Theorem knoppf 35399

Description: Knopp's function is a function. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppf.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppf.w	⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
knoppf.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppf.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
knoppf	⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12860	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12566	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℤ)
3		eqidd 2733	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
4		knoppf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5		knoppf.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
6		knoppf.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		knoppf.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
10	9	knoppndvlem3 35378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
11	10	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
13	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
14		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑤 ∈ ℝ)
16		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
17	4, 5, 8, 13, 15, 16	knoppcnlem3 35359	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
18		knoppf.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖))
19		fveq2 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑧))
20	19	fveq1d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
21	20	sumeq2sdv 15646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
22	21	cbvmptv 5260	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
23	18, 22	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑧)‘𝑖))
24	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
25	4, 5, 23, 14, 24, 7	knoppndvlem4 35379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑊‘𝑤))
26		seqex 13964	. . . . 5 ⊢ seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ V
27		fvex 6901	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘𝑤) ∈ V
28	26, 27	breldm 5906	. . . 4 ⊢ (seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ⇝ (𝑊‘𝑤) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
29	25, 28	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → seq0( + , (𝐹‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
30	1, 2, 3, 17, 29	isumrecl 15707	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹‘𝑤)‘𝑖) ∈ ℝ)
31	30, 18	fmptd 7110	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   − cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  ℕcn 12208  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468  (,)cioo 13320  ⌊cfl 13751  seqcseq 13962  ↑cexp 14023  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ulm 25880

This theorem is referenced by:  knoppcn2  35400