Theorem cardprcr 36633

Description: Relative version of cardprc 10088. (Contributed by Adrian Ducourtial, 15-Oct-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cardprcr.1	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥}
cardprcr.2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
cardprcr	⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝑉

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem cardprcr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harndom 9583	. 2 ⊢ ¬ (har‘∪ 𝐴) ≼ ∪ 𝐴
2		uniexg 7781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
3		cardprcr.2	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ∈ 𝑉)
4		harcard 10086	. . . . 5 ⊢ (card‘(har‘∪ 𝐴)) = (har‘∪ 𝐴)
5		fveq2 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (har‘∪ 𝐴) → (card‘𝑥) = (card‘(har‘∪ 𝐴)))
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (har‘∪ 𝐴) → 𝑥 = (har‘∪ 𝐴))
7	5, 6	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (har‘∪ 𝐴) → ((card‘𝑥) = 𝑥 ↔ (card‘(har‘∪ 𝐴)) = (har‘∪ 𝐴)))
8		cardprcr.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (card‘𝑥) = 𝑥}
9	7, 8	elrab2 3652	. . . . 5 ⊢ ((har‘∪ 𝐴) ∈ 𝐴 ↔ ((har‘∪ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (card‘(har‘∪ 𝐴)) = (har‘∪ 𝐴)))
10	3, 4, 9	sylanblrc 602	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ∈ 𝐴)
11		elssuni 4902	. . . 4 ⊢ ((har‘∪ 𝐴) ∈ 𝐴 → (har‘∪ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐴)
13		ssdomg 9055	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ V → ((har‘∪ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐴 → (har‘∪ 𝐴) ≼ ∪ 𝐴))
14	2, 12, 13	sylc 66	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (har‘∪ 𝐴) ≼ ∪ 𝐴)
15	1, 14	mto 200	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝑉

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558   ≼ cdom 8999  harchar 9577  cardccrd 10043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-oi 9531  df-har 9578  df-card 10047

This theorem is used by:  cardprcALT  36634