Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1281 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simp11 1200 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp12 1201 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp13 1202 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simp22 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | simp23 1205 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
7 | 5, 6 | jca 511 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simp31 1206 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
9 | | simp32 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
10 | | cdleme19.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
11 | | cdleme19.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
12 | | cdleme19.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
13 | | cdleme19.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
14 | | cdleme19.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
15 | | cdleme19.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
16 | | cdleme19.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
17 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | cdleme3fa 39620 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
18 | 2, 3, 4, 7, 8, 9, 17 | syl132anc 1385 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
19 | | simp11r 1282 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
20 | | simp21 1203 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
21 | | simp33 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
22 | | cdleme19.d |
. . . 4
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
23 | 10, 11, 12, 13, 14, 22 | cdlemeda 39682 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π· β π΄) |
24 | 1, 19, 5, 6, 20, 21, 9, 23 | syl223anc 1393 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π· β π΄) |
25 | 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 16, 22, 22 | cdleme19c 39689 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π·) |
26 | 1, 19, 3, 4, 7, 20,
8, 9, 25 | syl233anc 1396 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β π·) |
27 | | eqid 2726 |
. . 3
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
28 | 11, 13, 27 | llni2 38896 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ πΉ β π΄ β§ π· β π΄) β§ πΉ β π·) β (πΉ β¨ π·) β (LLinesβπΎ)) |
29 | 1, 18, 24, 26, 28 | syl31anc 1370 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ π·) β (LLinesβπΎ)) |