Theorem rpnnen2lem5 16254

Description: Lemma for rpnnen2 16262. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem5	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem5

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12921	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1nn 12277	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 1 ∈ ℕ)
4		ssid 4006	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
5		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6	5	rpnnen2lem2 16251	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
7	4, 6	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
8	7	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
9	5	rpnnen2lem2 16251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
10	9	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
11	5	rpnnen2lem3 16252	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
12		seqex 14044	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ V
13		ovex 7464	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ V
14	12, 13	breldm 5919	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2) → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
15	11, 14	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
16		elnnuz 12922	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	rpnnen2lem4 16253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
18	4, 17	mp3an2 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
19	16, 18	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
20	19	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
21	19	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
22	1, 3, 8, 10, 15, 20, 21	cvgcmp 15852	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
23	22	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
25	10	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11289	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
27	1, 24, 26	iserex 15693	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ ))
28	23, 27	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  ℤ_≥cuz 12878  seqcseq 14042  ↑cexp 14102   ⇝ cli 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  16255  rpnnen2lem7  16256  rpnnen2lem8  16257  rpnnen2lem9  16258  rpnnen2lem12  16261