Theorem dvef 26139

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	⊢ (ℂ D exp) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 26067	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ
2		dvbsss 26061	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (ℂ D exp) ⊆ ℂ
3		subcl 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
4	3	ancoms 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ)
5		efadd 16143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥))))
6	4, 5	syldan 602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧 − 𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥))))
7		pncan3 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑧 − 𝑥)) = 𝑧)
8	7	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧 − 𝑥))) = (exp‘𝑧))
9	6, 8	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥))) = (exp‘𝑧))
10	9	mpteq2dva 5204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
11		cnex 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
13		fvexd 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ V)
14		fvexd 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑧 − 𝑥)) ∈ V)
15		fconstmpt 5723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ × {(exp‘𝑥)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
17		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))
18	12, 13, 14, 16, 17	offval2 7694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘f · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))
19		eff 16130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
21	20	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
22	10, 18, 21	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘f · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))) = exp)
23	22	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘f · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))) = (ℂ D exp))
24		efcl 16131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
25		fconstg 6765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶{(exp‘𝑥)})
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶{(exp‘𝑥)})
27	24	snssd 4752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → {(exp‘𝑥)} ⊆ ℂ)
28	26, 27	fssd 6723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶ℂ)
29		ssidd 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
30		efcl 16131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 − 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
31	4, 30	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
32	31	fmpttd 7110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))):ℂ⟶ℂ)
33		c0ex 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ V
34	33	snid 4628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ {0}
35		opelxpi 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ {0}) → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ × {0}))
36	34, 35	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ × {0}))
37		dvconst 26076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘𝑥) ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})) = (ℂ × {0}))
38	24, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})) = (ℂ × {0}))
39	36, 38	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})))
40		df-br 5110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥(ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)}))0 ↔ ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})))
41	39, 40	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)}))0)
42	20, 4	cofmpt 7128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))
43	42	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)))) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))
44	4	fmpttd 7110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
45		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 − 𝑥) = (𝑥 − 𝑥))
46		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))
47		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 − 𝑥) ∈ V
48	45, 46, 47	fvmpt 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))‘𝑥) = (𝑥 − 𝑥))
49		subid 11472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 𝑥) = 0)
50	48, 49	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))‘𝑥) = 0)
51		dveflem 26138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0(ℂ D exp)1
52	50, 51	eqbrtrdi 5150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))‘𝑥)(ℂ D exp)1)
53		1ex 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ V
54	53	snid 4628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ {1}
55		opelxpi 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ {1}) → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ × {1}))
56	54, 55	mpan2 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ × {1}))
57		cnelprrecn 11188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
59		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
60		1cnd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
61	58	dvmptid 26116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
62		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
63		0cnd 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
64		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
65	58, 64	dvmptc 26117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
66	58, 59, 60, 61, 62, 63, 65	dvmptsub 26126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
67		1m0e1 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − 0) = 1
68	67	mpteq2i 5207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
69		fconstmpt 5723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
70	68, 69	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (ℂ × {1})
71	66, 70	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))) = (ℂ × {1}))
72	56, 71	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))
73		df-br 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)))1 ↔ ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))
74	72, 73	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥)))1)
75		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
76	20, 29, 44, 29, 29, 29, 52, 74, 75	dvcobr 26105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))(1 · 1))
77		1t1e1 12397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
78	76, 77	breqtrdi 5152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧 − 𝑥))))1)
79	43, 78	breqdi 5124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥))))1)
80	28, 29, 32, 29, 29, 41, 79, 75	dvmulbr 26098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘f · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))))
81	32, 64	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥) ∈ ℂ)
82	81	mul02d 11403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥)) = 0)
83		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘𝑥) ∈ V
84	83	fvconst2 7202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥) = (exp‘𝑥))
85	84	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥)) = (1 · (exp‘𝑥)))
86	24	mullidd 11222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
87	85, 86	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
88	82, 87	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))) = (0 + (exp‘𝑥)))
89	24	addlidd 11406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
90	88, 89	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))) = (exp‘𝑥))
91	80, 90	breqtrd 5137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘f · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧 − 𝑥)))))(exp‘𝑥))
92	23, 91	breqdi 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥))
93		vex 3459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
94	93, 83	breldm 5898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D exp))
95	92, 94	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ dom (ℂ D exp))
96	95	ssriv 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ⊆ dom (ℂ D exp)
97	2, 96	eqssi 3953	. . . . . . . 8 ⊢ dom (ℂ D exp) = ℂ
98	97	feq2i 6697	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ ↔ (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ)
99	1, 98	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ
100	99	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ)
101	100	feqmptd 6949	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((ℂ D exp)‘𝑥)))
102		ffun 6708	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ → Fun (ℂ D exp))
103	1, 102	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (ℂ D exp)
104		funbrfv 6929	. . . . . 6 ⊢ (Fun (ℂ D exp) → (𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥) → ((ℂ D exp)‘𝑥) = (exp‘𝑥)))
105	103, 92, 104	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ D exp)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
106	105	mpteq2ia 5206	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((ℂ D exp)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
107	101, 106	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
108	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
109	108	feqmptd 6949	. . 3 ⊢ (⊤ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
110	107, 109	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = exp)
111	110	mptru 1577	1 ⊢ (ℂ D exp) = exp

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  dom cdm 5661   ∘ ccom 5665  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  ℂcc 11093  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   − cmin 11436  expce 16110  TopOpenctopn 17469  ℂ_fldccnfld 21522   D cdv 26022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026

This theorem is referenced by:  dvsincos  26140  efcn  26606  efcvx  26612  pige3ALT  26685  dvrelog  26802  dvlog  26816  dvcxp1  26905  dvcxp2  26906  dvcncxp1  26908  itgexpif  34993  dvsef  45062  expgrowthi  45063  expgrowth  45065