Theorem geomulcvg 16074

Description: The geometric series converges even if it is multiplied by 𝑘 to result in the larger series 𝑘 · 𝐴↑𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
geomulcvg.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (𝐴↑𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
geomulcvg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem geomulcvg

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geomulcvg.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (𝐴↑𝑘)))
2		elnn0 12635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
4	3	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑘) = (0↑𝑘))
5		0exp 14267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (0↑𝑘) = 0)
6	4, 5	sylan9eq 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) = 0)
7	6	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = (𝑘 · 0))
8		nncn 12370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 0) = 0)
11	7, 10	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 = 0)
13	12	oveq1d 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = (0 · (𝐴↑𝑘)))
14		simplll 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		0nn0 12648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
16	12, 15	eqeltrdi 2872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	14, 16	expcld 14316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
18	17	mul02d 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → (0 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
19	13, 18	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
20	11, 19	jaodan 972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0)) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
21	2, 20	sylan2b 606	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = 0)
22	21	mpteq2dva 5201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (𝐴↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 0))
23	1, 22	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 0))
24		fconstmpt 5717	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {0}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 0)
25		nn0uz 13030	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26	25	xpeq1i 5681	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 × {0}) = ((ℤ≥‘0) × {0})
27	24, 26	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 0) = ((ℤ≥‘0) × {0})
28	23, 27	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹 = ((ℤ≥‘0) × {0}))
29	28	seqeq3d 14179	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})))
30		0z 12731	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
31		serclim0 15773	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ seq0( + , ((ℤ≥‘0) × {0})) ⇝ 0
33	29, 32	eqbrtrdi 5147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → seq0( + , 𝐹) ⇝ 0)
34		seqex 14173	. . . 4 ⊢ seq0( + , 𝐹) ∈ V
35		c0ex 11327	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
36	34, 35	breldm 5897	. . 3 ⊢ (seq0( + , 𝐹) ⇝ 0 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
37	33, 36	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 = 0) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
38		1red 11336	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
39		abscl 15474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
40	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
41		peano2re 11510	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
43	42	rehalfcld 12620	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℝ)
44	43	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℝ)
45		absrpcl 15484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
46	45	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
47	44, 46	rerpdivcld 13222	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
48	40	recnd 11364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
49	48	mullidd 11354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (abs‘𝐴))
50		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
51		1re 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
52		avglt1 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ (abs‘𝐴) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2)))
53	40, 51, 52	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ (abs‘𝐴) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2)))
54	50, 53	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
55	49, 54	eqbrtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (1 · (abs‘𝐴)) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
56	55	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 · (abs‘𝐴)) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
57	38, 44, 46	ltmuldivd 13238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 · (abs‘𝐴)) < (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ↔ 1 < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))))
58	56, 57	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴)))
59		expmulnbnd 14406	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘))
60	38, 47, 58, 59	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘))
61		eluznn0 13071	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
62		nn0cn 12643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
63	62	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
64	63	mullidd 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · 𝑘) = 𝑘)
65	43	recnd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℂ)
66	65	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℂ)
67	48	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
68	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
69	68	rpne0d 13196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
70		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
71	66, 67, 69, 70	expdivd 14330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) = (((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) / ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
72	64, 71	breq12d 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ 𝑘 < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) / ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
73		nn0re 12642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℝ)
75		reexpcl 14248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
76	44, 75	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
77	40	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
78		reexpcl 14248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
79	77, 78	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
80	77	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
81		nn0z 12744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
82	81	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
83	68	rpgt0d 13194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (abs‘𝐴))
84		expgt0 14265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < (abs‘𝐴)) → 0 < ((abs‘𝐴)↑𝑘))
85	80, 82, 83, 84	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < ((abs‘𝐴)↑𝑘))
86		ltmuldiv 12217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ (((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘𝐴)↑𝑘))) → ((𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ↔ 𝑘 < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) / ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
87	74, 76, 79, 85, 86	syl112anc 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ↔ 𝑘 < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) / ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
88	72, 87	bitr4d 285	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ (𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)))
89	61, 88	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))) → ((1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ (𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)))
90	89	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ (𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)))
91	90	ralbidva 3187	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)))
92		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
93		oveq2 7451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
94		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))
95		ovex 7476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚) ∈ V
96	93, 94, 95	fvmpt 7016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
97	96	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
98	43	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) ∈ ℝ)
99		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
100	98, 99	reexpcld 14333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚) ∈ ℝ)
101	97, 100	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚) ∈ ℝ)
102		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
103		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑𝑚))
104	102, 103	oveq12d 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · (𝐴↑𝑘)) = (𝑚 · (𝐴↑𝑚)))
105		ovex 7476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 · (𝐴↑𝑚)) ∈ V
106	104, 1, 105	fvmpt 7016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑚) = (𝑚 · (𝐴↑𝑚)))
107	106	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) = (𝑚 · (𝐴↑𝑚)))
108		nn0cn 12643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℂ)
109	108	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
110		expcl 14249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑚) ∈ ℂ)
111	110	ad4ant14 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑚) ∈ ℂ)
112	109, 111	mulcld 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 · (𝐴↑𝑚)) ∈ ℂ)
113	107, 112	eqeltrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℂ)
114		0red 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ∈ ℝ)
115		absge0 15483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
116	115	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
117	114, 40, 43, 116, 54	lelttrd 11495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 < (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
118	114, 43, 117	ltled 11485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
119	43, 118	absidd 15619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(((abs‘𝐴) + 1) / 2)) = (((abs‘𝐴) + 1) / 2))
120		avglt2 12612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ (((abs‘𝐴) + 1) / 2) < 1))
121	40, 51, 120	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((abs‘𝐴) < 1 ↔ (((abs‘𝐴) + 1) / 2) < 1))
122	50, 121	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (((abs‘𝐴) + 1) / 2) < 1)
123	119, 122	eqbrtrd 5130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘(((abs‘𝐴) + 1) / 2)) < 1)
124		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑛))
125		ovex 7476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑛) ∈ V
126	124, 94, 125	fvmpt 7016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑛) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑛))
127	126	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑛) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑛))
128	65, 123, 127	geolim 16068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − (((abs‘𝐴) + 1) / 2))))
129		seqex 14173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∈ V
130		ovex 7476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / (1 − (((abs‘𝐴) + 1) / 2))) ∈ V
131	129, 130	breldm 5897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ⇝ (1 / (1 − (((abs‘𝐴) + 1) / 2))) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
132	128, 131	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
133	132	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∈ dom ⇝ )
134		1red 11336	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → 1 ∈ ℝ)
135		eluznn0 13071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
136	92, 135	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
137	136	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
138		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
139	138	abscld 15635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
140	139, 136	reexpcld 14333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘𝐴)↑𝑚) ∈ ℝ)
141	137, 140	remulcld 11366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) ∈ ℝ)
142	136, 100	syldan 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚) ∈ ℝ)
143		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))
144		oveq2 7451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘𝐴)↑𝑘) = ((abs‘𝐴)↑𝑚))
145	102, 144	oveq12d 7461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) = (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)))
146	145, 93	breq12d 5119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ↔ (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚)))
147	146	rspccva 3579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
148	143, 147	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
149	141, 142, 148	ltled 11485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)) ≤ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
150	136	nn0cnd 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
151	138, 136	expcld 14316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐴↑𝑚) ∈ ℂ)
152	150, 151	absmuld 15653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝑚 · (𝐴↑𝑚))) = ((abs‘𝑚) · (abs‘(𝐴↑𝑚))))
153	136	nn0ge0d 12697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 0 ≤ 𝑚)
154	137, 153	absidd 15619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝑚) = 𝑚)
155	138, 136	absexpd 15651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐴↑𝑚)) = ((abs‘𝐴)↑𝑚))
156	154, 155	oveq12d 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘𝑚) · (abs‘(𝐴↑𝑚))) = (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)))
157	152, 156	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝑚 · (𝐴↑𝑚))) = (𝑚 · ((abs‘𝐴)↑𝑚)))
158	142	recnd 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚) ∈ ℂ)
159	158	mullidd 11354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (1 · ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚)) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
160	149, 157, 159	3brtr4d 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝑚 · (𝐴↑𝑚))) ≤ (1 · ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚)))
161	136, 106	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑚) = (𝑚 · (𝐴↑𝑚)))
162	161	fveq2d 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑚)) = (abs‘(𝑚 · (𝐴↑𝑚))))
163	136, 96	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚) = ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚))
164	163	oveq2d 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (1 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚)) = (1 · ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑚)))
165	160, 162, 164	3brtr4d 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(𝐹‘𝑚)) ≤ (1 · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))‘𝑚)))
166	25, 92, 101, 113, 133, 134, 165	cvgcmpce 16014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘))) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
167	166	expr 462	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
168	167	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑘 · ((abs‘𝐴)↑𝑘)) < ((((abs‘𝐴) + 1) / 2)↑𝑘) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
169	91, 168	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
170	169	rexlimdva 3167	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 · 𝑘) < (((((abs‘𝐴) + 1) / 2) / (abs‘𝐴))↑𝑘) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
171	60, 170	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝐴 ≠ 0) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
172	37, 171	pm2.61dane 3046	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653  dom cdm 5655  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ℝ⁺crp 13147  seqcseq 14171  ↑cexp 14231  abscabs 15430   ⇝ cli 15680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-ico 13509  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883

This theorem is used by:  radcnvlem1  26770