MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem5 15559
Description: Lemma for rpnnen2 15567. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12269 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1nn 11637 . . . . 5 1 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℕ → 1 ∈ ℕ)
4 ssid 3986 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
65rpnnen2lem2 15556 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
74, 6mp1i 13 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
87ffvelrnda 6843 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
95rpnnen2lem2 15556 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
109ffvelrnda 6843 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
115rpnnen2lem3 15557 . . . . 5 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
12 seqex 13359 . . . . . 6 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ V
13 ovex 7178 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ V
1412, 13breldm 5770 . . . . 5 (seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2) → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
1511, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
16 elnnuz 12270 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
175rpnnen2lem4 15558 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
184, 17mp3an2 1440 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
1916, 18sylan2br 594 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2019simpld 495 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘))
2119simprd 496 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
221, 3, 8, 10, 15, 20, 21cvgcmp 15159 . . 3 (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
2322adantr 481 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
24 simpr 485 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
2510adantlr 711 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
2625recnd 10657 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
271, 24, 26iserex 15001 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ ))
2823, 27mpbid 233 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  cuz 12231  seqcseq 13357  cexp 13417  cli 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  15560  rpnnen2lem7  15561  rpnnen2lem8  15562  rpnnen2lem9  15563  rpnnen2lem12  15566
  Copyright terms: Public domain W3C validator