumclim 15106	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((((abs‘𝐴)↑𝑀) / (!‘𝑀)) · ((1 / (𝑀 + 1))↑𝑗)) = (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
222	209, 219, 221	3brtr3d 5089	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐺‘𝑘) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))
223	7, 11, 19, 51, 222	letrd 10791	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑀) · ((𝑀 + 1) / ((!‘𝑀) · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  dom cdm 5549  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  seqcseq 13363  ↑cexp 13423  !cfa 13627   shift cshi 14419  abscabs 14587   ⇝ cli 14835  Σcsu 15036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  15531  eirrlem  15551  dveflem  24570  subfaclim  32430