Theorem knoppcnlem6 36493

Description: Lemma for knoppcn 36499. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem6.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem6	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem6

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12842	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12548	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		reex 11166	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
5		knoppcnlem6.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		knoppcnlem6.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
7		knoppcnlem6.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppcnlem6.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	5, 6, 7, 8	knoppcnlem5 36492	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10		nn0ex 12455	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	mptex 7200	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V)
13		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
16	15	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
17		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		ovexd 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V)
19	14, 16, 17, 18	fvmptd 6978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
20	8	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
21	20	abscld 15412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
23	22, 17	reexpcld 14135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ ℝ)
24	19, 23	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
25		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
28	27	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))
29	28	mpteq2dv 5204	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)))
30	17	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
31	3	mptex 7200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) ∈ V)
33	26, 29, 30, 32	fvmptd 6978	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)))
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤)
35	34	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
36	35	fveq1d 6863	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
37		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
38		fvexd 6876	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑘) ∈ V)
39	33, 36, 37, 38	fvmptd 6978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
40	39	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) = (abs‘((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
41	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	5, 6, 41, 42, 37, 30	knoppcnlem4 36491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
44	40, 43	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
45	21	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
46		absidm 15297	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
47	20, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
48		knoppcnlem6.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
49	47, 48	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) < 1)
50	45, 49, 19	geolim 15843	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))))
51		seqex 13975	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ V
52		ovex 7423	. . . 4 ⊢ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) ∈ V
53	51, 52	breldm 5875	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
54	50, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
55	1, 2, 4, 9, 12, 24, 44, 54	mtest 26320	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ⌊cfl 13759  seqcseq 13973  ↑cexp 14033  abscabs 15207   ⇝ cli 15457  ⇝_𝑢culm 26292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ulm 26293

This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  36496