Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvradcnv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvradcnv2 43561
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 26273 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (β„‚ D 𝐹) in pserdv2 26283 (and shows how to use uzmptshftfval 43560 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv2.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
dvradcnv2.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))))
dvradcnv2.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
dvradcnv2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
dvradcnv2.l (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvradcnv2 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑋   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem dvradcnv2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11202 . . . . 5 0 ∈ β„‚
2 ax-1cn 11163 . . . . 5 1 ∈ β„‚
31, 2subnegi 11535 . . . 4 (0 βˆ’ -1) = (0 + 1)
4 0p1e1 12330 . . . 4 (0 + 1) = 1
53, 4eqtri 2752 . . 3 (0 βˆ’ -1) = 1
6 seqeq1 13965 . . 3 ((0 βˆ’ -1) = 1 β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
75, 6ax-mp 5 . 2 seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8 dvradcnv2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))))
9 ovex 7434 . . . . . . . 8 ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))) ∈ V
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ 𝑛 = (π‘š βˆ’ -1))
11 fveq2 6881 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1)))
1210, 11oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ (𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) = ((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))))
13 oveq1 7408 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) = ((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1))
1413oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)) = (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1)))
1512, 14oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))) = (((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) Β· (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1))))
16 nnuz 12861 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
17 nn0uz 12860 . . . . . . . . 9 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
18 1pneg1e0 12327 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
1918fveq2i 6884 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜(1 + -1)) = (β„€β‰₯β€˜0)
2017, 19eqtr4i 2755 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜(1 + -1))
21 1zzd 12589 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
2221znegcld 12664 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„€)
238, 9, 15, 16, 20, 21, 22uzmptshftfval 43560 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 shift -1) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) Β· (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1)))))
24 nn0cn 12478 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„‚)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
26 1cnd 11205 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
2725, 26subnegd 11574 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š βˆ’ -1) = (π‘š + 1))
2827fveq2d 6885 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1)) = (π΄β€˜(π‘š + 1)))
2927, 28oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) = ((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))))
3027oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1) = ((π‘š + 1) βˆ’ 1))
3125, 26pncand 11568 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š + 1) βˆ’ 1) = π‘š)
3230, 31eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1) = π‘š)
3332oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1)) = (π‘‹β†‘π‘š))
3429, 33oveq12d 7419 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) Β· (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1))) = (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))
3534mpteq2dva 5238 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) Β· (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1)))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
3623, 35eqtrd 2764 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 shift -1) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
3736seqeq3d 13970 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))))
38 dvradcnv2.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
39 fveq2 6881 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘š))
40 oveq2 7409 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯↑𝑛) = (π‘₯β†‘π‘š))
4139, 40oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))
4241cbvmptv 5251 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))
4342mpteq2i 5243 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))
4438, 43eqtri 2752 . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))
45 dvradcnv2.r . . . . . 6 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46 eqid 2724 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))
47 dvradcnv2.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
48 dvradcnv2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
49 dvradcnv2.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
5044, 45, 46, 47, 48, 49dvradcnv 26273 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
5137, 50eqeltrd 2825 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52 climdm 15494 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
5351, 52sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54 0z 12565 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
55 neg1z 12594 . . . . . . 7 -1 ∈ β„€
56 nnex 12214 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
5756mptex 7216 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))) ∈ V
588, 57eqeltri 2821 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
5958seqshft 15028 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) β†’ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1))
6054, 55, 59mp2an 689 . . . . . 6 seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1)
6160breq1i 5145 . . . . 5 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62 seqex 13964 . . . . . 6 seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ V
63 climshft 15516 . . . . . 6 ((-1 ∈ β„€ ∧ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ V) β†’ ((seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
6455, 62, 63mp2an 689 . . . . 5 ((seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
6561, 64bitri 275 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66 fvex 6894 . . . . 5 ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
6762, 66breldm 5898 . . . 4 (seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6865, 67sylbi 216 . . 3 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6953, 68syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
707, 69eqeltrrid 2830 1 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  supcsup 9430  β„‚cc 11103  β„cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   Β· cmul 11110  β„*cxr 11243   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  seqcseq 13962  β†‘cexp 14023   shift cshi 15009  abscabs 15177   ⇝ cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  binomcxplemcvg  43568
  Copyright terms: Public domain W3C validator