Theorem knoppcnlem6 36774

Description: Lemma for knoppcn 36780. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem6.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem6	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem6

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12817	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12527	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		reex 11120	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
5		knoppcnlem6.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		knoppcnlem6.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
7		knoppcnlem6.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppcnlem6.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	5, 6, 7, 8	knoppcnlem5 36773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10		nn0ex 12434	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	mptex 7171	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
16	15	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
17		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		ovexd 7395	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V)
19	14, 16, 17, 18	fvmptd 6949	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
20	8	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
21	20	abscld 15392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
23	22, 17	reexpcld 14116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ ℝ)
24	19, 23	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
28	27	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))
29	28	mpteq2dv 5180	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)))
30	17	adantrr 718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
31	3	mptex 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) ∈ V)
33	26, 29, 30, 32	fvmptd 6949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)))
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤)
35	34	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
36	35	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
37		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
38		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑘) ∈ V)
39	33, 36, 37, 38	fvmptd 6949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
40	39	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) = (abs‘((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
41	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	5, 6, 41, 42, 37, 30	knoppcnlem4 36772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
44	40, 43	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
45	21	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
46		absidm 15277	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
47	20, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
48		knoppcnlem6.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
49	47, 48	eqbrtrd 5108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) < 1)
50	45, 49, 19	geolim 15826	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))))
51		seqex 13956	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ V
52		ovex 7393	. . . 4 ⊢ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) ∈ V
53	51, 52	breldm 5857	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
54	50, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
55	1, 2, 4, 9, 12, 24, 44, 54	mtest 26382	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ⌊cfl 13740  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  ⇝_𝑢culm 26354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ulm 26355

This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  36777