Theorem rpnnen2lem5 16401

Description: Lemma for rpnnen2 16409. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem5	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem5

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13017	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1nn 12359	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 1 ∈ ℕ)
4		ssid 3935	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
5		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6	5	rpnnen2lem2 16398	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
7	4, 6	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
8	7	ffvelcdmda 7095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
9	5	rpnnen2lem2 16398	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
10	9	ffvelcdmda 7095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
11	5	rpnnen2lem3 16399	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
12		seqex 14159	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ V
13		ovex 7463	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ V
14	12, 13	breldm 5895	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2) → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
15	11, 14	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
16		elnnuz 13018	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	rpnnen2lem4 16400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
18	4, 17	mp3an2 1478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
19	16, 18	sylan2br 607	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
20	19	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
21	19	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
22	1, 3, 8, 10, 15, 20, 21	cvgcmp 15998	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
23	22	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
24		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
25	10	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11350	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
27	1, 24, 26	iserex 15839	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ ))
28	23, 27	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   ≤ cle 11357   / cdiv 11986  ℕcn 12348  2c2 12410  3c3 12411  ℤ_≥cuz 12978  seqcseq 14157  ↑cexp 14217   ⇝ cli 15666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-pm 8864  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-ico 13495  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-limsup 15653  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869

This theorem is used by:  rpnnen2lem6  16402  rpnnen2lem7  16403  rpnnen2lem8  16404  rpnnen2lem9  16405  rpnnen2lem12  16408