Theorem dvradcnv2 45158

Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 26654 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (ℂ D 𝐹) in pserdv2 26663 (and shows how to use uzmptshftfval 45157 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvradcnv2.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
dvradcnv2.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
dvradcnv2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv2.l	⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dvradcnv2	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑋   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑛, 𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥, 𝑛, 𝑟)   𝐺(𝑥, 𝑛)   𝐻(𝑥, 𝑛, 𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv2

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11225	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		ax-1cn 11185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	subnegi 11564	. . . 4 ⊢ (0 − -1) = (0 + 1)
4		0p1e1 12388	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
5	3, 4	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (0 − -1) = 1
6		seqeq1 14070	. . 3 ⊢ ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8		dvradcnv2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
9		ovex 7449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ∈ V
10		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → 𝑛 = (𝑚 − -1))
11		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘(𝑚 − -1)))
12	10, 11	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 · (𝐴‘𝑛)) = ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))))
13		oveq1 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 − 1) = ((𝑚 − -1) − 1))
14	13	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))
15	12, 14	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 − -1) → ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))))
16		nnuz 12929	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		nn0uz 12928	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
18		1pneg1e0 12385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + -1) = 0
19	18	fveq2i 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘(1 + -1)) = (ℤ≥‘0)
20	17, 19	eqtr4i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 + -1))
21		1zzd 12652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	21	znegcld 12730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
23	8, 9, 15, 16, 20, 21, 22	uzmptshftfval 45157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))))
24		nn0cn 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
26		1cnd 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26	subnegd 11603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 − -1) = (𝑚 + 1))
28	27	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 − -1)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
29	27, 28	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
30	27	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
31	25, 26	pncand 11597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
32	30, 31	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = 𝑚)
33	32	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)) = (𝑋↑𝑚))
34	29, 33	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
35	34	mpteq2dva 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
36	23, 35	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))))
37	36	seqeq3d 14075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))))
38		dvradcnv2.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))))
39		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴‘𝑛) = (𝐴‘𝑚))
40		oveq2 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑚))
41	39, 40	oveq12d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) = ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
42	41	cbvmptv 5213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
43	42	mpteq2i 5205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
44	38, 43	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))))
45		dvradcnv2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))
47		dvradcnv2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48		dvradcnv2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
49		dvradcnv2.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	dvradcnv 26654	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
51	37, 50	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52		climdm 15643	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
53	51, 52	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54		0z 12629	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
55		neg1z 12657	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
56		nnex 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ∈ V
57	56	mptex 7225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴‘𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
58	8, 57	eqeltri 2858	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ V
59	58	seqshft 15160	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1))
60	54, 55, 59	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1)
61	60	breq1i 5114	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62		seqex 14069	. . . . . 6 ⊢ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V
63		climshft 15665	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V) → ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
64	55, 62, 63	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
65	61, 64	bitri 278	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
67	62, 66	breldm 5896	. . . 4 ⊢ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
68	65, 67	sylbi 220	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
69	53, 68	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
70	7, 69	eqeltrrid 2867	1 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  supcsup 9413  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   − cmin 11468  -cneg 11469  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  seqcseq 14067  ↑cexp 14127   shift cshi 15141  abscabs 15323   ⇝ cli 15573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776

This theorem is used by:  binomcxplemcvg  45165