Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem6 32927
Description: Lemma for knoppcn 32933. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem6.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem6.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem6.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem6.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem6.2 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem6 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem6
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11922 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11636 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 reex 10280 . . 3 ℝ ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 knoppcnlem6.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6 knoppcnlem6.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
7 knoppcnlem6.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppcnlem6.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
95, 6, 7, 8knoppcnlem5 32926 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
10 nn0ex 11545 . . . 4 0 ∈ V
1110mptex 6679 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V)
13 eqid 2765 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))
1413a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
15 simpr 477 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
1615oveq2d 6858 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
17 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 ovexd 6876 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V)
1914, 16, 17, 18fvmptd 6477 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
208recnd 10322 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2120abscld 14460 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2221adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2322, 17reexpcld 13232 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ ℝ)
2419, 23eqeltrd 2844 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
25 eqid 2765 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))
27 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
2827fveq2d 6379 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) = ((𝐹𝑧)‘𝑘))
2928mpteq2dv 4904 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
3017adantrr 708 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
313mptex 6679 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)) ∈ V)
3326, 29, 30, 32fvmptd 6477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
34 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤)
3534fveq2d 6379 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
3635fveq1d 6377 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → ((𝐹𝑧)‘𝑘) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
37 simprr 789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
38 fvexd 6390 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑤)‘𝑘) ∈ V)
3933, 36, 37, 38fvmptd 6477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
4039fveq2d 6379 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) = (abs‘((𝐹𝑤)‘𝑘)))
417adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
428adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
435, 6, 41, 42, 37, 30knoppcnlem4 32925 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑤)‘𝑘)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
4440, 43eqbrtrd 4831 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
4521recnd 10322 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
46 absidm 14348 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
4720, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
48 knoppcnlem6.2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
4947, 48eqbrtrd 4831 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) < 1)
5045, 49, 19geolim 14885 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))))
51 seqex 13010 . . . 4 seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ V
52 ovex 6874 . . . 4 (1 / (1 − (abs‘𝐶))) ∈ V
5351, 52breldm 5497 . . 3 (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
5450, 53syl 17 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
551, 2, 4, 9, 12, 24, 44, 54mtest 24449 1 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑓 cof 7093  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cfl 12799  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14259  cli 14500  𝑢culm 24421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ulm 24422
This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  32930
  Copyright terms: Public domain W3C validator