Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeg46nfgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemeg46nfgr 40044
Description: TODO FIX COMMENT f(g(s))=s p. 115 antepenultimate line. (Contributed by NM, 4-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemef46g.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemef46g.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemef46g.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemef46g.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemef46g.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemef46g.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemef46g.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs46g.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemef46g.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
cdlemef46.v 𝑉 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š)
cdlemef46.n 𝑁 = ((𝑣 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdlemefs46.o 𝑂 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑁 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdlemef46.g 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝐡 ↦ if((𝑄 β‰  𝑃 ∧ Β¬ π‘Ž ≀ π‘Š), (℩𝑐 ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š ∧ (𝑒 ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)) = π‘Ž) β†’ 𝑐 = (if(𝑒 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃), (℩𝑏 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑏 = 𝑂)), ⦋𝑒 / π‘£β¦Œπ‘) ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)))), π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
cdlemeg46nfgr ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘…)) = 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑅,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣,𝐴   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑣,𝐷   𝐺,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐻,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ∨ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ≀ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ∧ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑄,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑅,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   π‘₯,𝑒,𝑦,𝑧,𝑁   π‘₯,𝑂,𝑦,𝑧   𝑣,𝑑   𝑒,𝑉   π‘₯,𝑣,𝑦,𝑧,𝑉   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑑,𝑁   π‘ˆ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑣   𝑑,𝑉   𝑠,π‘Ž,𝑑,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑒,𝑑)   π‘ˆ(𝑒)   𝐸(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐺(𝑣,𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝑁(𝑣,𝑠)   𝑂(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem cdlemeg46nfgr
StepHypRef Expression
1 cdlemef46g.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 cdlemef46g.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
31, 2cdleme46f2g2 40018 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 β‰  𝑃 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)))
4 cdlemef46g.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdlemef46g.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemef46g.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
7 cdlemef46g.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemef46.v . . 3 𝑉 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š)
9 cdlemef46.n . . 3 𝑁 = ((𝑣 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
10 cdlemefs46.o . . 3 𝑂 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑁 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
11 cdlemef46.g . . 3 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝐡 ↦ if((𝑄 β‰  𝑃 ∧ Β¬ π‘Ž ≀ π‘Š), (℩𝑐 ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š ∧ (𝑒 ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)) = π‘Ž) β†’ 𝑐 = (if(𝑒 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃), (℩𝑏 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑏 = 𝑂)), ⦋𝑒 / π‘£β¦Œπ‘) ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)))), π‘Ž))
12 cdlemef46g.u . . 3 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
13 cdlemef46g.d . . 3 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
14 cdlemefs46g.e . . 3 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
15 cdlemef46g.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
164, 5, 1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemeg46ngfr 40043 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 β‰  𝑃 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘…)) = 𝑅)
173, 16syl 17 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘…)) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  β¦‹csb 3886  ifcif 4525   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  β„©crio 7368  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  lecple 17234  joincjn 18297  meetcmee 18298  Atomscatm 38787  HLchlt 38874  LHypclh 39509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-riotaBAD 38477
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-undef 8272  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-llines 39023  df-lplanes 39024  df-lvols 39025  df-lines 39026  df-psubsp 39028  df-pmap 39029  df-padd 39321  df-lhyp 39513
This theorem is referenced by:  cdlemeg46sfg  40045
  Copyright terms: Public domain W3C validator