Theorem dvradcnv2 42617

Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 25780 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (ℂ D 𝐹) in pserdv2 25789 (and shows how to use uzmptshftfval 42616 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvradcnv2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
dvradcnv2.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
dvradcnv2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv2.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvradcnv2	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑋   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11147	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ax-1cn 11109	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	subnegi 11480	. . . 4 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
4		0p1e1 12275	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
5	3, 4	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (0 − -1) = 1
6		seqeq1 13909	. . 3 ⊢ ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8		dvradcnv2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
9		ovex 7390	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ∈ V
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → 𝑛 = (𝑚 − -1))
11		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘(𝑚 − -1)))
12	10, 11	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 · (𝐴‘𝑛)) = ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))))
13		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 − 1) = ((𝑚 − -1) − 1))
14	13	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))
15	12, 14	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))))
16		nnuz 12806	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		nn0uz 12805	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18		1pneg1e0 12272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
19	18	fveq2i 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 + -1)) = (ℤ≥‘0)
20	17, 19	eqtr4i 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 + -1))
21		1zzd 12534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	21	znegcld 12609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
23	8, 9, 15, 16, 20, 21, 22	uzmptshftfval 42616	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))))
24		nn0cn 12423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
26		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26	subnegd 11519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 − -1) = (𝑚 + 1))
28	27	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 − -1)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
29	27, 28	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
30	27	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
31	25, 26	pncand 11513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
32	30, 31	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = 𝑚)
33	32	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)) = (𝑋↑𝑚))
34	29, 33	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
35	34	mpteq2dva 5205	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
36	23, 35	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
37	36	seqeq3d 13914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))))
38		dvradcnv2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
39		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
40		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑚))
41	39, 40	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
42	41	cbvmptv 5218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
43	42	mpteq2i 5210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
44	38, 43	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
45		dvradcnv2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
47		dvradcnv2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		dvradcnv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
49		dvradcnv2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	dvradcnv 25780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
51	37, 50	eqeltrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52		climdm 15436	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
53	51, 52	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54		0z 12510	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
55		neg1z 12539	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
56		nnex 12159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	mptex 7173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
58	8, 57	eqeltri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ V
59	58	seqshft 14970	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1))
60	54, 55, 59	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1)
61	60	breq1i 5112	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62		seqex 13908	. . . . . 6 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V
63		climshft 15458	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V) → ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
64	55, 62, 63	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
65	61, 64	bitri 274	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66		fvex 6855	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
67	62, 66	breldm 5864	. . . 4 ⊢ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
68	65, 67	sylbi 216	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
69	53, 68	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
70	7, 69	eqeltrrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   − cmin 11385  -cneg 11386  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13906  ↑cexp 13967   shift cshi 14951  abscabs 15119   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571

This theorem is referenced by:  binomcxplemcvg  42624