MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem5 16107
Description: Lemma for rpnnen2 16115. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12813 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1nn 12171 . . . . 5 1 ∈ β„•
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ 1 ∈ β„•)
4 ssid 3971 . . . . . 6 β„• βŠ† β„•
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
65rpnnen2lem2 16104 . . . . . 6 (β„• βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
74, 6mp1i 13 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7040 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
95rpnnen2lem2 16104 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
109ffvelcdmda 7040 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
115rpnnen2lem3 16105 . . . . 5 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2)
12 seqex 13915 . . . . . 6 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ V
13 ovex 7395 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ V
1412, 13breldm 5869 . . . . 5 (seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ dom ⇝ )
1511, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 βŠ† β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ∈ dom ⇝ )
16 elnnuz 12814 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
175rpnnen2lem4 16106 . . . . . . 7 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ β„• βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
184, 17mp3an2 1450 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
1916, 18sylan2br 596 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
2019simpld 496 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜))
2119simprd 497 . . . 4 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜))
221, 3, 8, 10, 15, 20, 21cvgcmp 15708 . . 3 (𝐴 βŠ† β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
2322adantr 482 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
24 simpr 486 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
2510adantlr 714 . . . 4 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2625recnd 11190 . . 3 (((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
271, 24, 26iserex 15548 . 2 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (seq1( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ ))
2823, 27mpbid 231 1 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  β„€β‰₯cuz 12770  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974   ⇝ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  16108  rpnnen2lem7  16109  rpnnen2lem8  16110  rpnnen2lem9  16111  rpnnen2lem12  16114
  Copyright terms: Public domain W3C validator