Theorem rpnnen2lem5 16309

Description: Lemma for rpnnen2 16317. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem5	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem5

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12929	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1nn 12271	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → 1 ∈ ℕ)
4		ssid 3953	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
5		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6	5	rpnnen2lem2 16306	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
7	4, 6	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
8	7	ffvelcdmda 7078	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
9	5	rpnnen2lem2 16306	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
10	9	ffvelcdmda 7078	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
11	5	rpnnen2lem3 16307	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
12		seqex 14070	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ V
13		ovex 7447	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ V
14	12, 13	breldm 5892	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2) → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
15	11, 14	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
16		elnnuz 12930	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	rpnnen2lem4 16308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
18	4, 17	mp3an2 1478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
19	16, 18	sylan2br 607	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
20	19	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
21	19	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
22	1, 3, 8, 10, 15, 20, 21	cvgcmp 15906	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
23	22	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
24		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
25	10	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
26	25	recnd 11264	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
27	1, 24, 26	iserex 15747	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ ))
28	23, 27	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  ℤ_≥cuz 12890  seqcseq 14068  ↑cexp 14128   ⇝ cli 15574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-ico 13407  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777

This theorem is used by:  rpnnen2lem6  16310  rpnnen2lem7  16311  rpnnen2lem8  16312  rpnnen2lem9  16313  rpnnen2lem12  16316