Theorem knoppf 36937

Description: Knopp's function is a function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppf.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppf.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppf	⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12874	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12577	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
3		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
4		knoppf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5		knoppf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6		knoppf.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		knoppf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
10	9	knoppndvlem3 36916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
11	10	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
15	14	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		simpr 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
17	4, 5, 8, 13, 15, 16	knoppcnlem3 36897	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
18		knoppf.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
19		fveq2 6863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑧))
20	19	fveq1d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
21	20	sumeq2sdv 15713	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
22	21	cbvmptv 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
23	18, 22	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
24	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25	4, 5, 23, 14, 24, 7	knoppndvlem4 36917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑊‘𝑤))
26		seqex 14013	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V
27		fvex 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝑤) ∈ V
28	26, 27	breldm 5882	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑊‘𝑤) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
29	25, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
30	1, 2, 3, 17, 29	isumrecl 15775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
31	30, 18	fmptd 7091	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   − cmin 11411  -cneg 11412   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  (,)cioo 13346  ⌊cfl 13797  seqcseq 14011  ↑cexp 14071  abscabs 15244   ⇝ cli 15494  Σcsu 15696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ulm 26417

This theorem is referenced by:  knoppcn2  36938