MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen2lem5 16157
Description: Lemma for rpnnen2 16165. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12861 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1nn 12219 . . . . 5 1 ∈ β„•
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ 1 ∈ β„•)
4 ssid 4003 . . . . . 6 β„• βŠ† β„•
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
65rpnnen2lem2 16154 . . . . . 6 (β„• βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
74, 6mp1i 13 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7083 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
95rpnnen2lem2 16154 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7083 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
115rpnnen2lem3 16155 . . . . 5 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2)
12 seqex 13964 . . . . . 6 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ V
13 ovex 7438 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ V
1412, 13breldm 5906 . . . . 5 (seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ dom ⇝ )
1511, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ dom ⇝ )
16 elnnuz 12862 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
175rpnnen2lem4 16156 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ β„• βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
184, 17mp3an2 1449 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
1916, 18sylan2br 595 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
2019simpld 495 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜))
2119simprd 496 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜))
221, 3, 8, 10, 15, 20, 21cvgcmp 15758 . . 3 (𝐴 βŠ† β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
2322adantr 481 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
24 simpr 485 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2510adantlr 713 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2625recnd 11238 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
271, 24, 26iserex 15599 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ ))
2823, 27mpbid 231 1 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ≀ cle 11245   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  3c3 12264  β„€β‰₯cuz 12818  seqcseq 13962  β†‘cexp 14023   ⇝ cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  16158  rpnnen2lem7  16159  rpnnen2lem8  16160  rpnnen2lem9  16161  rpnnen2lem12  16164
  Copyright terms: Public domain W3C validator