MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen2lem5 16180
Description: Lemma for rpnnen2 16188. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12881 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1nn 12239 . . . . 5 1 ∈ β„•
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ 1 ∈ β„•)
4 ssid 4000 . . . . . 6 β„• βŠ† β„•
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
65rpnnen2lem2 16177 . . . . . 6 (β„• βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
74, 6mp1i 13 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
95rpnnen2lem2 16177 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
115rpnnen2lem3 16178 . . . . 5 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2)
12 seqex 13986 . . . . . 6 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ V
13 ovex 7447 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ V
1412, 13breldm 5905 . . . . 5 (seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ dom ⇝ )
1511, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ dom ⇝ )
16 elnnuz 12882 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
175rpnnen2lem4 16179 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ β„• βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
184, 17mp3an2 1446 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
1916, 18sylan2br 594 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
2019simpld 494 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜))
2119simprd 495 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜))
221, 3, 8, 10, 15, 20, 21cvgcmp 15780 . . 3 (𝐴 βŠ† β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
2322adantr 480 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
24 simpr 484 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2510adantlr 714 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2625recnd 11258 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
271, 24, 26iserex 15621 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ ))
2823, 27mpbid 231 1 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  π’« cpw 4598   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ≀ cle 11265   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  3c3 12284  β„€β‰₯cuz 12838  seqcseq 13984  β†‘cexp 14044   ⇝ cli 15446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  16181  rpnnen2lem7  16182  rpnnen2lem8  16183  rpnnen2lem9  16184  rpnnen2lem12  16187
  Copyright terms: Public domain W3C validator