Theorem dvradcnv2 45269

Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 26697 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (ℂ D 𝐹) in pserdv2 26706 (and shows how to use uzmptshftfval 45268 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvradcnv2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
dvradcnv2.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
dvradcnv2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv2.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvradcnv2	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑋   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛, 𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥, 𝑛, 𝑟)   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝐻(𝑥, 𝑛, 𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11255	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ax-1cn 11215	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	subnegi 11594	. . . 4 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
4		0p1e1 12418	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
5	3, 4	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (0 − -1) = 1
6		seqeq1 14101	. . 3 ⊢ ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8		dvradcnv2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
9		ovex 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ∈ V
10		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → 𝑛 = (𝑚 − -1))
11		fveq2 6874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘(𝑚 − -1)))
12	10, 11	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 · (𝐴‘𝑛)) = ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))))
13		oveq1 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 − 1) = ((𝑚 − -1) − 1))
14	13	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))
15	12, 14	oveq12d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))))
16		nnuz 12959	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		nn0uz 12958	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18		1pneg1e0 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
19	18	fveq2i 6877	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 + -1)) = (ℤ≥‘0)
20	17, 19	eqtr4i 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 + -1))
21		1zzd 12682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	21	znegcld 12760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
23	8, 9, 15, 16, 20, 21, 22	uzmptshftfval 45268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))))
24		nn0cn 12571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
26		1cnd 11259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26	subnegd 11633	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 − -1) = (𝑚 + 1))
28	27	fveq2d 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 − -1)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
29	27, 28	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
30	27	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
31	25, 26	pncand 11627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
32	30, 31	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = 𝑚)
33	32	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)) = (𝑋↑𝑚))
34	29, 33	oveq12d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
35	34	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
36	23, 35	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
37	36	seqeq3d 14106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))))
38		dvradcnv2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
39		fveq2 6874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
40		oveq2 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑚))
41	39, 40	oveq12d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
42	41	cbvmptv 5209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
43	42	mpteq2i 5201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
44	38, 43	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
45		dvradcnv2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
47		dvradcnv2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		dvradcnv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
49		dvradcnv2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	dvradcnv 26697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
51	37, 50	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52		climdm 15674	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
53	51, 52	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54		0z 12659	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
55		neg1z 12687	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
56		nnex 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	mptex 7218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
58	8, 57	eqeltri 2856	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ V
59	58	seqshft 15191	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1))
60	54, 55, 59	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1)
61	60	breq1i 5110	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62		seqex 14100	. . . . . 6 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V
63		climshft 15696	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V) → ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
64	55, 62, 63	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
65	61, 64	bitri 278	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66		fvex 6887	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
67	62, 66	breldm 5887	. . . 4 ⊢ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
68	65, 67	sylbi 220	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
69	53, 68	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
70	7, 69	eqeltrrid 2865	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5648  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  supcsup 9410  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162  ℝ^*cxr 11299   < clt 11300   − cmin 11498  -cneg 11499  ℕcn 12290  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  seqcseq 14098  ↑cexp 14158   shift cshi 15172  abscabs 15354   ⇝ cli 15604

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807

This theorem is used by:  binomcxplemcvg  45276