MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvef 23957
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef (ℂ D exp) = exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfcn 23886 . . . . . . 7 (ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ
2 dvbsss 23880 . . . . . . . . 9 dom (ℂ D exp) ⊆ ℂ
3 efcl 15033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (exp‘𝑥) ∈ ℂ)
4 fconstg 6307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘𝑥) ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶{(exp‘𝑥)})
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶{(exp‘𝑥)})
63snssd 4530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → {(exp‘𝑥)} ⊆ ℂ)
75, 6fssd 6270 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}):ℂ⟶ℂ)
8 ssidd 3821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
9 subcl 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧𝑥) ∈ ℂ)
109ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝑥) ∈ ℂ)
11 efcl 15033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(𝑧𝑥)) ∈ ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑧𝑥)) ∈ ℂ)
1312fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥))):ℂ⟶ℂ)
14 0cn 10317 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
16 ax-1cn 10279 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
1814elexi 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
1918snid 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ {0}
20 opelxpi 5348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ {0}) → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ × {0}))
2119, 20mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ × {0}))
22 dvconst 23894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘𝑥) ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})) = (ℂ × {0}))
233, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})) = (ℂ × {0}))
2421, 23eleqtrrd 2888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})))
25 df-br 4845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)}))0 ↔ ⟨𝑥, 0⟩ ∈ (ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)})))
2624, 25sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (ℂ × {(exp‘𝑥)}))0)
27 eff 15032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 exp:ℂ⟶ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → exp:ℂ⟶ℂ)
2910fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥)):ℂ⟶ℂ)
30 oveq1 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑥) = (𝑥𝑥))
31 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))
32 ovex 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝑥) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))‘𝑥) = (𝑥𝑥))
34 subid 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑥) = 0)
3533, 34eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))‘𝑥) = 0)
36 dveflem 23956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0(ℂ D exp)1
3735, 36syl6eqbr 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))‘𝑥)(ℂ D exp)1)
3816elexi 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ V
3938snid 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ {1}
40 opelxpi 5348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ {1}) → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ × {1}))
4139, 40mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ × {1}))
42 cnelprrecn 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
44 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
4516a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4643dvmptid 23934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1))
47 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
5043, 49dvmptc 23935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
5143, 44, 45, 46, 47, 48, 50dvmptsub 23944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)))
52 1m0e1 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 − 0) = 1
5352mpteq2i 4935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
54 fconstmpt 5363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℂ × {1}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 1)
5553, 54eqtr4i 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (1 − 0)) = (ℂ × {1})
5651, 55syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))) = (ℂ × {1}))
5741, 56eleqtrrd 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))))
58 df-br 4845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥)))1 ↔ ⟨𝑥, 1⟩ ∈ (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))))
5957, 58sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥)))1)
60 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6128, 8, 29, 8, 8, 8, 17, 17, 37, 59, 60dvcobr 23923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))))(1 · 1))
62 1t1e1 11453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 1) = 1
6361, 62syl6breq 4885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))))1)
64 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥)))
6528feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
66 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑧𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(𝑧𝑥)))
6710, 64, 65, 66fmptco 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥))))
6867oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥)))) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))))
6968breqd 4855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ℂ D (exp ∘ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑥))))1 ↔ 𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥))))1))
7063, 69mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥))))1)
717, 8, 13, 8, 8, 15, 17, 26, 70, 60dvmulbr 23916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))))((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))))
7213, 49ffvelrnd 6582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))‘𝑥) ∈ ℂ)
7372mul02d 10519 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → (0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))‘𝑥)) = 0)
74 fvex 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘𝑥) ∈ V
7574fvconst2 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥) = (exp‘𝑥))
7675oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥)) = (1 · (exp‘𝑥)))
773mulid2d 10343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
7876, 77eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
7973, 78oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))) = (0 + (exp‘𝑥)))
803addid2d 10522 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + (exp‘𝑥)) = (exp‘𝑥))
8179, 80eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → ((0 · ((𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))‘𝑥)) + (1 · ((ℂ × {(exp‘𝑥)})‘𝑥))) = (exp‘𝑥))
8271, 81breqtrd 4870 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))))(exp‘𝑥))
83 cnex 10302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ V
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → ℂ ∈ V)
8574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘𝑥) ∈ V)
86 fvex 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (exp‘(𝑧𝑥)) ∈ V
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑧𝑥)) ∈ V)
88 fconstmpt 5363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ × {(exp‘𝑥)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ × {(exp‘𝑥)}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
90 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥))))
9184, 85, 87, 89, 90offval2 7144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧𝑥)))))
9228feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
93 efadd 15044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑥) ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧𝑥))))
9410, 93syldan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) = ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧𝑥))))
95 pncan3 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑧𝑥)) = 𝑧)
9695fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑥 + (𝑧𝑥))) = (exp‘𝑧))
9794, 96eqtr3d 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧𝑥))) = (exp‘𝑧))
9897mpteq2dva 4938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧𝑥)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑧)))
9992, 98eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → exp = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((exp‘𝑥) · (exp‘(𝑧𝑥)))))
10091, 99eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))) = exp)
101100oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥))))) = (ℂ D exp))
102101breqd 4855 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(ℂ D ((ℂ × {(exp‘𝑥)}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℂ ↦ (exp‘(𝑧𝑥)))))(exp‘𝑥) ↔ 𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥)))
10382, 102mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥))
104 vex 3394 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
105104, 74breldm 5530 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥) → 𝑥 ∈ dom (ℂ D exp))
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ dom (ℂ D exp))
107106ssriv 3802 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ dom (ℂ D exp)
1082, 107eqssi 3814 . . . . . . . 8 dom (ℂ D exp) = ℂ
109108feq2i 6248 . . . . . . 7 ((ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ ↔ (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ)
1101, 109mpbi 221 . . . . . 6 (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ
111110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D exp):ℂ⟶ℂ)
112111feqmptd 6470 . . . 4 (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((ℂ D exp)‘𝑥)))
113 ffun 6259 . . . . . . 7 ((ℂ D exp):dom (ℂ D exp)⟶ℂ → Fun (ℂ D exp))
1141, 113ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (ℂ D exp)
115 funbrfv 6454 . . . . . 6 (Fun (ℂ D exp) → (𝑥(ℂ D exp)(exp‘𝑥) → ((ℂ D exp)‘𝑥) = (exp‘𝑥)))
116114, 103, 115mpsyl 68 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → ((ℂ D exp)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
117116mpteq2ia 4934 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((ℂ D exp)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥))
118112, 117syl6eq 2856 . . 3 (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
11927a1i 11 . . . 4 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
120119feqmptd 6470 . . 3 (⊤ → exp = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑥)))
121118, 120eqtr4d 2843 . 2 (⊤ → (ℂ D exp) = exp)
122121mptru 1645 1 (ℂ D exp) = exp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1637  wtru 1638  wcel 2156  Vcvv 3391  {csn 4370  {cpr 4372  cop 4376   class class class wbr 4844  cmpt 4923   × cxp 5309  dom cdm 5311  ccom 5315  Fun wfun 6095  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  𝑓 cof 7125  cc 10219  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224   · cmul 10226  cmin 10551  expce 15012  TopOpenctopn 16287  fldccnfld 19954   D cdv 23841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-seq 13025  df-exp 13084  df-fac 13281  df-bc 13310  df-hash 13338  df-shft 14030  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-limsup 14425  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-ef 15018  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-rest 16288  df-topn 16289  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-topgen 16309  df-pt 16310  df-prds 16313  df-xrs 16367  df-qtop 16372  df-imas 16373  df-xps 16375  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-submnd 17541  df-mulg 17746  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-fbas 19951  df-fg 19952  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-topsp 20951  df-bases 20964  df-cld 21037  df-ntr 21038  df-cls 21039  df-nei 21116  df-lp 21154  df-perf 21155  df-cn 21245  df-cnp 21246  df-haus 21333  df-tx 21579  df-hmeo 21772  df-fil 21863  df-fm 21955  df-flim 21956  df-flf 21957  df-xms 22338  df-ms 22339  df-tms 22340  df-cncf 22894  df-limc 23844  df-dv 23845
This theorem is referenced by:  dvsincos  23958  efcn  24411  efcvx  24417  pige3  24484  dvrelog  24597  dvlog  24611  dvcxp1  24695  dvcxp2  24696  dvcncxp1  24698  itgexpif  31009  dvsef  39031  expgrowthi  39032  expgrowth  39034
  Copyright terms: Public domain W3C validator