Theorem geomulcvg 15841

Description: The geometric series converges even if it is multiplied by 𝑘 to result in the larger series 𝑘 · 𝐴↑𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
geomulcvg.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (𝐴↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
geomulcvg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geomulcvg

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geomulcvg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (𝐴↑𝑘)))
2		elnn0 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
4	3	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
5		0exp 14059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
6	4, 5	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) = 0)
7	6	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = (𝑘 · 0))
8		nncn 12182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 0) = 0)
11	7, 10	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
13	12	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = (0 · (𝐴↑𝑘)))
14		simplll 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		0nn0 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	12, 15	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	14, 16	expcld 14108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
18	17	mul02d 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → (0 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
19	13, 18	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
20	11, 19	jaodan 960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
21	2, 20	sylan2b 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
22	21	mpteq2dva 5179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (𝐴↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 0))
23	1, 22	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 0))
24		fconstmpt 5693	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {0}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 0)
25		nn0uz 12826	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26	25	xpeq1i 5657	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0})
27	24, 26	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 0) = ((ℤ≥‘0) × {0})
28	23, 27	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹 = ((ℤ≥‘0) × {0}))
29	28	seqeq3d 13971	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})))
30		0z 12535	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		serclim0 15539	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0
33	29, 32	eqbrtrdi 5125	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → seq0( + , 𝐹) ⇝ 0)
34		seqex 13965	. . . 4 ⊢ seq0( + , 𝐹) ∈ V
35		c0ex 11138	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
36	34, 35	breldm 5864	. . 3 ⊢ (seq0( + , 𝐹) ⇝ 0 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
37	33, 36	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
38		1red 11145	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
39		abscl 15240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
41		peano2re 11319	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℝ)
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℝ)
45		absrpcl 15250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
46	45	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
47	44, 46	rerpdivcld 13017	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
48	40	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
49	48	mullidd 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
50		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
51		1re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		avglt1 12415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ (abs‘𝐴) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2)))
53	40, 51, 52	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ (abs‘𝐴) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2)))
54	50, 53	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
55	49, 54	eqbrtrd 5108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (1 · (abs‘𝐴)) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · (abs‘𝐴)) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
57	38, 44, 46	ltmuldivd 13033	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 · (abs‘𝐴)) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ↔ 1 < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))))
58	56, 57	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴)))
59		expmulnbnd 14197	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘))
60	38, 47, 58, 59	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘))
61		eluznn0 12867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
64	63	mullidd 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑘) = 𝑘)
65	43	recnd 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℂ)
66	65	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℂ)
67	48	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
68	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
69	68	rpne0d 12991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
70		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
71	66, 67, 69, 70	expdivd 14122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
72	64, 71	breq12d 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ 𝑘 < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) / ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
73		nn0re 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
75		reexpcl 14040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
76	44, 75	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
77	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
78		reexpcl 14040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
79	77, 78	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
80	77	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
81		nn0z 12548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
83	68	rpgt0d 12989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (abs‘𝐴))
84		expgt0 14057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 0 < ((abs‘𝐴)↑𝑘))
85	80, 82, 83, 84	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < ((abs‘𝐴)↑𝑘))
86		ltmuldiv 12029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘𝐴)↑𝑘))) → ((𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ↔ 𝑘 < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) / ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
87	74, 76, 79, 85, 86	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ↔ 𝑘 < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) / ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
88	72, 87	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ (𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)))
89	61, 88	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))) → ((1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ (𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)))
90	89	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ (𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)))
91	90	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)))
92		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
93		oveq2 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
94		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))
95		ovex 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚) ∈ V
96	93, 94, 95	fvmpt 6948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
98	43	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℝ)
99		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
100	98, 99	reexpcld 14125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚) ∈ ℝ)
101	97, 100	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚) ∈ ℝ)
102		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
103		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑𝑚))
104	102, 103	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = (𝑚 · (𝐴↑𝑚)))
105		ovex 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 · (𝐴↑𝑚)) ∈ V
106	104, 1, 105	fvmpt 6948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑚) = (𝑚 · (𝐴↑𝑚)))
107	106	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) = (𝑚 · (𝐴↑𝑚)))
108		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
109	108	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
110		expcl 14041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑚) ∈ ℂ)
111	110	ad4ant14 753	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑚) ∈ ℂ)
112	109, 111	mulcld 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (𝐴↑𝑚)) ∈ ℂ)
113	107, 112	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
114		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ∈ ℝ)
115		absge0 15249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
117	114, 40, 43, 116, 54	lelttrd 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 < (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
118	114, 43, 117	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
119	43, 118	absidd 15385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(((abs‘𝐴) + 1) / 2)) = (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
120		avglt2 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ (((abs‘𝐴) + 1) / 2) < 1))
121	40, 51, 120	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ (((abs‘𝐴) + 1) / 2) < 1))
122	50, 121	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) < 1)
123	119, 122	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(((abs‘𝐴) + 1) / 2)) < 1)
124		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑛))
125		ovex 7400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑛) ∈ V
126	124, 94, 125	fvmpt 6948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑛) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑛))
127	126	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑛) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑛))
128	65, 123, 127	geolim 15835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − (((abs‘𝐴) + 1) / 2))))
129		seqex 13965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∈ V
130		ovex 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (1 − (((abs‘𝐴) + 1) / 2))) ∈ V
131	129, 130	breldm 5864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − (((abs‘𝐴) + 1) / 2))) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
132	128, 131	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
133	132	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
134		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → 1 ∈ ℝ)
135		eluznn0 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
136	92, 135	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
137	136	nn0red 12499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
138		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
139	138	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
140	139, 136	reexpcld 14125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘𝐴)↑𝑚) ∈ ℝ)
141	137, 140	remulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) ∈ ℝ)
142	136, 100	syldan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚) ∈ ℝ)
143		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))
144		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘𝐴)↑𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑚))
145	102, 144	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) = (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)))
146	145, 93	breq12d 5099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ↔ (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚)))
147	146	rspccva 3564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
148	143, 147	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
149	141, 142, 148	ltled 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) ≤ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
150	136	nn0cnd 12500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
151	138, 136	expcld 14108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐴↑𝑚) ∈ ℂ)
152	150, 151	absmuld 15419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝑚 · (𝐴↑𝑚))) = ((abs‘𝑚) · (abs‘(𝐴↑𝑚))))
153	136	nn0ge0d 12501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 0 ≤ 𝑚)
154	137, 153	absidd 15385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝑚) = 𝑚)
155	138, 136	absexpd 15417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐴↑𝑚)) = ((abs‘𝐴)↑𝑚))
156	154, 155	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘𝑚) · (abs‘(𝐴↑𝑚))) = (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)))
157	152, 156	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝑚 · (𝐴↑𝑚))) = (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)))
158	142	recnd 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚) ∈ ℂ)
159	158	mullidd 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (1 · ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚)) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
160	149, 157, 159	3brtr4d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝑚 · (𝐴↑𝑚))) ≤ (1 · ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚)))
161	136, 106	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = (𝑚 · (𝐴↑𝑚)))
162	161	fveq2d 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑚)) = (abs‘(𝑚 · (𝐴↑𝑚))))
163	136, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
164	163	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (1 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚)) = (1 · ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚)))
165	160, 162, 164	3brtr4d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑚)) ≤ (1 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚)))
166	25, 92, 101, 113, 133, 134, 165	cvgcmpce 15781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
167	166	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
168	167	adantlr 716	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
169	91, 168	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
170	169	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
171	60, 170	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
172	37, 171	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5629  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  seqcseq 13963  ↑cexp 14023  abscabs 15196   ⇝ cli 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  radcnvlem1  26378