Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemeg46ngfr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemeg46ngfr 39693
Description: TODO FIX COMMENT g(f(s))=s p. 115 4th line from bottom. (Contributed by NM, 4-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemef46g.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemef46g.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemef46g.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemef46g.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemef46g.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemef46g.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemef46g.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdlemef46g.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemefs46g.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemef46g.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
cdlemef46.v 𝑉 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š)
cdlemef46.n 𝑁 = ((𝑣 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdlemefs46.o 𝑂 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑁 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
cdlemef46.g 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝐡 ↦ if((𝑄 β‰  𝑃 ∧ Β¬ π‘Ž ≀ π‘Š), (℩𝑐 ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š ∧ (𝑒 ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)) = π‘Ž) β†’ 𝑐 = (if(𝑒 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃), (℩𝑏 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑏 = 𝑂)), ⦋𝑒 / π‘£β¦Œπ‘) ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)))), π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
cdlemeg46ngfr ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘…)) = 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑅,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣,𝐴   𝐡,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑣,𝐷   𝐺,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐻,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ∨ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝐾,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ≀ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   ∧ ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑁,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑄,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑅,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   π‘₯,𝑒,𝑦,𝑧,𝑁   π‘₯,𝑂,𝑦,𝑧   𝑣,𝑑   𝑒,𝑉   π‘₯,𝑣,𝑦,𝑧,𝑉   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣   𝑑,𝑁   π‘ˆ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑣   𝑑,𝑉   𝑠,π‘Ž,𝑑,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑒,𝑑)   π‘ˆ(𝑒)   𝐸(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐺(𝑣,𝑒,π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝑁(𝑣,𝑠)   𝑂(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem cdlemeg46ngfr
StepHypRef Expression
1 cdlemef46g.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 cdlemef46g.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
31, 2cdleme46f2g2 39668 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 β‰  𝑃 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)))
4 cdlemef46g.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdlemef46g.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemef46g.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
7 cdlemef46g.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemef46.v . . . . 5 𝑉 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š)
9 cdlemef46.n . . . . 5 𝑁 = ((𝑣 ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
10 cdlemefs46.o . . . . 5 𝑂 = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ (𝑁 ∨ ((𝑒 ∨ 𝑣) ∧ π‘Š)))
11 cdlemef46.g . . . . 5 𝐺 = (π‘Ž ∈ 𝐡 ↦ if((𝑄 β‰  𝑃 ∧ Β¬ π‘Ž ≀ π‘Š), (℩𝑐 ∈ 𝐡 βˆ€π‘’ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑒 ≀ π‘Š ∧ (𝑒 ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)) = π‘Ž) β†’ 𝑐 = (if(𝑒 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃), (℩𝑏 ∈ 𝐡 βˆ€π‘£ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑣 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑣 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ 𝑏 = 𝑂)), ⦋𝑒 / π‘£β¦Œπ‘) ∨ (π‘Ž ∧ π‘Š)))), π‘Ž))
12 cdlemef46g.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
13 cdlemef46g.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
14 cdlemefs46g.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
15 cdlemef46g.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
164, 5, 1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemeg46c 39688 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑄 β‰  𝑃 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑄 ∨ 𝑃)) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘…)) = ⦋𝑅 / π‘‘β¦Œβ¦‹π· / π‘£β¦Œπ‘)
173, 16syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘…)) = ⦋𝑅 / π‘‘β¦Œβ¦‹π· / π‘£β¦Œπ‘)
18 simp2rl 1241 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
19 eqid 2731 . . . . 5 ((((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))) ∧ π‘Š))) = ((((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))) ∧ π‘Š)))
20 eqid 2731 . . . . 5 ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) = ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))
219, 13, 19, 20cdleme31snd 39561 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ ⦋𝑅 / π‘‘β¦Œβ¦‹π· / π‘£β¦Œπ‘ = ((((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))) ∧ π‘Š))))
2218, 21syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ⦋𝑅 / π‘‘β¦Œβ¦‹π· / π‘£β¦Œπ‘ = ((((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))) ∧ π‘Š))))
2317, 22eqtrd 2771 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘…)) = ((((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))) ∧ π‘Š))))
24 simp11l 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
25 simp12l 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
26 simp13l 1287 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
271, 2hlatjcom 38542 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
2928oveq1d 7427 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) = ((𝑄 ∨ 𝑃) ∧ π‘Š))
3029, 12, 83eqtr4g 2796 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
3130oveq2d 7428 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ π‘ˆ) = (((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ 𝑉))
3231oveq1d 7427 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))) ∧ π‘Š))) = ((((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))) ∧ π‘Š))))
335, 1, 6, 2, 7, 12, 20cdleme35g 39630 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š))) ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑃 ∨ ((𝑄 ∨ ((𝑅 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑅) ∧ π‘Š)))) ∧ π‘Š))) = 𝑅)
3423, 32, 333eqtr2d 2777 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘…)) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  β¦‹csb 3894  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  β„©crio 7367  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-undef 8261  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163
This theorem is referenced by:  cdlemeg46nfgr  39694  cdlemeg46gf  39708
  Copyright terms: Public domain W3C validator