MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen2lem5 16192
Description: Lemma for rpnnen2 16200. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12893 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1nn 12251 . . . . 5 1 ∈ β„•
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ 1 ∈ β„•)
4 ssid 3995 . . . . . 6 β„• βŠ† β„•
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
65rpnnen2lem2 16189 . . . . . 6 (β„• βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
74, 6mp1i 13 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
95rpnnen2lem2 16189 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
115rpnnen2lem3 16190 . . . . 5 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2)
12 seqex 13998 . . . . . 6 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ V
13 ovex 7448 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ V
1412, 13breldm 5905 . . . . 5 (seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ dom ⇝ )
1511, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ dom ⇝ )
16 elnnuz 12894 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
175rpnnen2lem4 16191 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ β„• βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
184, 17mp3an2 1445 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
1916, 18sylan2br 593 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
2019simpld 493 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜))
2119simprd 494 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜))
221, 3, 8, 10, 15, 20, 21cvgcmp 15792 . . 3 (𝐴 βŠ† β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
2322adantr 479 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
24 simpr 483 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2510adantlr 713 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2625recnd 11270 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
271, 24, 26iserex 15633 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ ))
2823, 27mpbid 231 1 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  ifcif 4524  π’« cpw 4598   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   ≀ cle 11277   / cdiv 11899  β„•cn 12240  2c2 12295  3c3 12296  β„€β‰₯cuz 12850  seqcseq 13996  β†‘cexp 14056   ⇝ cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  16193  rpnnen2lem7  16194  rpnnen2lem8  16195  rpnnen2lem9  16196  rpnnen2lem12  16199
  Copyright terms: Public domain W3C validator