MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvef 25834
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef (β„‚ D exp) = exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 25759 . . . . . . 7 (β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚
2 dvbsss 25753 . . . . . . . . 9 dom (β„‚ D exp) βŠ† β„‚
3 subcl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
43ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
5 efadd 16034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
64, 5syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
7 pncan3 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝑧)
87fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (expβ€˜π‘§))
96, 8eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (expβ€˜π‘§))
109mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
11 cnex 11187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‚ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ V)
13 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ V)
14 fvexd 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ V)
15 fconstmpt 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
17 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
1812, 13, 14, 16, 17offval2 7683 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))
19 eff 16022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 exp:β„‚βŸΆβ„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
2120feqmptd 6950 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ exp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
2210, 18, 213eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = exp)
2322oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))) = (β„‚ D exp))
24 efcl 16023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
25 fconstg 6768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆ{(expβ€˜π‘₯)})
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆ{(expβ€˜π‘₯)})
2724snssd 4804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ {(expβ€˜π‘₯)} βŠ† β„‚)
2826, 27fssd 6725 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆβ„‚)
29 ssidd 3997 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
30 efcl 16023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
314, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
3231fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))):β„‚βŸΆβ„‚)
33 c0ex 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
3433snid 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ {0}
35 opelxpi 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ {0}) β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ Γ— {0}))
3634, 35mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ Γ— {0}))
37 dvconst 25768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})) = (β„‚ Γ— {0}))
3824, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})) = (β„‚ Γ— {0}))
3936, 38eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})))
40 df-br 5139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}))0 ↔ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})))
4139, 40sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}))0)
4220, 4cofmpt 7122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
4342oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))
444fmpttd 7106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
45 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘₯ βˆ’ π‘₯))
46 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))
47 ovex 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ βˆ’ π‘₯) ∈ V
4845, 46, 47fvmpt 6988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯) = (π‘₯ βˆ’ π‘₯))
49 subid 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ π‘₯) = 0)
5048, 49eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯) = 0)
51 dveflem 25833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0(β„‚ D exp)1
5250, 51eqbrtrdi 5177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯)(β„‚ D exp)1)
53 1ex 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ V
5453snid 4656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ {1}
55 opelxpi 5703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ {1}) β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ Γ— {1}))
5654, 55mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ Γ— {1}))
57 cnelprrecn 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
59 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
60 1cnd 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
6158dvmptid 25811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1))
62 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
63 0cnd 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„‚)
64 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6558, 64dvmptc 25812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 0))
6658, 59, 60, 61, 62, 63, 65dvmptsub 25821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)))
67 1m0e1 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 βˆ’ 0) = 1
6867mpteq2i 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1)
69 fconstmpt 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„‚ Γ— {1}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1)
7068, 69eqtr4i 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)) = (β„‚ Γ— {1})
7166, 70eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (β„‚ Γ— {1}))
7256, 71eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
73 df-br 5139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))1 ↔ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
7472, 73sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))1)
75 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7620, 29, 44, 29, 29, 29, 52, 74, 75dvcobr 25799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))(1 Β· 1))
77 1t1e1 12371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 1) = 1
7876, 77breqtrdi 5179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))1)
7943, 78breqdi 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))1)
8028, 29, 32, 29, 29, 41, 79, 75dvmulbr 25791 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))))
8132, 64ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8281mul02d 11409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) = 0)
83 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (expβ€˜π‘₯) ∈ V
8483fvconst2 7197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯))
8584oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯)) = (1 Β· (expβ€˜π‘₯)))
8624mullidd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· (expβ€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
8785, 86eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
8882, 87oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))) = (0 + (expβ€˜π‘₯)))
8924addlidd 11412 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 + (expβ€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
9088, 89eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))) = (expβ€˜π‘₯))
9180, 90breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))(expβ€˜π‘₯))
9223, 91breqdi 5153 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯))
93 vex 3470 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
9493, 83breldm 5898 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D exp))
9592, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D exp))
9695ssriv 3978 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† dom (β„‚ D exp)
972, 96eqssi 3990 . . . . . . . 8 dom (β„‚ D exp) = β„‚
9897feq2i 6699 . . . . . . 7 ((β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚)
991, 98mpbi 229 . . . . . 6 (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚
10099a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚)
101100feqmptd 6950 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯)))
102 ffun 6710 . . . . . . 7 ((β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (β„‚ D exp))
1031, 102ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (β„‚ D exp)
104 funbrfv 6932 . . . . . 6 (Fun (β„‚ D exp) β†’ (π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯) β†’ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯)))
105103, 92, 104mpsyl 68 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯))
106105mpteq2ia 5241 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
107101, 106eqtrdi 2780 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
10819a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
109108feqmptd 6950 . . 3 (⊀ β†’ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
110107, 109eqtr4d 2767 . 2 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = exp)
111110mptru 1540 1 (β„‚ D exp) = exp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4620  {cpr 4622  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666   ∘ ccom 5670  Fun wfun 6527  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∘f cof 7661  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11441  expce 16002  TopOpenctopn 17366  β„‚fldccnfld 21228   D cdv 25714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718
This theorem is referenced by:  dvsincos  25835  efcn  26297  efcvx  26303  pige3ALT  26371  dvrelog  26487  dvlog  26501  dvcxp1  26590  dvcxp2  26591  dvcncxp1  26593  itgexpif  34107  dvsef  43580  expgrowthi  43581  expgrowth  43583
  Copyright terms: Public domain W3C validator