Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemef46g.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
2 | | cdlemef46g.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
3 | 1, 2 | cdleme46f2g2 39668 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π))) |
4 | | cdlemef46g.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | cdlemef46g.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemef46g.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
7 | | cdlemef46g.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemef46.v |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
9 | | cdlemef46.n |
. . . . 5
β’ π = ((π£ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π£) β§ π))) |
10 | | cdlemefs46.o |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π’ β¨ π£) β§ π))) |
11 | | cdlemef46.g |
. . . . 5
β’ πΊ = (π β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π β€ π), (β©π β π΅ βπ’ β π΄ ((Β¬ π’ β€ π β§ (π’ β¨ (π β§ π)) = π) β π = (if(π’ β€ (π β¨ π), (β©π β π΅ βπ£ β π΄ ((Β¬ π£ β€ π β§ Β¬ π£ β€ (π β¨ π)) β π = π)), β¦π’ / π£β¦π) β¨ (π β§ π)))), π)) |
12 | | cdlemef46g.u |
. . . . 5
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
13 | | cdlemef46g.d |
. . . . 5
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
14 | | cdlemefs46g.e |
. . . . 5
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
15 | | cdlemef46g.f |
. . . . 5
β’ πΉ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) β¨ (π₯ β§ π)))), π₯)) |
16 | 4, 5, 1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | cdlemeg46c 39688 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (πΊβ(πΉβπ
)) = β¦π
/ π‘β¦β¦π· / π£β¦π) |
17 | 3, 16 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (πΊβ(πΉβπ
)) = β¦π
/ π‘β¦β¦π· / π£β¦π) |
18 | | simp2rl 1241 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π
β π΄) |
19 | | eqid 2731 |
. . . . 5
β’ ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) β§ π))) = ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) β§ π))) |
20 | | eqid 2731 |
. . . . 5
β’ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
21 | 9, 13, 19, 20 | cdleme31snd 39561 |
. . . 4
β’ (π
β π΄ β β¦π
/ π‘β¦β¦π· / π£β¦π = ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) β§ π)))) |
22 | 18, 21 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β β¦π
/ π‘β¦β¦π· / π£β¦π = ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) β§ π)))) |
23 | 17, 22 | eqtrd 2771 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (πΊβ(πΉβπ
)) = ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) β§ π)))) |
24 | | simp11l 1283 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β πΎ β HL) |
25 | | simp12l 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
26 | | simp13l 1287 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π β π΄) |
27 | 1, 2 | hlatjcom 38542 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
28 | 24, 25, 26, 27 | syl3anc 1370 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
29 | 28 | oveq1d 7427 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
30 | 29, 12, 8 | 3eqtr4g 2796 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β π = π) |
31 | 30 | oveq2d 7428 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) = (((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π)) |
32 | 31 | oveq1d 7427 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) β§ π))) = ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) β§ π)))) |
33 | 5, 1, 6, 2, 7, 12,
20 | cdleme35g 39630 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β ((((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) β§ π))) = π
) |
34 | 23, 32, 33 | 3eqtr2d 2777 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)) β (πΊβ(πΉβπ
)) = π
) |