Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem6 33723
Description: Lemma for knoppcn 33729. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem6.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem6.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem6.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem6.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem6.2 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem6 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem6
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12272 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11985 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 reex 10620 . . 3 ℝ ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 knoppcnlem6.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6 knoppcnlem6.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
7 knoppcnlem6.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppcnlem6.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
95, 6, 7, 8knoppcnlem5 33722 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10 nn0ex 11895 . . . 4 0 ∈ V
1110mptex 6984 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V)
13 eqid 2825 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))
1413a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
1615oveq2d 7167 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
17 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 ovexd 7186 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V)
1914, 16, 17, 18fvmptd 6770 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
208recnd 10661 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2120abscld 14789 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2322, 17reexpcld 13520 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ ℝ)
2419, 23eqeltrd 2917 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
25 eqid 2825 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))
27 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
2827fveq2d 6670 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) = ((𝐹𝑧)‘𝑘))
2928mpteq2dv 5158 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
3017adantrr 713 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
313mptex 6984 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)) ∈ V)
3326, 29, 30, 32fvmptd 6770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
34 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤)
3534fveq2d 6670 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
3635fveq1d 6668 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → ((𝐹𝑧)‘𝑘) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
37 simprr 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
38 fvexd 6681 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑤)‘𝑘) ∈ V)
3933, 36, 37, 38fvmptd 6770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
4039fveq2d 6670 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) = (abs‘((𝐹𝑤)‘𝑘)))
417adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
428adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
435, 6, 41, 42, 37, 30knoppcnlem4 33721 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑤)‘𝑘)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
4440, 43eqbrtrd 5084 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
4521recnd 10661 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
46 absidm 14676 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
4720, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
48 knoppcnlem6.2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
4947, 48eqbrtrd 5084 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) < 1)
5045, 49, 19geolim 15218 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))))
51 seqex 13364 . . . 4 seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ V
52 ovex 7184 . . . 4 (1 / (1 − (abs‘𝐶))) ∈ V
5351, 52breldm 5775 . . 3 (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
5450, 53syl 17 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
551, 2, 4, 9, 12, 24, 44, 54mtest 24909 1 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  cfv 6351  (class class class)co 7151  f cof 7400  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  cfl 13153  seqcseq 13362  cexp 13422  abscabs 14586  cli 14834  𝑢culm 24881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-ico 12737  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ulm 24882
This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  33726
  Copyright terms: Public domain W3C validator