Theorem knoppf 37157

Description: Knopp's function is a function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppf.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppf.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppf	⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑖)   𝑇(𝑥, 𝑤, 𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑛)   𝑁(𝑤, 𝑖)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑖, 𝑛)

Proof of Theorem knoppf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12911	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12614	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
3		eqidd 2766	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
4		knoppf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5		knoppf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6		knoppf.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		knoppf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
10	9	knoppndvlem3 37136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
11	10	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
17	4, 5, 8, 13, 15, 16	knoppcnlem3 37117	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
18		knoppf.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
19		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑧))
20	19	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
21	20	sumeq2sdv 15773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
22	21	cbvmptv 5217	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
23	18, 22	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
24	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25	4, 5, 23, 14, 24, 7	knoppndvlem4 37137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑊‘𝑤))
26		seqex 14052	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V
27		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝑤) ∈ V
28	26, 27	breldm 5900	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑊‘𝑤) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
29	25, 28	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
30	1, 2, 3, 17, 29	isumrecl 15834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
31	30, 18	fmptd 7113	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   − cmin 11452  -cneg 11453   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  (,)cioo 13383  ⌊cfl 13836  seqcseq 14050  ↑cexp 14110  abscabs 15304   ⇝ cli 15554  Σcsu 15756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-ulm 26569

This theorem is used by:  knoppcn2  37158