Theorem cardprcr 36533

Description: Relative version of cardprc 10062. (Contributed by Adrian Ducourtial, 15-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cardprcr.1	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥}
cardprcr.2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cardprcr	⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝑉

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem cardprcr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harndom 9557	. 2 ⊢ ¬ (har‘∪ 𝐴) ≼ ∪ 𝐴
2		uniexg 7757	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
3		cardprcr.2	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ∈ 𝑉)
4		harcard 10060	. . . . 5 ⊢ (card‘(har‘∪ 𝐴)) = (har‘∪ 𝐴)
5		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (har‘∪ 𝐴) → (card‘𝑥) = (card‘(har‘∪ 𝐴)))
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (har‘∪ 𝐴) → 𝑥 = (har‘∪ 𝐴))
7	5, 6	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (har‘∪ 𝐴) → ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (card‘(har‘∪ 𝐴)) = (har‘∪ 𝐴)))
8		cardprcr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥}
9	7, 8	elrab2 3648	. . . . 5 ⊢ ((har‘∪ 𝐴) ∈ 𝐴 ↔ ((har‘∪ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (card‘(har‘∪ 𝐴)) = (har‘∪ 𝐴)))
10	3, 4, 9	sylanblrc 602	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ∈ 𝐴)
11		elssuni 4898	. . . 4 ⊢ ((har‘∪ 𝐴) ∈ 𝐴 → (har‘∪ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
13		ssdomg 9028	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ((har‘∪ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐴 → (har‘∪ 𝐴) ≼ ∪ 𝐴))
14	2, 12, 13	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ≼ ∪ 𝐴)
15	1, 14	mto 200	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝑉

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538   ≼ cdom 8972  harchar 9551  cardccrd 10017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-oi 9505  df-har 9552  df-card 10021

This theorem is used by:  cardprcALT  36534