MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvef 25497
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef (β„‚ D exp) = exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 25425 . . . . . . 7 (β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚
2 dvbsss 25419 . . . . . . . . 9 dom (β„‚ D exp) βŠ† β„‚
3 subcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
43ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
5 efadd 16037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
64, 5syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
7 pncan3 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = 𝑧)
87fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(π‘₯ + (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (expβ€˜π‘§))
96, 8eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (expβ€˜π‘§))
109mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
11 cnex 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„‚ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ V)
13 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ V)
14 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ V)
15 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
17 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
1812, 13, 14, 16, 17offval2 7690 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ ((expβ€˜π‘₯) Β· (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))
19 eff 16025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 exp:β„‚βŸΆβ„‚
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
2120feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ exp = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘§)))
2210, 18, 213eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = exp)
2322oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))) = (β„‚ D exp))
24 efcl 16026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
25 fconstg 6779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆ{(expβ€˜π‘₯)})
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆ{(expβ€˜π‘₯)})
2724snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ {(expβ€˜π‘₯)} βŠ† β„‚)
2826, 27fssd 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}):β„‚βŸΆβ„‚)
29 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
30 efcl 16026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
314, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
3231fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))):β„‚βŸΆβ„‚)
33 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„‚)
34 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
35 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
3635snid 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ {0}
37 opelxpi 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ {0}) β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ Γ— {0}))
3836, 37mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ Γ— {0}))
39 dvconst 25434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((expβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})) = (β„‚ Γ— {0}))
4024, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})) = (β„‚ Γ— {0}))
4138, 40eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})))
42 df-br 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}))0 ↔ ⟨π‘₯, 0⟩ ∈ (β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})))
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}))0)
4420, 4cofmpt 7130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))
4544oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))) = (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))
464fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)):β„‚βŸΆβ„‚)
47 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = π‘₯ β†’ (𝑧 βˆ’ π‘₯) = (π‘₯ βˆ’ π‘₯))
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))
49 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ βˆ’ π‘₯) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯) = (π‘₯ βˆ’ π‘₯))
51 subid 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ π‘₯) = 0)
5250, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯) = 0)
53 dveflem 25496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0(β„‚ D exp)1
5452, 53eqbrtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))β€˜π‘₯)(β„‚ D exp)1)
55 1ex 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ V
5655snid 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ {1}
57 opelxpi 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ {1}) β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ Γ— {1}))
5856, 57mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ Γ— {1}))
59 cnelprrecn 11203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
61 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
62 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 1 ∈ β„‚)
6360dvmptid 25474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1))
64 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
65 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ 0 ∈ β„‚)
66 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6760, 66dvmptc 25475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ π‘₯)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 0))
6860, 61, 62, 63, 64, 65, 67dvmptsub 25484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)))
69 1m0e1 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 βˆ’ 0) = 1
7069mpteq2i 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1)
71 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (β„‚ Γ— {1}) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ 1)
7270, 71eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (1 βˆ’ 0)) = (β„‚ Γ— {1})
7368, 72eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (β„‚ Γ— {1}))
7458, 73eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
75 df-br 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))1 ↔ ⟨π‘₯, 1⟩ ∈ (β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
7674, 75sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯)))1)
77 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7820, 29, 46, 29, 29, 29, 34, 34, 54, 76, 77dvcobr 25463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))(1 Β· 1))
79 1t1e1 12374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 Β· 1) = 1
8078, 79breqtrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (exp ∘ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (𝑧 βˆ’ π‘₯))))1)
8145, 80breqdi 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯))))1)
8228, 29, 32, 29, 29, 33, 34, 43, 81, 77dvmulbr 25456 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))))
8332, 66ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
8483mul02d 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) = 0)
85 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (expβ€˜π‘₯) ∈ V
8685fvconst2 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯))
8786oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯)) = (1 Β· (expβ€˜π‘₯)))
8824mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· (expβ€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
8987, 88eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
9084, 89oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))) = (0 + (expβ€˜π‘₯)))
9124addlidd 11415 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 + (expβ€˜π‘₯)) = (expβ€˜π‘₯))
9290, 91eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((0 Β· ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘₯)) + (1 Β· ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)})β€˜π‘₯))) = (expβ€˜π‘₯))
9382, 92breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D ((β„‚ Γ— {(expβ€˜π‘₯)}) ∘f Β· (𝑧 ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜(𝑧 βˆ’ π‘₯)))))(expβ€˜π‘₯))
9423, 93breqdi 5164 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯))
95 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
9695, 85breldm 5909 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D exp))
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ dom (β„‚ D exp))
9897ssriv 3987 . . . . . . . . 9 β„‚ βŠ† dom (β„‚ D exp)
992, 98eqssi 3999 . . . . . . . 8 dom (β„‚ D exp) = β„‚
10099feq2i 6710 . . . . . . 7 ((β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚)
1011, 100mpbi 229 . . . . . 6 (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚
102101a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ D exp):β„‚βŸΆβ„‚)
103102feqmptd 6961 . . . 4 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯)))
104 ffun 6721 . . . . . . 7 ((β„‚ D exp):dom (β„‚ D exp)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (β„‚ D exp))
1051, 104ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (β„‚ D exp)
106 funbrfv 6943 . . . . . 6 (Fun (β„‚ D exp) β†’ (π‘₯(β„‚ D exp)(expβ€˜π‘₯) β†’ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯)))
107105, 94, 106mpsyl 68 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯) = (expβ€˜π‘₯))
108107mpteq2ia 5252 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ ((β„‚ D exp)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯))
109103, 108eqtrdi 2789 . . 3 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
11019a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
111110feqmptd 6961 . . 3 (⊀ β†’ exp = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (expβ€˜π‘₯)))
112109, 111eqtr4d 2776 . 2 (⊀ β†’ (β„‚ D exp) = exp)
113112mptru 1549 1 (β„‚ D exp) = exp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  expce 16005  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvsincos  25498  efcn  25955  efcvx  25961  pige3ALT  26029  dvrelog  26145  dvlog  26159  dvcxp1  26248  dvcxp2  26249  dvcncxp1  26251  itgexpif  33618  dvsef  43091  expgrowthi  43092  expgrowth  43094
  Copyright terms: Public domain W3C validator