Theorem dvradcnv2 44330

Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 26364 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (ℂ D 𝐹) in pserdv2 26374 (and shows how to use uzmptshftfval 44329 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvradcnv2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
dvradcnv2.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
dvradcnv2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv2.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvradcnv2	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑋   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11144	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ax-1cn 11104	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	subnegi 11479	. . . 4 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
4		0p1e1 12281	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
5	3, 4	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (0 − -1) = 1
6		seqeq1 13947	. . 3 ⊢ ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8		dvradcnv2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
9		ovex 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ∈ V
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → 𝑛 = (𝑚 − -1))
11		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘(𝑚 − -1)))
12	10, 11	oveq12d 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 · (𝐴‘𝑛)) = ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))))
13		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 − 1) = ((𝑚 − -1) − 1))
14	13	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))
15	12, 14	oveq12d 7387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))))
16		nnuz 12814	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		nn0uz 12813	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18		1pneg1e0 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
19	18	fveq2i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 + -1)) = (ℤ≥‘0)
20	17, 19	eqtr4i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 + -1))
21		1zzd 12542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	21	znegcld 12618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
23	8, 9, 15, 16, 20, 21, 22	uzmptshftfval 44329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))))
24		nn0cn 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
26		1cnd 11147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26	subnegd 11518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 − -1) = (𝑚 + 1))
28	27	fveq2d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 − -1)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
29	27, 28	oveq12d 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
30	27	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
31	25, 26	pncand 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
32	30, 31	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = 𝑚)
33	32	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)) = (𝑋↑𝑚))
34	29, 33	oveq12d 7387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
35	34	mpteq2dva 5195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
36	23, 35	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
37	36	seqeq3d 13952	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))))
38		dvradcnv2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
39		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
40		oveq2 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑚))
41	39, 40	oveq12d 7387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
42	41	cbvmptv 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
43	42	mpteq2i 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
44	38, 43	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
45		dvradcnv2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
47		dvradcnv2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		dvradcnv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
49		dvradcnv2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	dvradcnv 26364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
51	37, 50	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52		climdm 15497	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
53	51, 52	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54		0z 12518	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
55		neg1z 12547	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
56		nnex 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	mptex 7179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
58	8, 57	eqeltri 2824	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ V
59	58	seqshft 15028	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1))
60	54, 55, 59	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1)
61	60	breq1i 5109	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62		seqex 13946	. . . . . 6 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V
63		climshft 15519	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V) → ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
64	55, 62, 63	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
65	61, 64	bitri 275	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
67	62, 66	breldm 5862	. . . 4 ⊢ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
68	65, 67	sylbi 217	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
69	53, 68	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
70	7, 69	eqeltrrid 2833	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3402  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  supcsup 9367  ℂcc 11044  ℝcr 11045  0cc0 11046  1c1 11047   + caddc 11049   · cmul 11051  ℝ^*cxr 11185   < clt 11186   − cmin 11383  -cneg 11384  ℕcn 12164  ℕ₀cn0 12420  ℤcz 12507  ℤ_≥cuz 12771  seqcseq 13944  ↑cexp 14004   shift cshi 15009  abscabs 15177   ⇝ cli 15427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12930  df-ico 13290  df-icc 13291  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-fl 13732  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15630

This theorem is referenced by:  binomcxplemcvg  44337