Theorem knoppcnlem6 33839

Description: Lemma for knoppcn 33845. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem6.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem6	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem6

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12283	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 11996	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		reex 10630	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
5		knoppcnlem6.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		knoppcnlem6.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
7		knoppcnlem6.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppcnlem6.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	5, 6, 7, 8	knoppcnlem5 33838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10		nn0ex 11906	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	mptex 6988	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V)
13		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
15		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
16	15	oveq2d 7174	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
17		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		ovexd 7193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V)
19	14, 16, 17, 18	fvmptd 6777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
20	8	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
21	20	abscld 14798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
22	21	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
23	22, 17	reexpcld 13530	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ ℝ)
24	19, 23	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
25		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))
27		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
28	27	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))
29	28	mpteq2dv 5164	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)))
30	17	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
31	3	mptex 6988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) ∈ V)
33	26, 29, 30, 32	fvmptd 6777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)))
34		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤)
35	34	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
36	35	fveq1d 6674	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
37		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
38		fvexd 6687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑘) ∈ V)
39	33, 36, 37, 38	fvmptd 6777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
40	39	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) = (abs‘((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
41	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	8	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	5, 6, 41, 42, 37, 30	knoppcnlem4 33837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
44	40, 43	eqbrtrd 5090	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
45	21	recnd 10671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
46		absidm 14685	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
47	20, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
48		knoppcnlem6.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
49	47, 48	eqbrtrd 5090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) < 1)
50	45, 49, 19	geolim 15228	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))))
51		seqex 13374	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ V
52		ovex 7191	. . . 4 ⊢ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) ∈ V
53	51, 52	breldm 5779	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
54	50, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
55	1, 2, 4, 9, 12, 24, 44, 54	mtest 24994	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  ℕ₀cn0 11900  ⌊cfl 13163  seqcseq 13372  ↑cexp 13432  abscabs 14595   ⇝ cli 14843  ⇝_𝑢culm 24966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ulm 24967

This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  33842