Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvradcnv2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvradcnv2 43092
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 25925 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (β„‚ D 𝐹) in pserdv2 25934 (and shows how to use uzmptshftfval 43091 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv2.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
dvradcnv2.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))))
dvradcnv2.a (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
dvradcnv2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
dvradcnv2.l (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvradcnv2 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝑋   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐴(π‘Ÿ)   𝑅(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)   𝐺(π‘₯,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑛,π‘Ÿ)
Proof of Theorem dvradcnv2
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11203 . . . . 5 0 ∈ β„‚
2 ax-1cn 11165 . . . . 5 1 ∈ β„‚
31, 2subnegi 11536 . . . 4 (0 βˆ’ -1) = (0 + 1)
4 0p1e1 12331 . . . 4 (0 + 1) = 1
53, 4eqtri 2761 . . 3 (0 βˆ’ -1) = 1
6 seqeq1 13966 . . 3 ((0 βˆ’ -1) = 1 β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
75, 6ax-mp 5 . 2 seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8 dvradcnv2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))))
9 ovex 7439 . . . . . . . 8 ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))) ∈ V
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ 𝑛 = (π‘š βˆ’ -1))
11 fveq2 6889 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1)))
1210, 11oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ (𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) = ((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))))
13 oveq1 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) = ((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1))
1413oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)) = (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1)))
1512, 14oveq12d 7424 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘š βˆ’ -1) β†’ ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1))) = (((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) Β· (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1))))
16 nnuz 12862 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
17 nn0uz 12861 . . . . . . . . 9 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
18 1pneg1e0 12328 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
1918fveq2i 6892 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜(1 + -1)) = (β„€β‰₯β€˜0)
2017, 19eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜(1 + -1))
21 1zzd 12590 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
2221znegcld 12665 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -1 ∈ β„€)
238, 9, 15, 16, 20, 21, 22uzmptshftfval 43091 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 shift -1) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) Β· (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1)))))
24 nn0cn 12479 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„‚)
2524adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„‚)
26 1cnd 11206 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 1 ∈ β„‚)
2725, 26subnegd 11575 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘š βˆ’ -1) = (π‘š + 1))
2827fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1)) = (π΄β€˜(π‘š + 1)))
2927, 28oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) = ((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))))
3027oveq1d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1) = ((π‘š + 1) βˆ’ 1))
3125, 26pncand 11569 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š + 1) βˆ’ 1) = π‘š)
3230, 31eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1) = π‘š)
3332oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1)) = (π‘‹β†‘π‘š))
3429, 33oveq12d 7424 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) Β· (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1))) = (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))
3534mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š βˆ’ -1) Β· (π΄β€˜(π‘š βˆ’ -1))) Β· (𝑋↑((π‘š βˆ’ -1) βˆ’ 1)))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
3623, 35eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻 shift -1) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š))))
3736seqeq3d 13971 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))))
38 dvradcnv2.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))))
39 fveq2 6889 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘š))
40 oveq2 7414 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘₯↑𝑛) = (π‘₯β†‘π‘š))
4139, 40oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) = ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))
4241cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))
4342mpteq2i 5253 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))
4438, 43eqtri 2761 . . . . . 6 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))))
45 dvradcnv2.r . . . . . 6 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (πΊβ€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))
47 dvradcnv2.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
48 dvradcnv2.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
49 dvradcnv2.l . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π‘‹) < 𝑅)
5044, 45, 46, 47, 48, 49dvradcnv 25925 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ (((π‘š + 1) Β· (π΄β€˜(π‘š + 1))) Β· (π‘‹β†‘π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
5137, 50eqeltrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52 climdm 15495 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
5351, 52sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54 0z 12566 . . . . . . 7 0 ∈ β„€
55 neg1z 12595 . . . . . . 7 -1 ∈ β„€
56 nnex 12215 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ V
5756mptex 7222 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((𝑛 Β· (π΄β€˜π‘›)) Β· (𝑋↑(𝑛 βˆ’ 1)))) ∈ V
588, 57eqeltri 2830 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
5958seqshft 15029 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) β†’ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1))
6054, 55, 59mp2an 691 . . . . . 6 seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1)
6160breq1i 5155 . . . . 5 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62 seqex 13965 . . . . . 6 seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ V
63 climshft 15517 . . . . . 6 ((-1 ∈ β„€ ∧ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ V) β†’ ((seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
6455, 62, 63mp2an 691 . . . . 5 ((seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
6561, 64bitri 275 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66 fvex 6902 . . . . 5 ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
6762, 66breldm 5907 . . . 4 (seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6865, 67sylbi 216 . . 3 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ β€˜seq0( + , (𝐻 shift -1))) β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6953, 68syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ seq(0 βˆ’ -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
707, 69eqeltrrid 2839 1 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  supcsup 9432  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11244   < clt 11245   βˆ’ cmin 11441  -cneg 11442  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  seqcseq 13963  β†‘cexp 14024   shift cshi 15010  abscabs 15178   ⇝ cli 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630
This theorem is referenced by:  binomcxplemcvg  43099
  Copyright terms: Public domain W3C validator