Theorem dvradcnv2 44439

Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 26357 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (ℂ D 𝐹) in pserdv2 26367 (and shows how to use uzmptshftfval 44438 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvradcnv2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
dvradcnv2.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
dvradcnv2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv2.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvradcnv2	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑋   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11104	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ax-1cn 11064	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	subnegi 11440	. . . 4 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
4		0p1e1 12242	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
5	3, 4	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (0 − -1) = 1
6		seqeq1 13911	. . 3 ⊢ ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8		dvradcnv2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
9		ovex 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ∈ V
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → 𝑛 = (𝑚 − -1))
11		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘(𝑚 − -1)))
12	10, 11	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 · (𝐴‘𝑛)) = ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))))
13		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 − 1) = ((𝑚 − -1) − 1))
14	13	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))
15	12, 14	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))))
16		nnuz 12775	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		nn0uz 12774	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18		1pneg1e0 12239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
19	18	fveq2i 6825	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 + -1)) = (ℤ≥‘0)
20	17, 19	eqtr4i 2757	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 + -1))
21		1zzd 12503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	21	znegcld 12579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
23	8, 9, 15, 16, 20, 21, 22	uzmptshftfval 44438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))))
24		nn0cn 12391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
26		1cnd 11107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26	subnegd 11479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 − -1) = (𝑚 + 1))
28	27	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 − -1)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
29	27, 28	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
30	27	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
31	25, 26	pncand 11473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
32	30, 31	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = 𝑚)
33	32	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)) = (𝑋↑𝑚))
34	29, 33	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
35	34	mpteq2dva 5182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
36	23, 35	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
37	36	seqeq3d 13916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))))
38		dvradcnv2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
39		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
40		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑚))
41	39, 40	oveq12d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
42	41	cbvmptv 5193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
43	42	mpteq2i 5185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
44	38, 43	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
45		dvradcnv2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
47		dvradcnv2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		dvradcnv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
49		dvradcnv2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	dvradcnv 26357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
51	37, 50	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52		climdm 15461	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
53	51, 52	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54		0z 12479	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
55		neg1z 12508	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
56		nnex 12131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	mptex 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
58	8, 57	eqeltri 2827	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ V
59	58	seqshft 14992	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1))
60	54, 55, 59	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1)
61	60	breq1i 5096	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62		seqex 13910	. . . . . 6 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V
63		climshft 15483	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V) → ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
64	55, 62, 63	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
65	61, 64	bitri 275	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
67	62, 66	breldm 5847	. . . 4 ⊢ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
68	65, 67	sylbi 217	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
69	53, 68	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
70	7, 69	eqeltrrid 2836	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  supcsup 9324  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   − cmin 11344  -cneg 11345  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  seqcseq 13908  ↑cexp 13968   shift cshi 14973  abscabs 15141   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  binomcxplemcvg  44446