Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvradcnv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvradcnv2 43784
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 26356 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (ℂ D 𝐹) in pserdv2 26366 (and shows how to use uzmptshftfval 43783 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv2.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
dvradcnv2.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
dvradcnv2.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv2.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv2.l (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvradcnv2 (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑋   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11236 . . . . 5 0 ∈ ℂ
2 ax-1cn 11196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31, 2subnegi 11569 . . . 4 (0 − -1) = (0 + 1)
4 0p1e1 12364 . . . 4 (0 + 1) = 1
53, 4eqtri 2756 . . 3 (0 − -1) = 1
6 seqeq1 14001 . . 3 ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
75, 6ax-mp 5 . 2 seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8 dvradcnv2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
9 ovex 7453 . . . . . . . 8 ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ∈ V
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → 𝑛 = (𝑚 − -1))
11 fveq2 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑚 − -1)))
1210, 11oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 · (𝐴𝑛)) = ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))))
13 oveq1 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 − 1) = ((𝑚 − -1) − 1))
1413oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))
1512, 14oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 − -1) → ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))))
16 nnuz 12895 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
17 nn0uz 12894 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
18 1pneg1e0 12361 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
1918fveq2i 6900 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 + -1)) = (ℤ‘0)
2017, 19eqtr4i 2759 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘(1 + -1))
21 1zzd 12623 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2221znegcld 12698 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
238, 9, 15, 16, 20, 21, 22uzmptshftfval 43783 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))))
24 nn0cn 12512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
26 1cnd 11239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26subnegd 11608 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 − -1) = (𝑚 + 1))
2827fveq2d 6901 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 − -1)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
2927, 28oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
3027oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
3125, 26pncand 11602 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
3230, 31eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = 𝑚)
3332oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)) = (𝑋𝑚))
3429, 33oveq12d 7438 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))
3534mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))))
3623, 35eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))))
3736seqeq3d 14006 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))))
38 dvradcnv2.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
39 fveq2 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
40 oveq2 7428 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑚))
4139, 40oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))
4241cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))
4342mpteq2i 5253 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚))))
4438, 43eqtri 2756 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚))))
45 dvradcnv2.r . . . . . 6 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))
47 dvradcnv2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48 dvradcnv2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
49 dvradcnv2.l . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
5044, 45, 46, 47, 48, 49dvradcnv 26356 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
5137, 50eqeltrd 2829 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52 climdm 15530 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
5351, 52sylib 217 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54 0z 12599 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
55 neg1z 12628 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
56 nnex 12248 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
5756mptex 7235 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
588, 57eqeltri 2825 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
5958seqshft 15064 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1))
6054, 55, 59mp2an 691 . . . . . 6 seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1)
6160breq1i 5155 . . . . 5 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62 seqex 14000 . . . . . 6 seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V
63 climshft 15552 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V) → ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
6455, 62, 63mp2an 691 . . . . 5 ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
6561, 64bitri 275 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66 fvex 6910 . . . . 5 ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
6762, 66breldm 5911 . . . 4 (seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6865, 67sylbi 216 . . 3 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6953, 68syl 17 . 2 (𝜑 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
707, 69eqeltrrid 2834 1 (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5678  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  supcsup 9463  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  *cxr 11277   < clt 11278  cmin 11474  -cneg 11475  cn 12242  0cn0 12502  cz 12588  cuz 12852  seqcseq 13998  cexp 14058   shift cshi 15045  abscabs 15213  cli 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  binomcxplemcvg  43791
  Copyright terms: Public domain W3C validator