MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvef 25899
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef (β„‚ D exp) = exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 25824 . . . . . . 7 (β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚
2 dvbsss 25818 . . . . . . . . 9 dom (β„‚ D exp) βŠ† β„‚
3 subcl 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
43ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
5 efadd 16062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
64, 5syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
7 pncan3 11490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝑧)
87fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (expβ€˜π‘§))
96, 8eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (expβ€˜π‘§))
109mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
11 cnex 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‚ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ V)
13 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ V)
14 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ V)
15 fconstmpt 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
17 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
1812, 13, 14, 16, 17offval2 7699 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))
19 eff 16049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 exp:β„‚βŸΆβ„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
2120feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ exp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
2210, 18, 213eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = exp)
2322oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))) = (β„‚ D exp))
24 efcl 16050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
25 fconstg 6778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆ{(expβ€˜π‘₯)})
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆ{(expβ€˜π‘₯)})
2724snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ {(expβ€˜π‘₯)} βŠ† β„‚)
2826, 27fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆβ„‚)
29 ssidd 4001 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
30 efcl 16050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
314, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
3231fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))):β„‚βŸΆβ„‚)
33 c0ex 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
3433snid 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ {0}
35 opelxpi 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ {0}) β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ Γ— {0}))
3634, 35mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ Γ— {0}))
37 dvconst 25833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})) = (β„‚ Γ— {0}))
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})) = (β„‚ Γ— {0}))
3936, 38eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})))
40 df-br 5143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}))0 ↔ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})))
4139, 40sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}))0)
4220, 4cofmpt 7135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
4342oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))
444fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
45 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘₯ βˆ’ π‘₯))
46 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))
47 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ βˆ’ π‘₯) ∈ V
4845, 46, 47fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯) = (π‘₯ βˆ’ π‘₯))
49 subid 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ π‘₯) = 0)
5048, 49eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯) = 0)
51 dveflem 25898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0(β„‚ D exp)1
5250, 51eqbrtrdi 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯)(β„‚ D exp)1)
53 1ex 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ V
5453snid 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ {1}
55 opelxpi 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ {1}) β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ Γ— {1}))
5654, 55mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ Γ— {1}))
57 cnelprrecn 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
60 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
6158dvmptid 25876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1))
62 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
63 0cnd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„‚)
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6558, 64dvmptc 25877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 0))
6658, 59, 60, 61, 62, 63, 65dvmptsub 25886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)))
67 1m0e1 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 βˆ’ 0) = 1
6867mpteq2i 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1)
69 fconstmpt 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„‚ Γ— {1}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1)
7068, 69eqtr4i 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)) = (β„‚ Γ— {1})
7166, 70eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (β„‚ Γ— {1}))
7256, 71eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
73 df-br 5143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))1 ↔ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
7472, 73sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))1)
75 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7620, 29, 44, 29, 29, 29, 52, 74, 75dvcobr 25864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))(1 Β· 1))
77 1t1e1 12396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 1) = 1
7876, 77breqtrdi 5183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))1)
7943, 78breqdi 5157 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))1)
8028, 29, 32, 29, 29, 41, 79, 75dvmulbr 25856 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))))
8132, 64ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8281mul02d 11434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) = 0)
83 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (expβ€˜π‘₯) ∈ V
8483fvconst2 7210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯))
8584oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯)) = (1 Β· (expβ€˜π‘₯)))
8624mullidd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· (expβ€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
8785, 86eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
8882, 87oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))) = (0 + (expβ€˜π‘₯)))
8924addlidd 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 + (expβ€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
9088, 89eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))) = (expβ€˜π‘₯))
9180, 90breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))(expβ€˜π‘₯))
9223, 91breqdi 5157 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯))
93 vex 3473 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
9493, 83breldm 5905 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D exp))
9592, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D exp))
9695ssriv 3982 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† dom (β„‚ D exp)
972, 96eqssi 3994 . . . . . . . 8 dom (β„‚ D exp) = β„‚
9897feq2i 6708 . . . . . . 7 ((β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚)
991, 98mpbi 229 . . . . . 6 (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚
10099a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚)
101100feqmptd 6961 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯)))
102 ffun 6719 . . . . . . 7 ((β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (β„‚ D exp))
1031, 102ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (β„‚ D exp)
104 funbrfv 6942 . . . . . 6 (Fun (β„‚ D exp) β†’ (π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯) β†’ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯)))
105103, 92, 104mpsyl 68 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯))
106105mpteq2ia 5245 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
107101, 106eqtrdi 2783 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
10819a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
109108feqmptd 6961 . . 3 (⊀ β†’ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
110107, 109eqtr4d 2770 . 2 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = exp)
111110mptru 1541 1 (β„‚ D exp) = exp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672   ∘ ccom 5676  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135   βˆ’ cmin 11466  expce 16029  TopOpenctopn 17394  β„‚fldccnfld 21266   D cdv 25779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  dvsincos  25900  efcn  26367  efcvx  26373  pige3ALT  26441  dvrelog  26558  dvlog  26572  dvcxp1  26661  dvcxp2  26662  dvcncxp1  26664  itgexpif  34174  dvsef  43692  expgrowthi  43693  expgrowth  43695
  Copyright terms: Public domain W3C validator