Theorem rpnnen2lem5 16186

Description: Lemma for rpnnen2 16194. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem5	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem5

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12836	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1nn 12197	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 1 ∈ ℕ)
4		ssid 3969	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
5		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6	5	rpnnen2lem2 16183	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
7	4, 6	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
8	7	ffvelcdmda 7056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
9	5	rpnnen2lem2 16183	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
10	9	ffvelcdmda 7056	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
11	5	rpnnen2lem3 16184	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
12		seqex 13968	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ V
13		ovex 7420	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ V
14	12, 13	breldm 5872	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2) → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
15	11, 14	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
16		elnnuz 12837	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	rpnnen2lem4 16185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
18	4, 17	mp3an2 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
19	16, 18	sylan2br 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
20	19	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
21	19	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
22	1, 3, 8, 10, 15, 20, 21	cvgcmp 15782	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
23	22	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
24		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
25	10	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11202	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
27	1, 24, 26	iserex 15623	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ ))
28	23, 27	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  ℤ_≥cuz 12793  seqcseq 13966  ↑cexp 14026   ⇝ cli 15450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-ico 13312  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  16187  rpnnen2lem7  16188  rpnnen2lem8  16189  rpnnen2lem9  16190  rpnnen2lem12  16193