Theorem knoppcnlem6 36804

Description: Lemma for knoppcn 36810. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem6.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem6.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem6.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem6.2	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem6	⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑚,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚,𝑛,𝑦,𝑧   𝑥,𝑚,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem6

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12817	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12527	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3		reex 11120	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
5		knoppcnlem6.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
6		knoppcnlem6.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
7		knoppcnlem6.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8		knoppcnlem6.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	5, 6, 7, 8	knoppcnlem5 36803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))):ℕ0⟶(ℂ ↑m ℝ))
10		nn0ex 12434	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
11	10	mptex 7167	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) ∈ V)
13		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
16	15	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
17		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
18		ovexd 7391	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ V)
19	14, 16, 17, 18	fvmptd 6943	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) = ((abs‘𝐶)↑𝑘))
20	8	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
21	20	abscld 15392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
23	22, 17	reexpcld 14116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑘) ∈ ℝ)
24	19, 23	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
25		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚))))
27		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → 𝑚 = 𝑘)
28	27	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑚) = ((𝐹‘𝑧)‘𝑘))
29	28	mpteq2dv 5166	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑚 = 𝑘) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)))
30	17	adantrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
31	3	mptex 7167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)) ∈ V)
33	26, 29, 30, 32	fvmptd 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑘)))
34		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤)
35	34	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑤))
36	35	fveq1d 6829	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧 = 𝑤) → ((𝐹‘𝑧)‘𝑘) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
37		simprr 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑤 ∈ ℝ)
38		fvexd 6842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑘) ∈ V)
39	33, 36, 37, 38	fvmptd 6943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑘))
40	39	fveq2d 6831	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) = (abs‘((𝐹‘𝑤)‘𝑘)))
41	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
42	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
43	5, 6, 41, 42, 37, 30	knoppcnlem4 36802	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑤)‘𝑘)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
44	40, 43	eqbrtrd 5094	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤 ∈ ℝ)) → (abs‘(((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))‘𝑘)‘𝑤)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑘))
45	21	recnd 11164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
46		absidm 15277	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
47	20, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) = (abs‘𝐶))
48		knoppcnlem6.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
49	47, 48	eqbrtrd 5094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(abs‘𝐶)) < 1)
50	45, 49, 19	geolim 15826	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))))
51		seqex 13956	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ V
52		ovex 7389	. . . 4 ⊢ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) ∈ V
53	51, 52	breldm 5850	. . 3 ⊢ (seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝐶))) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
54	50, 53	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))) ∈ dom ⇝ )
55	1, 2, 4, 9, 12, 24, 44, 54	mtest 26387	1 ⊢ (𝜑 → seq0( ∘f + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑧)‘𝑚)))) ∈ dom (⇝𝑢‘ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ⌊cfl 13740  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ⇝ cli 15437  ⇝_𝑢culm 26359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ulm 26360

This theorem is referenced by:  knoppcnlem9  36807