Theorem knoppf 36795

Description: Knopp's function is a function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppf.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppf.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppf	⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12826	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12536	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
3		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
4		knoppf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5		knoppf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6		knoppf.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		knoppf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
10	9	knoppndvlem3 36774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
11	10	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
17	4, 5, 8, 13, 15, 16	knoppcnlem3 36755	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
18		knoppf.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
19		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑧))
20	19	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
21	20	sumeq2sdv 15665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
22	21	cbvmptv 5189	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
23	18, 22	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
24	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25	4, 5, 23, 14, 24, 7	knoppndvlem4 36775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑊‘𝑤))
26		seqex 13965	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V
27		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝑤) ∈ V
28	26, 27	breldm 5863	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑊‘𝑤) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
29	25, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
30	1, 2, 3, 17, 29	isumrecl 15727	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
31	30, 18	fmptd 7066	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  (,)cioo 13298  ⌊cfl 13749  seqcseq 13963  ↑cexp 14023  abscabs 15196   ⇝ cli 15446  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ulm 26342

This theorem is referenced by:  knoppcn2  36796