Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem6 34961
Description: Lemma for knoppcn 34967. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem6.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem6.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem6.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem6.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem6.2 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem6 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem6
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12805 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 12511 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 reex 11142 . . 3 ℝ ∈ V
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 knoppcnlem6.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6 knoppcnlem6.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
7 knoppcnlem6.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8 knoppcnlem6.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
95, 6, 7, 8knoppcnlem5 34960 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10 nn0ex 12419 . . . 4 0 ∈ V
1110mptex 7173 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V)
13 eqid 2736 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))
1413a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
1615oveq2d 7373 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
17 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18 ovexd 7392 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V)
1914, 16, 17, 18fvmptd 6955 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
208recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2120abscld 15321 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2322, 17reexpcld 14068 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ ℝ)
2419, 23eqeltrd 2838 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
25 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))
27 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
2827fveq2d 6846 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((𝐹𝑧)‘𝑚) = ((𝐹𝑧)‘𝑘))
2928mpteq2dv 5207 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
3017adantrr 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
313mptex 7173 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)) ∈ V
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)) ∈ V)
3326, 29, 30, 32fvmptd 6955 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
34 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤)
3534fveq2d 6846 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑤))
3635fveq1d 6844 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → ((𝐹𝑧)‘𝑘) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
37 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
38 fvexd 6857 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑤)‘𝑘) ∈ V)
3933, 36, 37, 38fvmptd 6955 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹𝑤)‘𝑘))
4039fveq2d 6846 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) = (abs‘((𝐹𝑤)‘𝑘)))
417adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
428adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
435, 6, 41, 42, 37, 30knoppcnlem4 34959 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑤)‘𝑘)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
4440, 43eqbrtrd 5127 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
4521recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
46 absidm 15208 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
4720, 46syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
48 knoppcnlem6.2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
4947, 48eqbrtrd 5127 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) < 1)
5045, 49, 19geolim 15755 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))))
51 seqex 13908 . . . 4 seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ V
52 ovex 7390 . . . 4 (1 / (1 − (abs‘𝐶))) ∈ V
5351, 52breldm 5864 . . 3 (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
5450, 53syl 17 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
551, 2, 4, 9, 12, 24, 44, 54mtest 25763 1 (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cfl 13695  seqcseq 13906  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  𝑢culm 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ulm 25736
This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  34964
  Copyright terms: Public domain W3C validator